Стержни Энергия потенциальная единицы

Мы видели, что решение задач о кручении в каждом частном случае сводится к определению функции напряжений, удовлетворяющей дифференциальному уравнению (150) и граничному условию (152). При выводе приближенного решения задачи полезно вместо обращения к дифференциальному уравнению определять функцию напряжений из условия минимума некоторого интеграла, ) который можно получить, рассматривая потенциальную энергию скручиваемого стержня. Потенциальная энергия скручиваемого стержня, приходящаяся на единицу длины, согласно выражению (136), определяется формулой [c.322]

М — абсолютное удлинение стержня. удельной потенциальной энергией деформации называется потенциальная энергия, отнесенная к единице объема стержня. Величина ее определяется по формуле [c.30]

Для сведения задачи об изгибе и кручении к задаче нахождения экстремума определенного интеграла применим принцип возможных перемещений к элементу, вырезанному из нашего стержня, длиною в единицу и сечением, равным сечению бруса. Обозначая через U накопленную вырезанным элементом потенциальную энергию, а через i — работу внешних (торцевых) сил, на него действующих, получим [c.394]

Иногда выгодно разыскание решения этого уравнения заменить разыскав нием минимума некоторого интеграла Эту замену легко произвести при помощи общего уравнения (50). Предположим, что напряжения представлены при помощи функции ф, тогда потенциальная энергия скрученного стержня, отнесенная к единице длины, будет [c.133]

Потенциальная энергия стержня, рассчитанная на единицу длины, легко найдется из равенств (2 ) и (22) она равна [c.412]

Посмотрим теперь, какова энергия стержня. Плотность суммарной энергии (потенциальной и кинетической) в принятых единицах измерения выражается так [c.262]

Проиллюстрируем этот принцип на упоминавшейся выше задаче о нагруженном гибком стержне. Равновесие стержня определяется из условия минимальности его потенциальной энергии. Мы не будем останавливаться на выводе выражения для упругой энергии стержня, который можно найти в любом учебнике по теории упругости. Обозначим через I длину стержня, а через х — независимую переменную, изменяющуюся от О до / и определяющую положение любой точки стержня. Малое вертикальное перемещение (прогиб) под действием нагрузки обозначим через у х), а величину нагрузки на единицу длины — через р(д ). Предположим также, что стержень имеет постоянное сечение. Тогда потенциальная энергия, обусловленная силами упругости, определится формулой [c.93]

Если приравнять работу крутящего момента потенциальной энергии деформации, то на единице длины стержня будем иметь [c.87]

Энергия, накапливаемая в единице объема стержня, называемая удельной потенциальной энергией, определяется по формуле [c.8]

Применим это заключение к действительным перемещениям. Приращение потенциальной энергии, приходящееся на единицу длины стержня, может быть написано так [c.268]

Тогда потенциальная энергия деформации, приходящаяся на единицу длины стержня, может быть представлена в таком виде [c.133]

Принимая площадь поперечного сечения стержня равной единице, получаем для потенциальной энергии системы такое выражение [c.323]

Потенциальная энергия скручиваемого стержня на единицу длины на основании формулы [80] (см. стр. 154), равна [c.280]

Внутренняя потенциальная энергия единицы длины закрученного стержня [c.450]

Величина полной потенциальной энергии зависит от размеров стержня — от его длины / и площади поперечного сечения Р. Чтобы исключить влияние размеров образца, вводят понятие об удельной потенциальной энергии деформации, накапливаемой в единице объема [c.38]

Для оценки энергоемкости материала определяют удельную потенциальную энергию, накапливаемую в единице объема и= (/ У, где V — объем стержня. Если объем стержня У=А1, то [c.86]

Эта работа равна потенциальной энергии, запасенной в рассматриваемом участке стержня. Единица объема (точнее, вещество, занимавшее-в недеформированном состоянии единицу объема) обладает потенциальной энергией [c.190]

Теория пластинок может быть построена при йомощи рассуждений того же характера, как и те, которые применил Кирхгоф в теории тонких стержней. Исследование проблемы этим методом было проведено Герингом (Gehriпg) а затем, в улучшенной форме принято КирхгофомАнализ во всех деталях весьма схож с теорией тонких стержней Кирхгофа и приводит к выражению потенциальной энергии иа единицу площади средней поверхности пластинки. Это выражение состоит из двух частей одна представляет собой квадратичную функцию от величин, которые опредмяют растяжение средней плоскости, [c.40]

В гюкоторых задачах для того, чтобы исключить влияние размеров, вводят понятие удельной потенциальной энергии и. Под удельной потенциальной энергией понимается энергия, отнесенная к единице первоначального объема стержня [c.222]

Во многих задачах сопротивления материалов и теории упругости представляет интерес не полная энергия, накопленная в элементе конструкщ1и, а удельная потенциальная энергия Uq, отнесенная к единице объема тела. В частном случае стержня, растягиваемого сосредоточенной силой Р, получим [c.68]

Должна лежать в соприкасающейся плоскости той кривой, по которой располагается изогнутая ось, и когДа Бине (В1пе1) ввел уравнение моментов относительно касательной, то Пуассон на основании этого уравнения пришел к заключению,-что крутящий момент постоянен. Лишь постепенно возникло представление о двух изгибающих пара в двух главных плоскостях, и был найден способ определения меры закручивания. Когда эти элементы теории были получены, стало ясно, что, зная соотношения, связывающие, изгибающие и крутящие моменты с кривизной и степенью кручения и пользуясь обычными условиями равновесия, можно определить форму изогнутой оси, степень кручения стержня вокруг этой оси, а также растягивающую и Перерезы вающую силу в любом данном сечении. Изгибающие и крутящие. пары, а также растягивающая и перерезывающая силы, происходят от усилий, приложенных к, элементам поперечных сечений, и правильные выражения для этих пар и сил следует искать при помощи общей теории. Но здесь возникает затруднение, состоящее в том, Что общие уравнения применимы лишь тогда, когда смещения малы между тем для таких тел, как спиральные пружины, смещения ни в коем случае нельзя считать малыми. КирхГоф (КтеЬЬоК) первый преодолел Это затруднение. Он показал, что общие уравнения применимы со всей строгостью к малой части тонкого стержня, все линейные размеры которой того же порядка малости, что и диаметры, поперечного сечения. Он считал, что уравнения равновесия или движения такой части можно в первом приближении упростить, пренебрегая силами -инерции и массовыми силами. Исследования, содержащиеся в теории Кирхгофа, носят в значительной своей части кинематический, характер. Когда тонкий стержень подвергается изгибу и скручиванию, то каждый его элемент испытывает деформацию, аналогичную тем деформациям,. которые имеют место в призмах Сен-Венана но соседние элементы должны непрерывным образом переходить один в Другой. Для того чтобы выразить непрерывность этого рода, необходимы некоторые условия. Эти условия принимают форму диференциальных уравнений, которые связывают относительные смещения точек малой части стержня с относительными координатами этих точек и с величинами, которые определяют положение данной части относительно всего стержня в целом. Из этих диференциальных уравнений Кирхгоф получил картину деформации в элементе стерл я и нашел выражение для потенциальной энергии, отнесенной к единице -длины, через относительное удлинение, компоненты кривизны и степень кручения. Он получил уравнения равновесия и колебаний, варьируя функцию, Выражающую энергию. В случае, когда тонкий стержень подвергается действию внешних сил, приложенных лишь иа его концах, уравнения, которыми определяется форма изогнутой оси, идентичны, как показал Кирхгоф, с уравнениями движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта теорема носит название кинетической аналогии Кирхгофа . [c.36]

Здесь Qu — диссипативные силы, a x — коэффициент диссипации. Краевые условия в (3.10) находятся из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского в процессе интегрирования по частям в интегралах, определяющих вариации потенциальной энергии изгиба стержня и функционала диссипативных сил. Будем считать, что стержень достаточно жесткий и величина е = o / piV , характеризующая отношение квадрата частоты собственных колебаний груза массы М на пружине жесткости и квадрата наинизшей частоты изгибных колебаний защемленного стержня, мала. Выберем масштабы основных единиц так, чтобы е = Л . В нулевом приближении, когда е = О, стержень имеет прямолинейную форму (m(s, t) = 0), а груз совершает незатухающие гармонические колебания I = onst, ф = юг + ф(0). Задача определения функции М] имеет вид [c.294]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...