Балки Мора интеграл

Указание. В интеграле Мора при вычислении перемещений следует учесть для балки только интеграл, определяющий изгибные деформации, а для стержней — интеграл, связанный с продольными усилиями. Тогда выражение для определения перемещений будет иметь вид [c.166]

Если балка и.меет несколько участков нагружения, то уравнение (2.90) составляют для каждого участка в отдельности. После двойного интегрирования каждого из этих уравнений образуется по две произвольных постоянных, которые необходимо определить. Решение получается очень громоздким. Поэтому чаще всего для определения перемещений сечений балок используют более рациональный способ с помощью интеграла Мора. [c.223]

Таким образом, правило Верещагина состоит в том, что интеграл Мора, составленный для каждого из участков нагружения балки, равен произведению площади (о нелинейной эпюры изгибающих моментов на ординату т)с эпюры изгибающего момента соответствующую положению центра тяжести площади со. [c.225]

Балка имеет два участка АВ к ВС. На участке А В интеграл Мора вычислим непосредственно, а на участке ВС — по способу Верещагина. [c.161]

При определении прогиба свободного конца балки интеграл Мора вычислим непосредственно. [c.163]

Какой из методов определения перемещений — обобщенное (или универсальное) уравнение упругой линии, графо-аналитический метод (фиктивных нагрузок) или интеграл Мора и правило Верещагина — наиболее рационален По нашему мнению, ответ однозначен — интеграл Мора и правило Верещагина. Этот метод наиболее универсален, так как применим не только к балкам, но и к любым стержневым системам и криволинейным брусьям. Он наименее формален, так как имеет четкую физическую основу, а его применение всегда требует построения эпюр, что дает дополнительные возможности для развития у учащихся соответствующих навыков. Затрата времени на определение перемещений меньше, чем при применении любого другого метода. Неоднократно проводившийся хронометра) [c.209]

Интеграл Мора. В большинстве случаев, когда речь идет лишь об умении определять перемещения в балках постоянного или ступенчато-переменного поперечного сечения, интеграл Мора нужен для того, чтобы на его основе получить правило Верещагина. В связи со сказанным внимание преподавателей, может быть, привлечет предложение выводить правило Вере- [c.211]

Если даже не предполагается рассматривать применение интеграла Мора к брусьям малой кривизны и брусьям с непрерывно переменным поперечным сечением, необходимо решить хотя бы один пример на определение перемещения в простых балках. Только в процессе решения примера учащиеся по-настоящему поймут, что величины Мр и Мь входящие в подынтегральное выражение, представляют собой некоторые функции, а не какие-либо частные значения функций. [c.214]

По этому правилу интеграл Мора для отдельного участ-к а балки или рамы вычисляется как произведение площади нг- [c.138]

При непосредственном (аналитическом) вычислении интеграла Мора протяженность каждого участка определяется областью, в пределах которой закон изменения как грузового , так и единичного моментов остается постоянным. При применении правила Верещагина участком является часть балки (элемента рамы), в пределах которой хотя бы одна из эпюр изменяется по монотонному линейному закону. Здесь необходимо подчеркнуть, что линейность эпюры должна пониматься в строго математическом смысле. В частности, эпюра, состоящая из двух прямолинейных отрезков ( ломаная эпюра), должна рассматриваться как состоящая из двух отдельных линейных эпюр (рис. 7-1). [c.138]

Решение. В рассматриваемом случае один из элементов системы работает на изгиб (балка), а другой — на растяжение (тяга). При вычислении интеграла Мора для балки следует учесть [c.447]

В тех случаях, когда жесткость сечения балки постоянна по всей длине или хотя бы в пределах отдельных участков (балка ступенчато-переменного сечения), интеграл Мора записывается в виде [c.258]

Решение. Применим способ Максвелла—Мора. За лишнюю неизвестную примем реакцию А. Основная статически определимая балка показана на схеме б. Эту балку загружаем дважды заданной на рузкой и силой А (схема в) и единичной силой Р =1 (схема г). Интеграл Мора, - выражающий прогиб [c.232]

В 1924 г. А. Н. Верещагин предложил правило вычисления интеграла Мора графо-аналитическим способом для определения перемещений (прогиба и угла поворота сечений) балки постоянной по всей длине жесткости BJ. Достоинство правила Верещагина состоит в том, что все расчеты заменяются простейшими геометрическими вычислениями, производимыми над эпюрами изгибающих моментов. Строятся две эпюры одна—от заданной нагрузки (нагрузок), другая—от единичной нагрузки, приложенной по направлению искомого перемещения. Единичная нагрузка может быть или сосредоточенной силой (при определении прогиба), или сосредоточенным моментом (при определении угла поворота сечения). Единичная сила прикладывается в том сечении балки, в котором определяют прогиб, а единичный момент — в сечении балки, в котором определяют угол поворота сечения. Прогиб и угол поворота сечения балки определяют по формулам [c.200]

Учитывая представление (8.8.14), вычисление интеграла Мора для балки постоянного сечения f Mz(P)Mz(l) dx можно [c.240]

В.8.29. Какова цель двухэтапного нагружения балки при выводе интеграла Мора [c.248]

Используя интеграл Мора, найти прогиб в середине балки, изображенной на рис. 8.77 б к задаче 8.1. [c.250]

Пример 9.8. Теорему Кастилиано можно использовать для вывода интеграла Мора. Чтобы избежать громоздких выкладок, покажем, как это можно сделать, на примере изгиба балки. В примере 9.7 было определено перемещение точки приложения силы. В общем случае, когда нужно найти прогиб произвольной точки, например прогиб 8а точки А на рис. 9.44, введем фиктивную силу Ф, приложенную в этой точке. Идея состоит в том, чтобы найти 6а как функцию Р и Ф. Тогда искомый прогиб будет равен значению этой функции при Ф = 0. По принципу суперпозиции, М Р -Ь Ф) — М Р) -Ь М (Ф). [c.285]

Применение формулы Мора значительно упрощается если один из подинтегральных моментов выражается уравнением первой степени, т. е. если одна из эпюр прямолинейна, а жесткость балки V постоянна. Заметим, что в прямолинейном стержне эпюра моментов от единичной силы всегда будет состоять из прямолинейных участков. К каждому такому участку - применимо преобразование интеграла (144), предложенное в 1925 г. А. К. Верещагиным и излагаемое ниже. [c.198]

Определение перемещений в балках, жесткость сечений которых постоянна по всей длине или в пределах отдельных участков, целесообразно производить, вычисляя интеграл Мора по правилу Верещагина. То же относится и к рамам из прямолинейных стержней постоянной или ступенчато-переменной жесткости., [c.512]

Решение. В рассматриваемом случае один из элементов системы работает на изгиб (балка), а другой — на растяжение (тяга). При вычислении интеграла Мора для балки следует учесть только смещение, вызванное изгибающими моментами. В тяге возникает только одно внутреннее усилие — продольная сила поэтому для учета ее деформации надо вычислить соответствующий член интеграла Мора. [c.518]

Изменение объема 111 Изогнутая ось балки 323 Изотропность 18 Интеграл Мора 500 Интенсивность нагрузки 9 Испытание на растяжение и сжатие 31 --выносливость 640 [c.725]

Из вывода следует, что интеграл Мора, дающий величину перемещения произвольного сечения балки, имеет следующий физический смысл это работа единичной силы на перемещении ее точки приложения от заданной нагрузки. Отсюда следует, что, если при вычислении интеграла Мора результат получается со знаком плюс, направление приложенной единичной силы совпадает с направлением искомого перемещения (при совпадении направлений силы и перемещения точки ее приложения работа положительна). Знак минус укажет, что эти направления прямо противоположны. [c.291]

Обычно при определении перемещений в балках интеграл Мора вычисляют графо-аналитическим способом (см. 7.13), который значительно удобнее, чем рассмотренный в этом примере аналитический метод. [c.293]

Для отдельного участка балки это правило формулируется следующим образом каждое из слагаемых, входящих в интеграл Мора, равно произведению площади (т) нелинейной эпюры изгибающих моментов на ординату ( r J линейной эпюры, соответствующую центру тяжести нелинейной, деленному на жесткость сечения (EJJ данного участка балки. [c.297]

Для определения линейного или углового перемещения, т. е. вычисления интеграла Мора в целом, следует просуммировать указанные слагаемые для всех участков балки. [c.297]

Определение перемещений методом единичной нагрузки (см. стр. 58). Прогибы и углы поворота поперечных сечений балки, изгибаемой в главной плоскости уг, определяются с помощью интеграла Мора [c.124]

Вычислим в общем виде интеграл Мора для случая действия на ступенчатую балку одного вида нагрузки с грузовым моментным фактором Ф (фиг. 4, а). [c.150]

Определяем перемещение свободною конца балки, для чего испол)ьзуем интегр шы Мора (рис, 5.4, я) [c.154]

Практически в больщинстве случаев плоской задачи используется лищь один член формулы перемещений. Именно, если рассматриваются сооружения, преимущественно работающие на изгиб (балки, рамы, а часто и арки), то в формуле перемещений с соблюдением вполне достаточной точности можно оставить только интеграл, зависящий от изгибающих момеггтов. При расчете сооружений, элементы которых работают в основном на центральное растяжение и сжатие (например, ферм), можно не учитывать деформации изгиба и сдвига в соответствии с этим в формуле перемещений оставляется лишь член, содержащий продольные силы. В случае пространственной задачи формула перемещений (интеграл Мора) содержит не три члена (как в случае плоской задачи), а шесть — в соответствии с числом внутренних усилий, которые могут возникать в поперечных сечениях элементов. Эта формула имеет вид [c.438]

При определении перемещений в балках ступенча-то-леременного сечения следует пользоваться методом Мора с применением правила Верещагина, разбивая брус на участки, в пределах которых /зс = onst. При переменном непрерывно изменяющемся сечении следует вычислять интеграл Мора аналитически. [c.269]

В балках и рамах вычисление интеграла Мора значительно упрощается, если на участке жесткость EJ = onst, а одна из функций, например - линейная. [c.202]

А. Клебш (1833-1872) в своем курсе Теория упругости твердых тел (1862) в качестве одной из многочисленных прикладных задач рассмотрел задачу о малых прогибах балки и показал способ построения универсального уравнения упругой линии (8.6.23). О. Мор (1835-1918) в 1868 г. разработал метод единичной нагрузки, применил его для определения прогибов балок и пришел к интегралу (8.8.6). Позже этот метод был использован им для определения перемеш ений ферм (см. разд. 4.7). Графоаналитический способ вычисления интеграла Мора предложен А.Н. Вереш,агиным в 1924 г., когда он был студентом Ленинградского института инженеров транспорта. В силу своей простоты этот метод быстро получил широкое распространение, особенно для расчетов статически неопределимых систем. [c.246]

Через М и Q, обозначены уравнения изгибающего момента и поперечной силы, вызванных единичной силойФормула (143) называется формулой Мора. Она, позволяет вычислить перемещение любой точки балки от любой нагрузки. Первый интеграл выражает величину перемещения, вызванного моментами, т. е. собственно изгибом, а второй — величину перемещения, вызванного действием поперечных сил, т. е. срезом. [c.196]

Вычисление перемещений по формуле Мора весьма упрощается, если одна из эпюр прямолинейна, а жесткость балки постоянна. Тогда при определении перемещения интеграл Мора вычисляют графоаналитически по правилу А. Н. Верещагина, предложенному им в 1925 г. [c.159]

Есть случаи, когда вычисление интеграла Мора не может быть выполнено по правилу Верещагина. Это относится, во-первых, к брусьям с криволинейной осью — для них обе эшоры изгибающих моментов и М1 нелинопы во-вторых, к балкам с непрерывно переменным сечением (такие балки рассматриваются в 7.14), для которых величина EJ не может быть вынесена за знак интеграла [см. формулу (7.23)] и, следовательно, неприменимы преобразования, выполнявшиеся при выводе правила Вер цагина. [c.216]

При определении линейных и угловых перемещений в балках переменного сечения правило Верещагина можно применять лишь при условии ступенчатого изменения сечения, разбивая брус на участки, в пределах которых J, = onst. При ие-прерывно-переменном сечении следует вычислять интеграл Мора непосредственно. В случаях, аналогичных представленному на рис. 7.73, б, слагаемые интеграла Мора, соответствующие цилиндрическим участкам, могут быть вычислены по правилу [c.231]

Как известно, интеграл Мора для балки ступенчато-перемен-ного сечения имеет вид [c.151]

Определение перемещений плоских стержневых систем в условиях установивщейся ползучести возможно при помощи интеграла Мора. Эти задачи могут быть решены вариационными методами [39, 63, 215]. Для расчета балок и рам в основу может быть положена схема жестко-ползучей балки. В таком случае принимается, что часть конструкции может поворачиваться относительно так называемых шарниров ползучести , которые образуются в сечениях наибольших изгибающих моментов. Такой же прием использован в работе Мекка [247]. [c.226]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...