Вывод уравнений геометрической оптики

Вывод уравнений геометрической оптики [c.222]

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ 225 [c.225]

Открытие Гамильтона, согласно которому интегрирование дифференциальных уравнений динамики стоит в связи с интегрированием некоторого уравнения в частных производных первого порядка, основывалось на выводе результатов геометрической оптики, известных в корпускулярной теории, с точки зрения волновой теории, что имело большое значение в развитии физики своего времени. Теория Гамильтона интегрирования дифференциальных уравнений динамики есть прежде всего не что иное, как всеобщая аналитическая формулировка хорощо известного в физической форме соотнощения между световым лучом и световой волной. В силу изложенного здесь исходного положения делается понятной и та ненужно частная форма, в которой Гамильтон опубликовал свою теорию и из которой исходил Якоби. Гамильтон первоначально исходил в своих исследованиях систем лучей из практических запросов оптического приборостроения. В силу этого он рассматривал только такие световые волны, которые выходят из отдельных точек. Обобщение Якоби, вытекавшее отсюда, состояло в том, что для определения луча должны точно так же применяться и другие произвольные световые волны. Как известно, в оптике посредством так называемого принципа Гюйгенса из специальных волн строят общие [c.513]

Уравнения (6.10) и (6.7) и составляют систему уравнений геометрической оптики. Из их вывода ясно, что условием применимости геометрической оптики является малость изменения амплитуды волны и ее первых пространственных производных на протяжении длины волны. В противном случае могут возникать заметные отступления от геометрической оптики. Это происходит, например, в следующих случаях 1") на границе геометрической тени 2) вблизи фокуса, т. е. геометрической точки, схождения лучей 3) при распространении света в среде с резко меняющимся показателем преломления (например, в мутной среде) 4) при распространении света в сильно поглощающих средах (например, металлах). [c.44]

Резюмируя, можно утверждать, 4jo введение понятия эйконала и вывод основных уравнений (для А —> О позволили строго обосновать взаимосвязь геометрической оптики и электромагнитной теории света. Выявилось также, что постулаты, часто используемые для обоснований построений и законов геометрической оптики (например, принцип Ферма), могут рассматриваться как прямые следствия общей теории распространения электромагнитных волн и целесообразность их применения определяется лишь удобством решения тех или иных задач. [c.277]

Решение различных задач о распространении С. может быть осуществлено при помощи уравнения (3) при соответственном задании граничных и начальных условий. В частности из уравнения (3) выводятся вспомогательные принципы оптики, принцип Гюйгенса, принцип Ферма, принцип прямолинейного распространения С. для однородной среды и различные другие положения геометрической оптики (см. Гюйгенса принцип, Ферма принцип). Явления, наблюдаемые при отражении, рассеянии, распространении С. в анизотропных средах, доказывают для всей шкалы светового спектра поперечность световых возмущений (см. Поляризация света). Световые колебания в изотропной среде происходят в плоскости, перпендикулярной к линии распространения. Свойства электромагнитных волн, излучаемых искусственными электрическими системами—радиостанциями (см.), вибраторами Герца (см.),— вполне совпадают с перечисленными свойствами С., т. е. распространяются с той же скоростью, поперечны и описываются ур-ием (3). На этом основании и по косвенным подтверждениям, получаемым из явлений взаимодействия С. и вещества, можно утверждать, что природа любых световых волн электромагнитная. При этом световой вектор, определяющий действия С. на вещество, есть вектор электрический, что доказано опытами со стоячими световыми волнами при фотохимическом действии (Винер) и при возбуждении флуоресценции (Друде и Нернст). [c.146]

Это уравнение было открыто Гамильтоном в 1824 году в геометрической оптике, а спустя десять лет оно было распространено им на механику систем с потенциальными силами. Уравнение (7.1) называется уравнением Гамильтона в частных производных или (еще чаще) уравнением Гамильтона—Якоби, поскольку Якоби упростил его вывод и открыл важные свойства этого уравнения. [c.73]

Уравнение (2.3) называется уравнением эйконала и является основным уравнением, описывающим поведение света в приближении геометрической оптики. Отметим, что при его выводе мы пренебрегли многочисленными слагаемыми, получающимися при дифференцировании уравнения волны (2.2). Отсюда следует, что приближение геометрической оптики справедливо, если изменения амплитуды Eq на расстоянии порядка длины волны малы по сравнению с самой амплитудой. Это условие, очевидно, нарушается на границе геометрической тени, так как там интенсивность света, а значит, и напряженность поля меняется скачком. Действительно, именно на границе тени особенно ярко проявляют себя дифракционные эффекты, обусловленные волновой природой света. Нельзя также ожидать, что геометрическая оптика даст правильное описание полей вблизи то чек, где имеется резкий максимум интенсивности, например в окрестности формируемого линзой оптического изображения точечного источника. [c.39]

Главы 3—6 посвящены геометрической оптике, изложение которой оригинально и интересно. Уравнения геометрической оптики последовательно выводятся из уравнений Максвелла. При этом автоматически учитывается поперечность и векторный характер световых волн. Далее полученные уравнения применяются к теории оптического изображения и к расчету аберраций оптических систем. Рассмотрению указанных вопросов в книге не случайно-отведено много места, что отражаег успехи, достигнутые за последнее время в геометрической отике. [c.8]

Опираясь на механику Гамильтона—Якоби и на результаты развития геометрической оптики в трудах Бельтрами, Липшица, Брунса, Ф. Клейна, Дебая, Зоммерфельда и Рунге, которые с помощью уравнения эйконала придали геометрической оптике обобщенный вид и нашли для ее соотношений векторное выражение, Шредингер исходил из гамильтоновой аналогии. Он применил неевклидово мероопределение ( 8 = 2Т(д , и все последующие рассуждения вел в пространстве конфигураций. Воспользовавшись построением ортогональных некоторому лучу поверхностей дей- ствия и уравнением Гамильтона—Якоби и показав, что эти поверхности распространяются в пространстве в виде волнового фронта, Шредингер пришел к выводу, что принцип Гамильтона выражает собой принцип Гюйгенса в его до-френелевой формулировке. Отсюда, воспользовавшись соотношением Я = Шредингер получает свое основное волновое уравнение, [c.861]

В случае однородной среды интегрирование уравнения (2.3.10) дает ф(г) = к-г, где к = 2тги/Х. Вывод уравнения (2.3.10) мы предлагаем читателю провести самостоятельно в качестве упражнения (задача 2.5). Уравнение (2.3.10) называется в геометрической оптике уравнением эйконала. Поверхности постоянной величины ф, определяемые этим уравнением, представляют собой поверхности постоянной оптической фазы, или волновые фронты. Световые лучи определяются как траектории, ортогональные волновым фронтам ф т) = onst, и, следовательно, описываются также уравнением [c.41]

Одпако при рассмотрении уравнений полей, содержащих, как правило, четыре или большее число независимых переменных х, у, г, I. .., практически невозможно воспользоваться тем, что решение является стационарным значением некоторых интегралов, так как само решепие дифференциальных уравнений в частных производных представляет больпше трудности. В этих случаях использование вариационного принципа дает преимущество лишь при выводе законов сохранения, в частности закона сохранения энергии. Другое дело, если решаются задачи с одной независимой неремеппой (время в механике или длина луча в геометрической оптике). В этом случае имеют дело с обыкновенными дифференциальными уравнениями, и оказывается, что примененне вариационного принципа существенно упрощает исследование решения задачи. Фактически такой подход является непосредственным обобщением обычной геометрической оптики. В своем современном виде оп разработан главным образом Д. Гильбертом, и рассуждения, изложенные выше, базируются на материалах его неопубликованных лекций, прочитанных в Геттингене примерно в 1903 г. Здесь приводится теория лишь для трехмерного пространства х, у, г), однако ее легко обобщить на многомерный случай. [c.663]

НОСТЯХ срсды. Уравнения геометрической оптнки обычно выводятся из волнового уравнения (см. 38). Здесь мы получим решение, соответствующее этому методу, путем приближенного учета многократного рассеяния. Приводящийся ниже вывод не претендует на строгость его цель — в явном виде показать, как геометрическая оптика приближенно учитывает многократное рассеяние волн на малые углы. [c.214]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...