Периодические движения вблизи данного периодического движения

Приведенный выше пример можно обобщить таким образом, чтобы вывести из него предварительное необходимое условие, которое мы должны наложить на гамильтоновы системы с числом степеней свободы больше двух, если мы хотим, чтобы для них оставалось справедливым заключение о существовании бесконечного множества периодических движений вблизи данного устойчивого периодического движения. [c.170]

Очевидно, что не мо кет существовать никаких периодических движений, лежащих целиком вблизи данного периодического движения неустойчивого типа в противоположность тому, что мы видели для движений, принадлежащих к общему устойчивому типу I. ф 0). [c.216]

Если уравнение Si = О не дает вещественных формальных инвариантных кривых этого рода, то периодическое движение мы можем назвать принадлежащим к устойчивому типу. В рассмотренном выше случае общего устойчивого типа функция Г2 совпадает с с точностью до членов высшего порядка. Если а несоизмерима с 2тг, тогда как в вместе с некоторыми, но не со всеми подобными константами обращается в нуль, то никаких существенных изменений не требуется, за исключением того, что в формуле (2) член нг д заменяется на Если однако, все эти константы равны нулю, то нормальный вид (2) сохраняется с в = О, и к таким нерегулярным периодическим движениям уже невозможно применить наше прежнее рассуждение, с помощью которого мы показали существование бесконечного множества периодических движений вблизи данного. [c.217]

Значениям а = О, тг, тг/2, 2тг/3 соответствуют резонансы при потере устойчивости. Такие резонансы являются двукратным вырождением (по модулю и по аргументу), и они должны исследоваться уже в пространстве двух параметров [10] затухания вблизи периодического движения и расстройки частоты от резонанса (в данном случае расстройка — разность между аргументом мультипликатора и резонансным значением аргумента). [c.321]

Поясним последнее обстоятельство подробнее. Сепаратрисы на секущей состоят из точек, которые получаются в результате последовательного применения отображения. Если точка принадлежит сразу двум сепаратрисам (устойчивой и неустойчивой), то и все ее образы (при и —> оо) и прообразы (при п —> —оо) также должны принадлежать двум сепаратрисам сразу. Следовательно, устойчивая и неустойчивая сепаратрисы должны иметь счетное множество общих точек, т. е. точек пересечения. Ясно, что вблизи неподвижной точки, где движение экспоненциально замедляется, точки пересечения инвариантных многообразий должны сгущаться. В результате на секущей поверхности получается картина, подобная той, что на рис. 15.16. Точки пересечения сепаратрис на секущей принадлежат двоякоасимптотической траектории, которую Пуанкаре назвал гомоклинической. При I оо эта траектория сматывается и наматывается на исходное периодическое движение. Окрестность гомоклинической траектории в фазовом пространстве называют гомоклинической структурой. В такой структуре имеется бесконечное разнообразие траекторий, среди которых наряду с периодическими есть и случайные. Полное описание траекторий, принадлежащих гомоклинической структуре, было дано сравнительно недавно на языке символической динамики [14]. [c.326]

Но траектории КА, не покидающие окрестности (например, условно-периодические траектории), неустойчивы. При малых отклонениях начальных данных от многообразия условно-периодических траекторий КА, вообще говоря, начинает экспоненциально быстро удаляться от точки Lj. Условно-периодическая траектория может служить лишь опорной траекторией, в окрестности которой движение должно поддерживаться с помощью активной системы управления. Величина энергетических затрат на поддержание движения вблизи существенно зависит от точности определения многообразия условно-периодических траекторий. [c.266]

Экспериментальные данные радикально отличаются от этой величины. Например, для Sn G=l,9-10 дн/см , а предел упругости — 13-10 дн/см2. Для Ag соответственно 2,8-10" и 6-10 , для А1 — 2,5-10" и 4-10 . Для объяснения этого различия было предположено, что в кристаллах существуют дефекты особого типа, называемые по современной терминологии дислокациями. Дод дислокацией понимают линейный дефект, появляющийся вследствие нарушения правильного чередования атомных плоскостей в кристалле. Например, дислокация возникает, если выше (ниже) какой-то плоскости в части кристалла появляется лишняя (как бы вставленная) атомная плоскость или, наоборот, оттуда изымается одна из плоскостей. Тогда силы, удерживающие конечные ряды этой лишней плоскости, будут существенно слабее тех, которые реализуются при строго периодическом расположении атомов, поскольку в окрестности дислокации атомы не находятся в положениях, отвечающих минимуму кристаллического поля. В результате движение атомных плоскостей вблизи дислокации [c.237]

Сосредоточим внимание на тех движениях вблизи данного периодического движения, для которых Z = с. имеет то же значение, что и вдоль самого периодического движения. В этом случае порядок пфаффовой системы уравнений понижается до 2т — 1 и переменными будут х, . .., Х2т-2- Эту систему можно написать в вариационной форме [c.109]

Всякое такое замкнутое семейство движений вблизи данного устойчивого периодического движения общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, характеризуется коэффициентом вращения. Если этот коэффициент несоизмерим с 2тт, то либо семейство состоит из единственного минимального множества рекуррентных движений непрерывного типа, или же оно содержит совершенное, нигде не плотное минимальное множество рекуррентных движений разрывного типа, к которому все остальные движения семейства стремятся асилттотически при безграничном возрастании или убывании i. Если это число соизмеримо с 2тг, то в семействе существует одно или несколько замкнутых периодических движений, тогда как остальные движения семейства образуют аналитические ветви, асимптотические к этим периодическим движениям. [c.227]

Мы уже видели ( 1,2 главы VIII), что вблизи такого периодического движения устойчивого типа существует бесконечное мпо кество других периодических движений устойчивого типа, соответствующих инвариантным точкам поверхпости S относительно какой-нибудь степени Г преобразования Г. Рассмотрим какое-нибудь такое движение, которое будет общего устойчивого типа с переменными периодами в формальных рядах. Для него существуют множества EJ и которые оба должны быть также всюду плотны в S. Но множества Е и пе имеют общих точек, поскольку одно и то же движение не может быть асимптотическим к двум различным периодическим движениям в одном направлении (в данном случае в направлении отрицательных t). Аналогично не могут иметь общих точек множества Е и E . [c.235]

Выше было показано, что в любой окрестности периодического движения общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, существуют соседние псриодичсскис движения как устойчивого, так и неустойчивого типа. Естсствспно, возникает вопрос имеются ли подобно этому псриодичсскис движения, сколь угодно близкие к какому-нибудь периодическому движению неустойчивого типа Конечно, такое движение не может оставаться вблизи данного периодического движения в течение всего периода. На этот вопрос может быть дан утвердительный ответ. А именно, можно показать, что когда обе асимптотические аналитические ветви периодического движения неустойчивого типа пересекаются, то будет существовать бесконечное множество периодических движений, проходящих через сколь угодно малую окрестность соответствующих двояко-асимптотических движений и данного периодического движения неустойчивого типа . [c.239]

Остающийся открытым вопрос о возможности п-мерного обобщения последней геометрической теоремы Пуанкаре мы сейчас вкратце обсудим. Исследование аналитических свойств движений вблизи данного устойчивого периодического движения динамической системы с п степенями свободы и свойств соответствующего преобразования Г, порождаемого этой системой, по-видимому, указывает на существование бесконечного множества близких периодических движений. Теорема Пуанкаре оказывается лишь качественным выражением существенных элементов аналитического положения вещей нри п = 2 и, в действительности, частный случай, рассмотренный Пуанкаре, достаточен тогда для динамических приложений . Чтобы придти к надлежащему п-мерному обобщению теоремы, необходимо определить качественно существенные элементы п-мерпой аналитической проблемы. Это, вероятно, может быть сделано простым путем. [c.291]

Периодические движения вблизи данного периодического движения т = 2. Мы видели уже (глава IV, 1) как пфаффова система уравнений общего вида, не содержащая времени I в явном виде, допускает приведение к подобной же системе с меньшим на единицу [c.165]

В самом деле, если в этой окрестности проходит изолированная кривая движения, принадлежащая М , то эта кривая должна быть замкнута и соответствующее движение должно быть периодическим, так как движение пеблу кдающее. В этом случае само периодическое дви- кение обладает требуемым свойством. Если изолированного дви кения не имеется, то сколь малой мы ни выбрали бы окрестность данной точки, она при своем движении будет в некоторый момент налегать на свое первоначальное положение. Таким образом, мы получим две точки Р, Q на одной и той же кривой движения, принадлежащей М , лежащие обе в маленькой частице, содержащей данную точку, но отстоящие далеко друг от друга по времени. Возьмем теперь еще меньшую частицу около Р, такую маленькую, чтобы всякая точка Р этой частицы пришла в точку Q, лежащую в первоначальной частице и вблизи от Q, когда Р придет в Q. Выбирая Р подходящим образом, мы мо- [c.199]

Исследуя линейные уравнения, мы не можем также ничего сказать о том, какой процесс установится в системе по прошествии достаточно длинного промежутка времени и, в частности, возможен ли в данной системе периодический процесс. Мы можем лишь утверждать, что в рассматриваемой нами линейной системе периодический процесс невозможен. Для ответа на вопрос о дальнейшей судьбе реальной системы, после того как она выйдет за пределы области, которой мы ограничили наше рассмотрение, нужно, очевидно, рассматривать эту систему уже как нелинейную. Такое нелинейное рассмотрение и составляет пашу да.чьнейшую задачу. Пока мы лишь укажем, что отсутствие колебательных движений вблизи положения равновесия отнюдь не доказывает вообще невозможности колебательных движений в данной системе. В частности, если вблизи положения равновесия происходит апериодическое нарастание (неустойчивый узел), то это вовсе не значит, что в дальнейшем в системе не может установиться колебательный процесс. Как мы увидим, и в случае особой точки типа узла вполне возможно существование периодического процесса (незатухающих колебаний). [c.93]

Если в уравнениях (41) вместо конечных сумм в правой части фшу-рируют некоторые функции/г ( , ц, О, периодические по с периодом Г= О (ц.), то при условии, что характеристическое уравненве системы, описывающей медленные движения вблизи точек квазиравновесия, не имеет корней с нулевыми вещественными частями, данный признак дает не только достаточные, но также и необходимые условия асимптотиче-ской устойчивости квазиравновесий исходной системы. [c.93]

В тех случаях, когда роторы являются тяжелыми и когда они имеют (по своей природе) большой и нестабильный в процессе длительной эксплуатации дисбаланс, и особенно в случае, когда машина работает на закритическом режиме и без применения специальных упругих элементов (например, за счет большой длины ротора), тогда обычная внутренняя амортизация на низких частотах не может быть осуществлена эффективной на частоте вращения из-за большой потребной жесткости упругих элементов, ибо им приходится в данном случае воспринимать большую статическую силу (силу веса ротора). Такое положение имеет место, например, во многих электрических машинах, турбинах. В этом случае остаточная периодическая сила, передающаяся через достаточно жесткую упругую связь, расположенную под опорами ротора, является достаточно большой. Выполненные нами исследования показывают, что эту силу можно существенно ослабить с помощью применения двухкаскадной амортизации с промежуточной массой, часть которой является настроенным антивибратором (на частоту вращения). Этот антивибратор создает (без учета сил трения) на промежуточной массе узел колебаний у вертикальной и горизонтальной компонент движения следовательно, динамические усилия локализуются на промежуточном теле и не передаются далее на корпус и опоры машины. Этот метод борьбы с колебаниями вблизи с источником мы назвали внутренней упругоинерционной виброзащитой. Она почти не изменяет габаритов и веса машины. Ее расчет описан нами ранее. [c.452]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...