Маятник с колеблющейся точкой подвеса

Кроме резонансных движений, высокочастотные вибрации приводят, как правило, к появлению осредненных эффектов. Примером двоякого действия вибраций может служить поведение такой простой системы, как математический маятник с колеблющейся точкой подвеса [2]. В отсутствие вибраций в статическом поле тяжести маятник имеет два положения равновесия устойчивое нижнее и неустойчивое верхнее. Вертикальные колебания точки подвеса с частотой, равной или кратной собственной частоте маятника, могут сделать нижнее положение равновесия неустойчивым, приведя к параметрическому резонансу. С другой стороны, вертикальные вибрации высокой частоты приводят к тому, что верхнее положение равновесия становится устойчивым. Горизонтальные высокочастотные вибрации точки подвеса достаточной интенсивности приводят к появлению новых устойчивых положений равновесия [3]. [c.7]

Это линейное дифференциальное уравнение в обыкновенных производных является хорошо известным уравнением Матье. При определенных значениях /3 и О это уравнение имеет неустойчивые колебательные решения. Влияние нелинейностей превращает эти колебания в предельный цикл. Аналогичный пример — маятник с колеблющейся точкой подвеса (рис. 3.9). Численное исследование хаотических колебаний в этой задаче проведено в [104, 120]. Математическое описание такого маятника приводит к уравнению [c.86]

Если изменение параметров носит периодический характер, то возможен эффект деления частоты. Такими свойствами, например, обладает маятник с колеблющейся точкой подвеса, движение которого описывается уравнением Матье [c.274]

Колеблющимся телом является в данном случае материальная точка ш, связанная невесомым твердым стержнем длины I (называемой длиной маятника) с неподвижной точкой О. Таким образом, траектория материальной точки т будет дугой окружности. Если не принимать во внимание трения в точке подвеса и сопротивления воздуха, то единственной действующей силой будет сила тяжести со слагающей —mg mip в направлении возрастания угла (р (рис. 24). Из общего уравнения (11.4) для движения по любой траектории и соотношения V = 1ф (для круговой траектории) получаем точное уравнение маятника [c.117]

Исследования свойств нелинейных динамич. систем показали, что для мн. таких систем характерно не только упорядоченное, регулярное движение, но и случайное изменение состояния. Парадоксальность вывода следует из того, что это движение возникает в отсутствие случайных факторов и полностью определяется нач. условиями. Иллюстрацией может служить матем. маятник с периодически колеблющейся точкой подвеса. Возмущение маятника не случайно, однако его движение может быть как условно-периодическим, так и случайным в зависимости от выбираемых нач, условий. [c.397]

Пр и м е р 3. Маятник с периодически вертикально колеблющейся точкой подвеса также описывается уравнением вида (1). [c.103]

Д, Устойчивость перевернутого маятника с вертикально колеблющейся точкой подвеса. [c.109]

Для опрокинутого маятника эта возможность была выявлена сначала теоретическим путем, а затем получила полное подтверждение в экспериментах. Об одной такой демонстрационной установке ее создатель — академик П. Л. Капица — писал Демонстрация... устойчивости маятника с колеблющимся подвесом не менее эффектна, чем явление гироскопической устойчивости волчка. ..Когда прибор приведен в действие, то стержень маятника ведет себя так, как будто бы для него существует особая сила, направленная по оси колебаний подвеса. Поскольку частота колебаний подвеса велика, то изображение стержня маятника воспринимается глазом несколько размытым, и колебательное движение незаметно. Поэтому явление устойчивости производит неожиданное впечатление. Если маятнику сообщить толчок в сторону, то он начинает качаться как обычный маятник... Эти колебания затухают и маятник приходит в вертикальное положение . [c.169]

Другим примером мон< ет служить маятник с колеблющейся по вертикали точкой подвеса (рис. 9.2, я). Пусть I — длина маятника, т — масса груза, у = y t) заданный периодический закон движения точки подвеса. Дифференциальное уравнение малых относительных колебаний маятника имеет вид [c.173]

Синхронизация маятника. Рассмотрим маятник с вертикально колеблющейся точкой подвеса (см. рис. 9.2, й), движение которой задано законом [c.234]

При рСсо вынужденные колебания и возмущающая сила находятся в одной фазе, т. е. сдвиг фаз а = 0. Это значит, что в момент, когда колеблющийся груз (см. рис. 540) достигает своего наибольшего отклонения, предположим, вниз, возмущающая сила получает наивысшее значение в этом же направлении. При р>ш разница в фазах вынужденных колебаний и возмущающей силы составляет величину а = л, т. е. колебания происходят в противофазе с возмущающей силой. Это значит, что в то время, когда возмущающая сила имеет максимальное значение в направлении вниз, колеблющийся груз достигает своего максимального отклонения вверх. Такое явление можно хорошо понять на примере вынужденных колебаний математического маятника (рис. 548), возбуждения которого осуществляют путем горизонтального возвратно-поступательного периодического перемещения точки подвеса с различной частотой. Положение маятника, колеблющегося в одной фазе с возмущающим фактором, приведено на рис. 548, а колебание маятника в противофазе с возмущающей силой показано на рис. 548, б. [c.601]

ЛИЧНЫХ расстояниях от точки ее подвеса, укрепить еще один или несколько грузов, то мы тогда получим сложный маятник, движение которого должно дать в известном смысле нечто среднее между движениями различных простых маятников, какие получились бы, если бы каждый из указанных грузов был подвешен на отдельной нити. В самом деле, с одной стороны, сила тяжести стремится заставить все грузы опускаться одинаково в одно и то же время, а с другой стороны, несгибаемость нити заставляет их именно в это самое время описывать неравные дуги, пропорциональные их расстояниям от точки подвеса таким образом между этими грузами должен иметь место некоторый вид компенсации и распределения их движений, так что грузы, находящиеся ближе всего к точке подвеса, ускоряют колебания более далеких, а последние, наоборот, замедляют колебания первых. Таким образом на нити должна существовать такого рода точка, что если в ней укрепить тело, то движение последнего не будет ни ускориться ни замедляться остальными грузами, и движение будет совершенно таким же, как если бы только одно это тело было подвешено на нити. Эта точка и будет истинным центром колебания сложного маятника подобный центр должен находиться и в каждом твердом теле, колеблющемся около горизонтальной оси, какую бы форму это тело ни имело. [c.305]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...