Цепочка уравнений ББГКИ

Таким образом, мы имеем цепочку уравнений, определяющую конфигурационные функции распределения в равновесном состоянии. Эта цепочка, полученная Иваном в 1935 г., совершенно аналогична общей цепочке уравнений ББГКИ (3.4.7) для зависящих от времени функций общего вида (и, разумеется, согласуется с ней). Конечно, здесь возникает та же трудность, что и в общем случае в термодинамическом пределе мы имеем бесконечную систему линейных уравнений. Ее можно решить лишь путем соответствующих приближений, которые всегда сводятся к обрыву цепочки на каком-то предельном значении s, обычно s = 2. [c.272]

При изучении динамики больших систем естественно исходить из полученного в разд. 3.4 уравнения Лиувилля для частичных функций распределения. Однако эта форма уравнения Лиувилля пока еще не была достаточно подробно рассмотрена. Из качественного анализа, проведенного в разд. 11.5, ясно, что центральное место в теории должно занимать понятие корреляций, а не функций распределения. Мы видели, например, что двухчастичная корреляционная функция не входит явно в уравнение Больцмана, несмотря на то, что она играет существенную роль в точной цепочке уравнений ББГКИ. Следовательно, для последовательного вывода уравнения Больцмана (и других кинетических уравнений) из точных уравнений движения необходимо разработать формализм, в котором быля бы явно представлены различные корреляционные формы. [c.123]

Покажем теперь, как из цепочки уравнений ББГКИ с помощью общих методов, разработанных в предыдущих главах, можно определить двухвременные функции распределения. [c.341]

Цепочка уравнений ББГКИ 167 [c.295]

Приведенные рассуждения показывают, что анализ перемешивапия приводит к принципиальной возможности освободиться от гипотезы об ослаблении корреляций при выводе цепочки уравнений ББГКИ. Однако эта возможность до сих пор не реализована. Положение несколько осложняется существованием еще двух групп частиц с динамикой, отличной от описанной. Первая из них включает частицы, испытывающие сильное рассеяние. Их доля мала н имеет порядок Для таких частиц Тс to. Вторая группа частиц имеет траектории, близкие к периодическим (траектория о на рис. 6.1). Эти частицы будем называть захваченными. В течение достаточно длительного времени траектории захваченных частиц не перемешиваются. Доля захваченных частиц имеет порядок Н/1, и их кинетическое описание должно иметь совершенно пной характер, чем описание нормальных частиц. [c.107]

Первое рассмотрение задач статистической физики методом частичных функций распределения было осуществлено Ивоном [10]. Наиболее полное и плодотворное исследование с помощью функций распределения как для равновесных, так и для неравновесных систем (о чем подробно будет сказано ниже) осуществлено Н. Н. Боголюбовым [11]. В развитие этого направления большой вклад внесли также Борн, Грин [12] и Кирквуд [13]. Поэтому цепочка уравнений для частичных функций распределения получила название иерархии Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона (ББГКИ иерархии). [c.212]

Нахождение -частичной функции распределения ra (qi,. . ., qs> с использованием определения (7.1.13) приводит к вычислению N — S интегралов — сложному, вообще говоря, процессу,, особенно в тех случаях, когда рассматривается термодинамический предел. Попытаемся поэтому получить другое определение, в котором использовались бы лишь операции с частичными функциями. Будем исходить из соображений, аналогичных применявшимся при построении цепочки ББГКИ (см. разд. 3.4). Если функции, определенные выражением (7.1.12), подставить в цепочку уравнений (3.4.7), то получается цепочка уравнений для функций щ, мы, однако, выведем несколько более удобную систему уравнений. [c.271]

Однако для рассмотрения взаимодействий нам следует отказаться от цепочки ББГКИ. Вместо того чтобы иметь дело с решением бесконечной цепочки уравнений, попытаемся получить замкнутое уравнение, позволяющее вычислить J. Поэтому перейдем к анализу возможных эффектов, обусловленных взаимодействиязии. [c.25]

Точно таким же путем могут быть получены и уравнения для корреляционных функций высших порядков. Для этого нужно сначала продифференцировать по t соотношение (3.2.3) для произвольного s. Следующим шагом будет исключение временных производных функций распределения с помощью цепочки ББГКИ (3.1.16). И наконец, все приведенные функции распределения нужно выразить через корреляционные функции, используя соотношение (3.2.2). Эта процедура приводит к цепочке уравнений для корреляционных функций, которая полностью эквивалентна цепочке ББГКИ [c.183]

Это соотношение должно выполняться для любых значений индексов а, р, нумерующих типы атомов. Численные решения получающейся системы интегральных уравнений [108] отнюдь не бессмысленны им, однако, свойственны те же недостатки, которые уже были отмечены при рассмотрении метода ББГКИ. Остается, однако, открытым путь для дальнейших исследований в этом направлении — с использованием либо суперпозиционного приближения высшего порядка, выражаемого формулой (2.28), либо обобщения тех или иных ad ho вводимых способов замыкания цепочки уравнений. Эти способы обсуждались и изучались экспериментально в работах [83] и [106]. [c.118]

Как же вычислить G Оказывается, что равенство (7.106) лишь первое в цепочке аналогичных уравнений, содержащих G4, и т. д. Задача об исключенном объеме есть в сущности задача многих тел уравнение (7.106) аналогично соотношению (2.40) между двухчастичной и трехчастичной функциями распределения в жидкости, а также тождеству (5.20), связывающему двухспиновую и трехспиновую корреляционные функции в модели Изинга. Бесконечную цепочку уравнений можно расцепить только с помощью какого-нибудь вводимого ad ho дополнительного предположения. К числу таких предположений относится, например, суперпозиционное приближение (2.17), приводящее к теории жидкости ББГКИ ( 2.12), или аналогичная ему аппроксимация (5.23), которая приводит к приближению случайных фаз в модели Изинга. [c.328]

Фиг. 3.4.1. Диаграммы, представляющие первые три уравнения цепочки ББГКИ [см. уравнения (3.4.9) — (3.4Л1)].

Итак, в противоположность цепочке ББГКИ эволюция броуновских частиц описывается замкнутым уравнением для одночастичг-ного распределения. Эта особенность служит лейтмотивом последующих разделов. [c.23]

Первое важное следствие можно получить, сравнив уравнение Больцмана (И.4.20) с уравнением (3.4.9) цепочки ББГКИ, описывающим скорость изменения /j. Уравнение Больцмана является замкнутым уравнением для одночастичной функции распределения. [c.33]

Однако приведение цепочки ББГКИ к единственному уравнению достигается дорогой ценой уравнение Больцмана оказывается нелинейным. Но даже и в этом слзгчае вш имеем огромное математическое упрощение. Для решения этого уравнения были разработаны мощные приближенные методы, так что теперь мы имеем возможность провести детальное (и успешное) сопоставление с экспериментальными результатами. Справедливость гипотезы молекулярного хаоса ограничивается более тонким предположением. Сначала длина корреляций должна быть достаточно малой. Время релакса-1(ии дальних корреляций, если они существуют,значнтельно больше,, поэтому закон эволюхщи таких корреляций будет иным. Эта сложная задача недавно была исследована Ю. Л. Климонтовичем. [c.34]

Это довольно несложная задача, которую можно решить путем последовательного построения уравнений, начиная с уравнения низшего порядка. Одночастичная функция (a i) я (1) представляет собой единичную корреляционную форму. Поэтому ее поведение описывается первым уравнением цепочки ББГКИ (3.4.9) при этом функцию в правой его части нужно выразить через корреляционные формы я (112) и я (12) с помош ью уравнения (3.5.17). Тогда получаем [c.124]

В предыдущем разделе была получена система уравнений, описывающая временную эволюцию корреляционных форм. Решение зтоМсистемы, разумеется, эквивалентно решению исходной цепочки ББГКИ. Иначе говоря, задание всех корреляционных форм полностью характеризует состояние системы. Эти уравнения были [c.128]

Одночастичная форма удовлетворяет первому уравнению цепочки ББГКИ (3.7.10), правую часть которого нужно выразить через Яа (1 1 2) и Яа (12) [c.134]

Учитывая вышесказанное, перепишем второе уравнение цепочки ББГКИ (3.7.9) в виде [c.135]

Преобразование цепочки ББГКИ в нелинейную систему уравнений для неприводимых корреляционных функций было проделано несколькими авторами. Назовем две работы [c.143]

Компоненты этого уравнения образуют цепочку ББГКИ [c.343]

При решении уравнений (3.2.9) методом итераций любая дуга может быть исключена. В пределе бесконечного числа итераций все дуги исчезнут и окончательные выражения для будут содержать только вклады сильно связных диаграмм со свободными линиями справа. Таким образом, правила диаграммной техники обеспечивают взаимно-однозначное соответствие между диаграммами и разложениями корреляционных функций по одночастичным функциям распределения. Иными словами, диаграммную технику можно использовать как графический метод решения цепочки ББГКИ. Такой подход обладает двумя важными достоинствами. Во-первых, диаграммы высших порядков составляются из отдельных блоков, каждый из которых, в свою очередь, соответствует некоторой последовательности диаграмм. Во-вторых, во всех порядках теории возмущений остаются только сильно связные диаграммы, которые, как мы вскоре убедимся, дают вклад в интеграл столкновений. [c.188]

В этом параграфе мы обсудим некоторые вопросы, связанные с выводом кинетических уравнений для неидеальных газов с сильным межчастичным взаимодействием. Сначала мы рассмотрим немарковские поправки к интегралу столкновений Больцмана и вклад трехчастичных столкновений. Затем будет показано, как методом частичного суммирования диаграмм можно получить сходящийся интеграл столкновений для умеренно плотных газов. Последние два раздела посвящены многочастичным корреляциям в плотных газах, которые учитываются путем введения новых граничных условий для цепочки ББГКИ. [c.197]

С помощью квазиравновесного распределения (3.3.55) мы теперь можем сформулировать новые граничные условия к цепочке ББГКИ. Как обычно, граничное условие к уравнению Лиувилля задается малым источником в правой части, нарушающим симметрию этого уравнения относительно обращения времени. Таким образом, неравновесная Д/ -частичная функция распределения находится как решение уравнения [c.211]

Уравнение (3.3.74) известно как модифицированное уравнение Энскога. В такой форме его вывели Эрнст и ван Бейерен [77] путем частичного суммирования цепочки ББГКИ для твердых сфер с граничным условием Боголюбова. [c.215]

Уравнения (4.2) составляют так называемую цепочку ББГКИ (по именам Боголюбова [10], Борна и Грина [11], Кирквуда [12, 13], Ивона [14]). Не вполне ясно, как обращаться с этими уравнениями в больцмановском пределе. Существует, однако, другой предел, при котором из (4.2) можно извлечь простой результат. Если каждая из сил Xг j является равномерно малой порядка е, так что при Л/->оо, е- О произведение Ыг конечно (т. е. полная сила представляет собой величину конечного порядка), то из (4.2) получаем [c.72]

Наиболее полное развитие получил метод Боголюбова, основанный на построении иерархической цепочки зацепляющихся уравнений для функции распределения, следующий из уравнения Лиувилля [101, 102, 2, 3, 6, Ц]. Этот метод, известный под названием метода Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда — Ивона (ББГКИ), заканчивается выводом кинетического уравнения больцмановского тина. Используемый в нем принцип ослабления корреляций заключается, грубо говоря, в том, что частицы, находящиеся достаточно далеко друг от друга, должны совершать нескоррелированные движения. Этот метод не будет рассматриваться далее, однако на одном из вопросов полезно остановиться. [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...