Ряды эллиптического движения

РЯДЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ [c.526]

РЯДЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО движения [ГЛ. хг [c.528]

РЯДЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. XI [c.530]

РЯДЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. хг [c.534]

Величина ё впервые была найдена иным путем при помощи весьма искусного расчета Лапласом, а поэтому число ё, определенное в (11.15), называется пределом Лапласа для сходимости рядов эллиптического движения, или, более кратко, пределом Лапласа. [c.534]

РЯДЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ 1ГЛ. хг [c.542]

Полученные формулы позволяют вывести множество различных свойств функций Бесселя. Имея в виду приложения этих функций к теории рядов эллиптического движения, мы ограничимся рассмотрением только некоторых важнейших из этих свойств. [c.559]

РЯДЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ гл. хг [c.564]

Применим ряд Лагранжа (11.14) для разложения некоторых важных величин невозмущенного эллиптического движения. [c.534]

Разложения координат эллиптического движения в ряды Фурье [c.544]

Возвращаясь к разложениям координат эллиптического движения, мы видим теперь, что все коэффициенты этих разложений можно представить в виде рядов, расположенных по возрастающим степеням эксцентриситета орбиты е, абсолютно сходящихся для всякого значения е в промежутке от нуля до единицы. [c.562]

В главе XI было показано, что в этом случае коордииаты и составляющие скорости (а также любые другие переменные величины эллиптического движения) разложимы в тригонометрические ряды, расположенные по синусам и косинусам кратных средней аномалии М , абсолютно сходящиеся для всякого момента времени, если е,<ё = 0,6627.. . и не абсолютно (или условно) сходящиеся, если < 1. [c.658]

Приведенные здесь ряды, как и другие разложения в теории кеплеровского эллиптического движения, сходятся абсолютно для всех е от О до предела Лапласа. [c.239]

Степенные ряды в случае эллиптического движения [c.244]

Используя разложения для эллиптического движения и функции Бесселя (см. ч. II, 3.01), можно представить выражение (Я1/А) в виде двойного ряда Фурье по кратным средних аномалий М и Мг- [c.407]

Кривая имеет вершину при = +1, т] = О и переходит в прямые линии т] = О (111 >1). В то время как уменьшается до нуля, т] непрерывно возрастает, и при = О становится равным лапласову радиусу сходимости. Угол в точке А равен 120 . Особая кривая позволяет просто ответить на вопрос о величине радиуса сходимости разложения координат эллиптического движения в ряды по степеням С — Со- Для этого возьмем в качестве центра круга точку Со и отыщем наименьший круг, который касается особой кривой. Радиус этого круга равен искомому радиусу сходимости. [c.475]

В предыдущем параграфе мы нашли, что координаты в эллиптическом движении являются голоморфными функциями эксцентрической аномалии, и что эксцентрическая аномалия зависит от двух величин, а именно, от эксцентриситета орбиты С и средней аномалии планеты I. Во многих случаях, в частности, при определении элементов орбит планет из наблюдений, делаются попытки использовать разложения координат в ряды по степеням средней аномалии, и, следовательно, определение радиуса сходимости этих разложений имеет большое практическое значение. Так как [c.477]

Только что рассмотренные два случая являются примерами разложений, в которых коэффициенты можно получить в виде конечных выражений через бесселевы функции. Это верно только для очень ограниченного числа функций от координат в эллиптическом движении. Среди разложений, для которых в качестве коэффициентов выступают бесконечные ряды бесселевых функций, одним из важнейших является разложение / по /. [c.72]

Найденное выше число 0,6627432... является, таким образом, единственным минимумом а, и этот минимум соответствует значению =. . Следовательно, ряды, которыми пользуются в теории эллиптического движения, являются всегда сходящимися, если эксцентриситет е меньше 0,6627432... в тех случаях, когда эксцентриситет превышает указанный предел, ряды перестают быть сходящимися, если средняя аномалия равна 90 . Но если- средняя аномалия отлична от 90°, то эти рады остаются сходящимися до значений е, превышающих 0,6627432... и тем более приближающихся к единице, чем больше средняя аномалия приближается к нулю или к180 [ ]. [c.392]

Мы уже указывали, что если эксцентриситет орбиты превышает предел Лапласа, то ряды не будут сходящимися для всех значений М в промежутке от нуля до 360°, а если е=1, то ряды вообще расходятся. Таким образом, полученные ряды не могут представлять решение уравнений невозмущенного движения (в случае /г<0) для всех значений эксцентриситета, заключенных между нулем и единицей. Поэтому, желая получить фор мулы, дающие решение дифференциальных уравнений невозмушенного эллиптического движения и пригодные для всех значений эксцентриситета в промежутке от нуля до единицы, мы должны вывести какие-то другие ряды, которые были бы сходящимися для всех действительных значений М и для всякого е в промежутке от нуля до единицы. [c.544]

Эти общие формулы мы можем применить теперь для разложения координат эллиптического движения в ряды, сходящиеся для всех значений средней аномалпи и при всяком значении е в промежутке от нуля до единицы. [c.546]

Поэтому ряды типа Фурье, представляющие велич1П1ы невозмущенного эллиптического движения, можно без опасе1тя дифференцировать, интегрировать, перемножать, делить, при любом значении средней аномалии М. но только для значений эксцентриситета, не превышающих предела Лапласа ё. Если же 1, то оперировать с рядами типа Фурье следует с большой осторожностью, помня, что действия над ними могут превратить сходящийся ряд в расходящийся. [c.565]

Точно так же не представляет при ципиальных затруднений получить заново разложения и для ряда других величин эллиптического движения. Эти разложения можно найти в более подробных руководствах или в специальных таблицах ). [c.565]

Предположим сначала, что возмущающая сила не зависит явно от времени t и содержит простейшим образом (т. е. в виде множителя) некоторый малый параметр о. Тогда составляющие возмущающего ускорения будут функциями только от координат и составляющих скорости движущейся точки, имея множителем малый параметр о. Но координаты и составляющие скорости иевозмущенного эллиптического движения разложимы, как показано в гл. П, в ряды Фурье, расположенные по синусам и косинусам средней аномалии М. Поэтому таким же характером будут обладать и функции -Р, и уравнения (12.102) могут быть написаны для рассматриваемого случая в следующем общем виде [c.646]

Эти коэффициенты А и В в свою очередь могут быть разло-л<ены в степенные ряды, расположенные по целым положительным степеням эксцентриситетов и наклонностей. Действительно, из результатов гл. II прямо следует, что коэффициенты рядов Фурье, представляющих величины эллиптического движения, суть ряды, расположенные по степеням эксцентриситета эллиптической орбиты. Кроме того, координаты эллиптического движения содержат либо косинус, либо синус наклонности, а поэтому упомянутые координаты разлагаются в ряды по степеням наклонности. Таким образом, функция Rsj может быть разложена в четырехкратный ряд, расположенный по степеням эксцентриси тетов и наклонностей двух орбит точек М и Му Следовательно, и всякая из величин s ] также разложима в ряд такого же характера, а значит, коэффициенты Л и в формуле [c.665]

Рассмотрим теперь выражения для координат эллиптического движения, представленные рядами, расположенными по целым положительным степенял эксцентриситета ), и коэффициенты которых суть тригонометрические функции (конечные ряды синусов и косинусов) от средней аномалии, обозначаемой в этой главе буквой I. [c.701]

Приведем разложения некоторых функций эллиптического движения в тригонометрические ряды по кратным эксцентрической аномалии Е. Ряды по кратным Е представляют интерес, особенно в тех случаях, когда при решении уравнений возмущенного дзиже.чия (см. ч. IV, гл. 3, 4) в качестве независимой переменной принимается эксцентрическая аномалия. [c.239]

Стало быть, особые точки расположены симметрично относительно оси g и лежат на параллельных оси к прямых, проходящих через точки 2кл (к = О, +1, +2,. . . ). Все особые точки имеют именно такую координату А, значение которой получается из (7 ). Положение особых точек и определение области сходимости при разложении в ряды по степеням времени в эллиптическом движении впервые было дано Ф. Р. Мульто-ном [61]. [c.478]

Введение. Методы, изложенные в гл. I, достаточны для вычисления координат планеты в эллиптической орбите для любого момента времени по элементам этой орбиты. Для различных приложений в небесной механике необходимо иметь в распоряжении методы, которые позволят разложить координаты и функции от координат в эллиптической орбите в периодические ряды. При движении по эллипсу все конечные и непрерывные функции от координат после полного обращения тела возвращаются к исходным значениям. Поэтому такие функции разложимы в периодические ряды по любой непрерыно возрастающей угловой переменной, которая за время полного обращения тела увеличивается на 2л. Угловыми переменными, представляющими в этой связи особый интерес, являются средняя аномалия I, эксцентрическая аномалия и и истинная аномалия /. Они не являются единственными аргументами, которые могут быть рассмотрены в некоторых приложениях используются другие аргументы. Функциями, которые представляются наиболее естественными для этой цели, являются пли четные, или нечетные периодическпе функции от этпх переменных, порождающие либо ряды косинусов, либо ряды синусов. Поскольку обычно удобнее оперировать степенными рядами, чем тригонометрическими разложениями, то полезно познакомиться с разложениями в экспоненциальной форме. [c.58]

Разложениям " , os рн и sin рм пмеют большое значение в приложениях к проблемам небесной механики. Большинство функций от координат в эллиптическом движении легко выражается через периодическпе ряды по эксцентрической аномалии. Можно затем использовать ряды (54), (55), (57) для перехода к рядам, выцаженным через среднюю [c.69]

Обширная табуляция рядов в эллиптическом движении была дана Леверрье ). [c.75]

В предыдущих разделах были получены разложения координат в эллиптическом движении в виде рядов Фурье, аргументами которых являются дуги, кратные средней аномалии, а коэффициенты выражаются рядами по степеням эксцентриситета. Теперь мы рассмотрим разложения координат, которые могут быть получены непосредственнр из уравнений движения. Методика состоит в получении координат в виде рядов по степеням эксцентриситета, коэффициентами которых являются ряды Фурье по средней аномалии. [c.80]

Хилл выбирает прямоугольные координаты, а не полярные, так как дифференциальные уравнения в этом случае выражаются в чисто алгебраическом виде. Если используются полярные координаты, то почти немедленно появляются тригонометрические функции. Хилл также замечает, что в эллиптическом движении прямоугольные координаты выражаются через среднюю аномалию гораздо более простыми рядами, чем полярные координаты. Затем он продолжает Если это верно в эллиптической теории, то насколько более вероятной является справеливость аналогичного факта в том случае, когда сложность проблемы увеличивается вследствие рассмотрения возмущающих сил [c.291]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...