ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Инвариантные формы объема из "Общая теория вихрей " Особенно просто это уравнение выглядит в случае однородной жидкости, когда р = onst divw = 0. Если течение жидкости потенциально v = дср/дх), то для потенциала поля скоростей получаем уравнение Лапласа = 0. Следовательно, ср — гармоническая функция в Е . Таким образом, в стационарном случае задача сводится к решению уравнения Лапласа с соответствующими граничными условиями. Вся нужная нам информация от динамических уравнений Эйлера — это теорема Лагранжа о сохранении потенциальности течения идеальной жидкости. [c.118] В этом параграфе мы изучаем задачу о наличии инвариантных п-форм (формы объема на М) дифференциальных уравнений (1.2). Они играют роль плотностей и отвечают закону сохранения массы. [c.118] Мы будем рассматривать формы постоянного класса, когда их класс не зависит от точки х. [c.119] Если форма а замкнута а = 0), то класс а равен коразмерности подпространства таких векторов что = 0. Это число называется также рангом формы а. В частности, поскольку любая и-форма т на и-мерном многообразии замкнута, то т будет формой объема тогда и только тогда, когда ее класс (или ранг) равен и. Отметим также, что класс замкнутой 2-формы всегда четный. [c.119] Нам потребуются следующие два простых утверждения (см., например, [22], гл. VI). [c.119] В 1 и 2 мы ввели две формы ш = Y щ 1х и О = 1ш. Первая порождает относительный, а вторая — абсолютный интегральные инварианты системы (1.2). [c.119] Предложение 4, между прочим, содержит как частный случай знаменитую теорему Лиувилля о сохранении фазового объема в гамильтоновых системах. [c.120] Таким образом, т — объем всего М сохраняется. Это замечание содержательно лишь в неавтономном случае. [c.120] Предложение 5 ([35]). В рассматриваемом случае уравнения (1.2) допускают интегральный инвариант (3.3), где т = ш А О. [c.121] Невырожденность матрицы вторых производных для потенциала является одним из свойств полного интеграла. [c.122] Вернуться к основной статье