Предельные точки полутраектории и траектории

Предельные точки полутраектории и траектории. Введем прежде всего некоторые элементарные понятия, которыми мы в дальнейшем будем пользоваться. [c.397]

Существенными для дальнейшего являются понятия предельной точки полутраектории и предельной траектории. Точка Ж называется предельной точкой положительной полутраектории (или соответственно отрицательной полутраектории L ), если при любом сколь угодно малом е О и любом сколь угодно большом T to (любом T< fo) в Е-окрестности точки М имеется точка полутраектории соответствующая значению t T (или соответственно t< Т) ). [c.398]

Траектория Ьо, все точки которой являются предельными для полутраектории и называется предельной траекторией полутраектории и . [c.105]

Множество К всех предельных точек полутраектории L+ называется предельным множеством или предельным континуумом L+. В случае положительной (отрицательной) полутраектории это множество называют также (о-предельным (а-предельным) множеством или континуумом. Аналогично множество всех а (ш)-предельных точек траектории L называют а (ш)-предельным континуумом траектории L. Для обозначения предельных континуумов траекторий или полутраекторий мы будем иногда пользоваться символами К а и К , или Ка (L) и К а, (L). [c.106]

Предположим теперь, что траектория о является предельно для какой-нибудь полутраектории, например для (полутраектория выделена, очевидно, из незамкнутой траектории, отличной от Ьд или совпадающей с Ьо). Тогда, в силу оиределения, все точки траектории и, в частности, точки Мп являются предельными для Таким образом, на дуге без контакта I лежит счетное множество предельных точек полутраектории [c.108]

Определение IV. Мы будем говорить, что траектория Ьд является предельной для полутраектории и с положительной отрицательной) стороны, если на дугах без контакта, проведенных через точки траектории Ьо, тючки полутраектории и лежат по положительную отрицательную) сторону от Ьд. Мы будем также говорить, что траектория Ьо является со- или а)-предельной для траектории Ь с положительной стороны, если Ьо является предельной с положительной стороны для полутраектории Ь Ь ), выделенной из траектории Ь. [c.110]

Пусть К — предельный континуум полутраектории и Р — какая-нибудь точка этого континуума, принадлежащая траектории Ьо К, отличной от состояния равновесия. Проведем через точку Р дугу без контакта I, содержащую точку Р внутри. Пусть Р — лежащая на дуге I последовательность точек траектории Ь, стремящаяся к Р. [c.291]

Теорема 45. Все предельные точки особой траектории Ьо [полутраектории Ь1), отличные от состояний равновесия, являются предельными точками также и для неособых траекторий всякой ячейки, в границу которой входит эта траектория. Ьо. [c.299]

Теорема 1 (о предельной траектории). Если М %, т] ) есть предельная точка полутраектории Ь, то и все точки траектории о, проходящей через точку М, являются предельными для Ь. [c.45]

Теорема 2. Множество всех предельных точек полутраектории замкнуто, связно и состоит из целых траекторий. [c.46]

Вторая основная теорема о множестве предельных точек полутраектории. Если полутраектория не замкнута и имеет хотя бы одну предельную траекторию, не являющуюся состоянием равновесия, то она сама не может быть предельной. [c.405]

Покажем теперь, что замкнутая траектория 1о содержит все предельные точки полутраектории i, . Доказательство поведем от противного. Предположим, что полутраектория имеет предельную точку Q, не лежащую на замкнутой траектории и, следовательно, находящуюся на некотором расстоянии 0 от о. В любой сколь угодно малой окрестности точки Q должны находиться точки полутраектории L , соответствующие сколь угодно большим значениям t. [c.408]

Возможные типы полутраекторий и их предельных множеств. Доказанные теоремы позволяют установить возможный характер множества предельных точек полутраектории, целиком лежащей в ограниченной части плоскости. Именно, это множество может быть одного из следующих типов I. Одно состояние равновесия. И. Одна замкнутая траектория. III. Совокупность состояний равновесия и траекторий, стремящихся к этим состояниям равновесия как при /-)-- -со, так и при t-> — оо. [c.409]

Хотя геометрически этот факт совершенно нагляден, мы все же проведем то рассуждение, с помощью которого он доказывается. Как мы видели в случае, когда состояние равновесия О есть узел или фокус, существует семейство эллипсов без контакта, вложенных друг в друга и стягивающихся к точке О. При любом е > О всегда можно указать эллипс без контакта С целиком лежащий в е-окрестности точки О. Но е-окрестность всякой стремя-п ейся к О полутраектории непременно содержит е-окрестность ее предельной точки О, и поэтому точки внутри такого эллипса принадлежат е-окрестности любой стремящейся к О полутраектории. Пусть — одна из таких полутраекторий. Очевидно, в конечное время t она достигнет этого эллипса Се, войдет в него и уже больше из него не выйдет. Но, в силу непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий, вокруг точки М всегда можно указать такую 8-окрестность, чтобы все траектории, проходящие при некотором значении 1 — через точки этой [c.414]

Определение И. Точка М называется предельной точкой положительной отрицательной) полутраектории ( ), если при всяком е > О и при всяком У > О е С/е М) имеется по крайней мере одна точка полутраектории Ь ) отличная от точки М или совпадающая с ней), соответствующая при любом выборе движения на траектории значению времени > Т С — Г). [c.103]

Всякие две положительные (отрицательные) полутраектории, выделенные из одной и той же траектории, имеют одни и те же предельные точки. Рассматриваемые нами полутраектории (ограниченные на плоскости или произвольные на сфере) непременно имеют в силу компактности ограниченной замкнутой области или сферы по крайней мере одну предельную точку. Если полутраектория лежит целиком в области 0 с С, то и предельные точки ее принадлежат области С,. [c.103]

Рассмотрим теперь примеры 1, п. 14. Полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия как в случае узла или фокуса, так и в случае седла (примеры 3, 4, 5) ), имеет своей единственной предельной точкой это состояние равновесия. В примере 4 все траектории, имеющие вид спиралей и расположенные внутри замкнутой траектории (предельного цикла) = 1, имеют единственную сс-предельную точку — состояние [c.104]

Доказательство. Покажем сначала, что угловая дуга, угловая полутраектория и орбитно-неустойчивая полутраектория, пересекающая граничную дугу, не могут быть предельными для траектории, целиком лежащей в С, отличной от той, пз которой они выделены. Для угловой дуги и угловой полутраектории это непосредственно вытекает из определения нормальной границы (см. условие 3)). [c.289]

Докажем утверждение б). Пусть Ьу — траектория, являющаяся ш-продолжением траектории о с положительной стороны. Возьмем на Ьу какую-нибудь точку Р, лежащую после последней (при убывании I) общей точки с окружностью Су. Проведем через точку Р дугу без контакта РВ, расположенную внутри окружности С с положительной стороны траектории Ьу (рис. 252). Так как на дуге QA лежит стремящаяся к точке Я и соответствующая неограниченно возрастающим значениям I последовательность точек полутраектории Ь , то (см. определение XIX) на дуге РВ также лежит стремящаяся к точке Р и соответствующая неограниченно возрастающим значениям I последовательность точек полутраектории Ь. А это значит, что точка Р является ш-предельной для полутраектории Ь . Отсюда легко вытекает утверждение б). Лемма доказана. [c.414]

II. Вокруг каждой точки полутраектории L+, имеющей отличную от состояния равновесия предельную траекторию, всегда можно указать такую окрестность, что все проходящие через точки этой окрестности траектории орбитно-устойчивы при г ->- + оо и при i + оо имеют то же предельное множество, что и L+. [c.54]

Компоненты, заполненные незамкнутыми траекториями, не устойчивыми по Пуассону ни в положительном, ни в отрица- гельном направлении. Эти компоненты являются плоскими областями (т. е. гомеоморфны областям на R ), либо односвязными, либо двусвязными, и все траектории из одной и той же области имеют одни и те же "ш-предельные точки и одни и те же а-предельные точки (статья 1, гл. I, п. 5.5). Компоненты, в достижимую изнутри границу (см. МЭ, Достижимая граничная точка ) которых входят незамкнутые устойчивые по Пуассону полутраектории, всегда односвязны. [c.230]

Предельная точка траектории I может как принадлежать самой траектории Ь, так и не принадлежать ей. Поясним это на примерах тех полутраекторий, которые встречались в рассмотренных выше частных случаях динамических систем. Всякое состояние равновесия является своей единственной предельной точкой (как (о-, так и а-предельной). Все точки замкнутой траектории, очевидно, также являются ее О)- и а-предельными точками. Действительно, соответствующее замкнутой траектории I движение [c.399]

Поэтому она согласно определению является как ш-, так и а-предельной точкой I (в рассматриваемом случае — у(1 ) = ц при любом я). Траектория, стремящаяся к состоянию равновесия (как в случае узла и фокуса, так и в случае седла), имеет своей единственной предельной точкой это состояние равновесия. Для полутраектории (или ), имеющей вид спирали, наматывающейся на предельный цикл, очевидно, все точки этого предельного цикла являются предельными. Очевидно, в двух последних примерах предельная точка не являлась точкой соответствующей полутраектории. [c.399]

Предельная точка полутраектории и траектории. Предельная траектория ). Будем рассматривать только такие полутраек- [c.43]

Ж ). Так как Мо есть предельная точка иолутраекторип Ь , то существует бесконечная последовательность точек Ж (f ) полутраектории Ь+ таких, что + оо, а Ж (/ ) С/б (Ж ) п == 1,2, 3,. . . ). В силу выбора числа б последовательность точек М п т) траектории Ь, из которой выделена полутраектория обладает следующими свойствами а) М г, + т) 6 (Ж ) 6) + т —> оо в) все точки М (< + т) ). Из произвольности числа е > О и существования последовательности Жй, обладающей указанными свойствами, следует, что Ж — предельная точка полутраектории ,+. Лемма доказана. [c.105]

Следствие 1. Пусть Ь — незамкнутая траектортш, пересекающая дугу без контакта I более чем в одной точке ( 1), М2 ( 2) — Две последовательные по t точки ее пересечения с дугой I ( < 2) и С — простая замкнутая кривая, состоящая из М1М2 траектории Ь и части М Мг дуги I (рис. 68). Если область Г, лежащая внутри кривой С, не содержит граничных точек области С, то она содержит по крайней мере одно состояние равповесия. Действительно, в силу леммы Г1 3, одна из двух полутраекторий или лея ит целиком (если ио считать ее начала) внутри кривой С. Пусть для определенности это полутраектория Все ее предельные точки лежат, очевидно, в области Г. Либо среди этих предельных точек есть состояние равновесия, и тогда паше утверждение доказано, либо множество этих предельных точек является замкнутой траекторией, лежащей в области Г. Но тогда по теореме 16 внутри этой замкнутой траектории, а следовательно, в области Г имеется хотя бы одно состояние равновесия. Утверждение доказано. [c.117]

Доказательство. Пусть Ь+ — рассматриваемая полутраектория. Если она выделена из замкнутой траектории, то последняя является для полутраектории предельной замкнутой траекторией. Предположим поэтому, что — полутраектория незамкнутой траектории пусть Ьд — одна из ее предельных траекторий. Допустим, что 0 — незамкщ а и М — какая-нибудь ее предельная точка. В силу т ремы И М является состоянием равновесия. Но очевидно, точка М, как предельная для Ьд, является предельной и для полутраектории (в силу замкнутости предельного множества), н это противоречит условию теоремы. [c.111]

Таким образом, / (Мо) = Оо, и, следовательно, >о > 0. Но этого не может быть. В самом деле, пусть Р — произвольная точка, лежащая в UQ г (О), Ь — проходящая через нее траектория, М — первая при убывании I точка траектории Ь, лежащая па окру кности а. Тогда, очевидно, / (М ) <С 9о 2, что противоречит оиределению (>о как точной нижней грани значений функции / (М) на окружности а. Полученное противоречие доказывает, что существует полутраектория , целиком лежащая в 11. Так как по предположению в и ист ни одной замкнутой траектории, то предельное множество полутраектории либо состоит из точки О, либо из точки О и траектори1т, стремящихся к О. В обоих случаях теорема доказана. [c.119]

Пусть при выбранном на L движении точка Рщ соответствует значеншо t = Ти пусть Q — точка иа L, соответствующая 2 < Xj (рис. 147). Возьмем на каждой траектории L точку соответствующую значению t n tn — T — i o). Так как оо при n оо, то и t оо ири оо. В силу теоремы о непрерывной зависимости от начальных условии последовательность точек ири i оо стремится к точке Точка О ие может быть о)-предельной точкой траектории L, так как тогда (в силу теоремы 11 4) предельными для L были бы и все точки L и, в частности, точка Р, , что противоречит тому, что точка P находится на расстоянии, больпюлг бо, от полутраектории L i . Но тогда нетрудно видеть (принимая во внимание, что точка Q соответствует значению Тчто точка Q находится па конечном расстоянии от полутраектории Li/j. А так как среди траекторий Ьп всегда найдутся траектории, пересекающие сколь угодно малую окрестность точки Mj, то отсюда следует, что траектория L не является со-орбитио-устойчивой в точке il/j. Мы приходим к противоречию и лемма доказана. [c.259]

Лемма 11. Вокруг каждой точки незамкнутой неособой полутраектории L+, имеющей среди своих предельных точек отличные от состояний равновесия, можно указать такую окрестность, что все проходящие через тючки этой окрестности траектории или полутраектории не замкнуты, являются неособыми траекториями или полутраекториями и имеют те же iu-пределъные точки, что и L+. [c.294]

Пусть замкнутые кривые С и области у1 имеют тот /ке смысл, что и в предыдущих леммах, а I настолько велико, что все траектории, проходящие через точки области имеют континуум К своим со-предельным континуумом (см. лемму 10). Пусть М — какая-нпбудь точка полутраектории лежащая внутри - Тогда достаточно малая окрестность (М ) точки М также принадлежит области следовательно, всякая траектория, проходящая через точку окрестности (М ), имеет К своим предельным континуумом. В силу теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений, то же справедливо и для траектории, проходящих через точки достаточно малой окрестиости точки М. [c.295]

Так как па континууме К2 заведомо есть предельные точки ио.су-траекториц ячейки, то всякая полутраектория Ь, при возрасташш I в конце концов войдет внутрь кривой С и болыпе уже из нее не выйдет. Пусть ( г — последняя при возрастании 1 общая точка кривой С и траектории // Мы получаем, таким образом, последовательность раз.ттчных точек [c.314]

Напомним некоторые свойства предельных траекторий, установленные в п. 5 4. Пусть 0 — отличная от состояния равновесия траектория, предельная для полутраектории Ь, входящая, следовательно, в состав некоторого континуума Кш- Пусть Мо — точка этой траектории и 1(, — проведенная через точку Мо и содержащая ее внутрп дуга без контакта. В силу следствия 1 из леммы 2 3 п. 4 на дуге кроме точки Мд не может лежать больше уже ни одной точки траектории В силу следствия 2 из той же леммы точки пересечения полутраектории с дугой 1 расположены либо все на части этой дуги, лежащей по положительную сторону Ьд, либо все на части этой дуги, лежащей по отрщательную сторолу Ьд. [c.412]

Пусть О у — состояние равновесия, со-предельное для траектории Ьу. В силу предыдущей леммы траектория Ьу продолжаема с положительной стороны, и траектория Ь ., являющаяся ее со-продолжением, тоже со-ире-дельна для полутраектории Ь с положительной стороны, т. е. 2 входит в Ка . Обознач1ш через состояние равновесия, со-предельное для траектории 2 (состояния равновесия Оу и О , в частности, могут совпадать). Продолжая аналогичное рассуждение, мы получим последовательность пз траекторий, входящих в континуум К , Ьу, Ьп,. . ., в которой каждая последующая является ш-продолжением предыдущей (с положительной стороны). Каждая траектория Ьу при - -оо стремится к состоянию равновесия О (г = 1, 2, 3,. . . ). Так как число траекторий, входящих в континуум Ги, конечно, в силу предположения о конечности числа особых траекторий, то существует наименьшее натуральное число Я такое, что траектории Ьу, Ь ,. . ., Ь различны, а траектория 1/л+1 совпадает с одной из траекторий Ьу, где 1 Но тогда непременно [c.414]

Доказательство. Так как 5 — простая замкнутая кривая, то существуют только две полутраектории Ь ж Е, принадлежащие К - (т. е. К ), стремящиеся к О и являющиеся продолжением одна другой с положительной стороны. Полутраектории и не могут быть продолжением одна другой также и с отрицательной стороны, так как тогда стремящейся к О траектории Ь, отличной от входящих в континуум траекторий, очевпдно, существовать не могло бы. Поэтому полутраектория Ь либо не имеет продолжения с отрицательной стороны, либо имеет продолжение с отрицательной стороны, отличное от (рис. 263, а, б). В первом случае а) полутраекторпя вообще не является предельной с отрицательной стороны, во втором б) — она может входить в некоторый со-, а- или О-предельный континуум К , отличный от К. Это означает, что К — односторонний континуум. [c.435]

Траектория Ьо называется предельной траекторией для полутраектории или просто предельной траекторией. Когда предельная точка траектории Ь является точкой самой этой траектории, то Ь называется самопредельной траекторией. В силу предыдущего состояние равновесия и замкнутая траектория являются самопредельными. В формулировке следующей теоремы используются теоретико-множественные понятия замкнутости и связности множества. [c.45]

Положительная (соответственно, отрицательная) полутраектория называется устойчивой по Пуассону, если она содержится в стоемш-пределмюм (соответственно, а-предельном) Множестве. ДЛй" траекторий прйхоДйтся различать устойчивость ио Пуассону в положительном направлении, т. е. устойчивость какой-нибудь (и тогда любой) ее положительной полутраектории, устойчивость по Пуассону в отрицательном направлении, т. е. аналогичное свойство отрицательных полутраекторий, и просто устойчивость по Пуассону, означающую наличие обоих этих свойств (при необходимости резче подчеркнуть различие, можно в последнем случае говорить о двусторонней устойчивости по Пуассону). Точка х устойчива по Пуассону (в том или ином направлении или двусторонне), еслн тем же свойством обладает ее траектория иными словами, д х при —с [c.220]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...