Инвариантные формы объема

Инвариантность формы объема П, таким образом, задается требованием / П = П, т. е. 7/= 1. [c.195]

Инвариантность формы объема под действием потока описывается еще проще. Так как гладкий поток p представляет собой однопараметрическое семейство диффеоморфизмов, очевидным образом применив вышеизложенные аргументы, мы можем установить, что форма объема П является -инвариантной тогда и только тогда, когда = П для всех t. При дифференцировании этого выражения в точке i = О мы получаем [c.196]

Рассмотрим теперь отображение возвращения на удобную трансверсаль. В качестве последней возьмем такую прямую, соединяющую середины двух противолежащих отрезков границы, что угол а между трансверсалью и векторным полем лежит в интервале (тг/4, тг/2). Заметим, что в окрестности такой прямой инвариантная форма объема равна евклидову объему, так как точки этой окрестности находятся далеко от вершины. Следовательно, естественно индуцированный объем на трансверсали представляет собой кратное обычного элемента длины. Рассмотрим теперь отображение возвращения на трансверсаль. Оно непрерывно всюду, за исключением тех трех точек, которые лежат на отрезках с концами на седле. Кроме того, отображение возвращения — кусочно сохраняющее ориентацию отображение [c.470]

Инвариантные формы объема [c.118]

Для течений жидкости ъ = х дифференциальная 3-форма т = /з d x р х, t) — плотность распределения массы) является инвариантной формой объема [c.118]

Уравнения равновесия сплошной среды (1.5.4), (1.5.5) записаны здесь в инвариантной форме. Их запись в декартовых координатах 1/-объема имеет вид трех дифференциальных уравнений статики сплошной среды [c.23]

Итак, инвариант у/—g dX dX dX dX — величина четырехмерного объема, измеренного в локальной координатной системе посредством твердых масштабов и часов по принципам специальной теории относительности. Инвариантный элемент объема следует отличать от естественного элемента объема d X = = dX dX dX dX , так как координатная система пространственно-временного многообразия может быть криволинейной, и в этом случае величина у/—g отлична от единицы. При использовании криволинейной координатной системы в пространственно-временном многообразии функционал действия следует писать в форме [c.664]

Предложение 5.1.5. Пусть М — гладкое многообразие, С1 — форма объема, отображение / ММ дифференцируемо и р М— -К — плотность абсолютно непрерывной /-инвариантной меры. Тогда р х)= [c.195]

Предложение 5.1.6. Пусть М—гладкое многообразие, С1—форма объема и / М М — диффеоморфизм с абсолютно непрерывной /-инвариантной мерой с плотностью р М —которая всюду определена и положительна. Тогда J/"(x) = 1 для каждого х е Р1х(/"). [c.195]

Предложение 5.1.12. Пусть М — гладкое многообразие, П — форма объема и f М М — диффеоморфизм. Если существует абсолютно непрерывная f-инвариантная мера с положительной непрерывной плотностью, то множество Jf" x) neZ,xe М ограничено. [c.197]

Тогда будет достаточно доказать, что площадь любой проекции этогО куба, например йх dvJ , не меняется. Простые вычисления показывают, что эта проекция, первоначально имевшая форму квадрата, через время Ы становится параллелограммом той же площади, как это изображено на фиг. 28. Инвариантность элемента объема сохраняется и при более общих условиях, когда вместо переменных г, V система описывается обобщенными координатами и импульсами. [c.72]

В этом параграфе мы изучаем задачу о наличии инвариантных п-форм (формы объема на М) дифференциальных уравнений (1.2). Они играют роль плотностей и отвечают закону сохранения массы. [c.118]

Пусть теперь и = 2в + 1 нечетно и класс 1-формы и равен п. Тогда и-форма т = о Л О будет формой объема. Однако в общем случае она не будет инвариантной. Действительно, по формуле (1.8), [c.120]

Если класс форм о и О не максимальный, то с их помощью вообще не удается получить форму объема. Таким образом, вопрос о наличии инвариантных мер уравнений (1.2) является содержательной задачей. [c.121]

Выполнение фундаментального условия совместимости требует, чтобы изменение формы при образовании мартенситной пластины, фиксируемое, например, по искажению системы нанесенных на поверхность рисок, было деформацией с инвариантной плоскостью или очень близким к ней. Это достигается за счет сочетания деформации решетки и деформации при инвариантной решетке, как это показано на фиг. 21, г, или за счет сочетания двух различных деформаций решеток (фиг. 21, д). Деформация решетки, являющаяся однородной по крайней мере в объеме нескольких элементарных ячеек, приводит к накапливающемуся несоответствию между исходной и конечной фазами, и это несоответствие должно периодически исправляться либо [c.317]

М и покажем, что сильно неустойчивое многообразие W (p) плотно в М для каждой периодической точки р потока р . Аналогично тому, как это имеет место для диффеоморфизмов, из этого факта следует топологическое перемешивание. Пусть dim M = 2m -1. Контактная форма 9 индуцирует инвариантную гладкую меру, соответствующую элементу объема в так что по теореме Пуанкаре о возвращении 4.1.19 NW(ip ) = M. Таким образом, топологическая транзитивность следует из связности и наличия спектрального разложения. Достаточно показать, что множество W (p) плотно в окрестности U точки р, потому что тогда классы эквивалентности, определенные пересечениями многообразий, открыты, так что на самом деле есть только один такой класс и W (p) плотно. [c.577]

Поэтому для наиболее "инвариантного" описания сил воздействия среды на тело следовало бы подыскать другую точку тела (напомним, что аналогичный вопрос возникал в п. 1.2 и для тензора присоединенных масс). Например, в качестве такой точки иногда предлагается центр тяжести Сг объема, заполняющего форму тела. Возможны и другие подходы к поиску ответа на поставленный вопрос о выборе эквивалентного потока. [c.14]

Теорема 1 [181а]. Пусть система (9,1) с инвариантной формой объема допускает нетривиальное аналитическое поле симметрий. Тогда она имеет аналитический многозначный интеграл. Если, кроме того, [c.172]

Предложение 5.1.11. Пусть М — многообразие, ip М М — дифференцируемый поток и Q — инвариантная форма объема. Если т — диск, трансвер сальный к потоку, то форма объема ш — X на т, где Х = ф — векторное поле, порождающее инвариантна относительно отображения возвращения. [c.197]

Важное качественное свойство лагранжевой динамики и гамильтоновой динамики заключается в том, что они сохраняют определенную каноническую форму объема. Действительно, во-первых, из координатного представления (5.3.6) немедленно следует, что уравнения Гамильтона являются бездивергентными, так что они сохраняют фазовый объем в х, р)-простран-стве, который на самом деле представляет собой п-ю внешнюю степень формы fi. Возвращаясь на касательное расслоение с помощью инверсии преобразования Лежандра, мы видим, что инвариантный объем является произведением формы объема на многообразии и евклидова объема, определенного в касательном пространстве римановой метрикой. Лагранжева система сохраняет гиперповерхности Н = onst, так что для каждого регулярного значения Н имеется индуцированная инвариантная форма объема на гиперповерхности Н — onst. Это особенно просто понять в случае геодезических потоков, когда инвариантные гиперповерхности являются сферическими расслоениями г) = onst и инвариантный объем потока есть [c.212]

Рассмотрим теперь случай f = с = onst. Из (9.4) с учетом (9.3) получаем d iyQ) = Q. Интегрируя обе части этого равенства по компактному многообразию Е и применяя формулу Стокса, приходим к равенству = f d(iufi) = = 0. Так как Q — форма объема, то с = 0. Итак, в этом случае форма fi инвариантна относительно фазового потока, порождаемого полем и, т. е. LyQ = d iu ) = 0. [c.174]

Установим теперь взаимосвязь между инвариантными объемами для потока и инвариантными объемами для отображения возвращения на некоторое сечение для этого потока (см. 3 введения). Эта взаимосвязь представляет собой локальное утверждение, так что для наших целей достаточно рассматривать локальное сечение. Таким образом, мы получим инвариантнук форму объема ш, называемую также потоком через сечение, с помощьк локальной конструкции, использующей форму объема П на многообразии. [c.196]

Теорема 5.1.13. Предположим, что (М, П) —многообразие с формой объема U и f М- М —сохраняющий ориентацию диффеоморфизм. Если множество Jf"( x) п Z ограничено для почти всех хеМ, то существует такая борелевская функция w М — что w 1/J/ и форма IVI2 является /-инвариантной. Если множество Jf ix)] neZ равномерно ограничено для всех х и п, то форма ш ограничена. [c.197]

Учебник полностью соответствует новой программе Министерства высшего и среднего специального образования СССР по начертательной геометрии для втузов (кроме архитектурных и строительных специальностей). Во втором издании учебника (1-е изд. 1978 г.) подчеркнута роль инвариантных свойств ортогонального проецирования в создании теоретической базы курса. Особое внимание уделено способам образования поверхностей и их заданию на эпюре МонАа. Материал по использованию ЭЦВМ для решения задач, исходные данные которых представлены в графической форме, оставлен в прежнем объеме. Иллюстрации выполнены в многокрасочном испрлнении, что способствует лучшему восприятию и усвоению мате кала студентами. [c.2]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...