Простые замкнутые кривые, образованные траекториями

Рассмотрим, далее, значения функционала I на простых замкнутых кривых Г семейства и, расположенных внутри кольца, ограниченного кривыми Си/). Предположим, что это кольцо не содержит особых точек функции V. Мы видели, что значения I убывают при перемеш,ении кривой Г наружу от кривой С или внутрь от кривой D. Предполагая, что значения / на кривых семейства у. ограничены и что точная нижняя грань этих значений т достигается на некоторой кривой семейства, приходим к выводу, что существует по крайней мере одна кривая Го, для которой / (Го) = т. На этой кривой функционал / достигает минимального значения. Очевидно, что кривая Го не может совпадать как с кривой С, так и с кривой D ни целиком, ни какой-либо частью. Таким образом, если на кривой С W < О, а ка кри-тй D W > Q, то в кольцевой области, ограниченной этими кривыми, существует по крайней мере одна периодическая траектория. [c.551]

Очевидно, все точки траектории Ь могут быть получены при изменении I в уравнениях (17) от до -Ь 9о + 0о)> где io — любое фиксированное число. Так как по самому определению 6о есть наименьшее число, при котором выполняются равенства (22), то всяким двум значениям I и 1", о + 6о> заведомо соответствуют различные точки траектории Ь. Это и означает (ср. дополнение, 5), что траектория Ь является простой замкнутой кривой. В силу леммы 5 эта замкнутая кривая, очевидно, гладкая. Таким образом, лемма доказана. [c.30]

Таким образом, всякая отдельная траектория системы (I) либо а) является точкой либо б) является просто замкнутой кривой либо [c.108]

В 25 рассматривается полная ( глобальная ) схема предельного континуума. В полной схеме дается описание расположения продольного континуума на плоскости, состоящее в описании взаимного расположения тех простых замкнутых кривых, имеющих общими точками состояния равновесия, которые образованы входящими в континуум траекториями, [c.411]

Пусть Сь — замкнутая кривая, состоящая из траектории Ь и точки О (рис. 31). Нетрудно показать, что всякая траектория Ь, проходящая через точку внутри Сь, стремится при i -Н оо и i — 00 к состоянию равновесия О и вместе с точкой О образует простую замкнутую кривую Сь - При этом каждая из двух областей, ограниченных двумя различными такими кривыми Сь п С/,//, лежит одна внутри другой. [c.59]

К сожалению, уравнения, определяющие траекторию гравитационного разворота, нелинейны и не допускают получения решения в замкнутой форме даже в том случае, если силой сопротивления пренебречь, а поле силы тяжести считать однородным (что, как отмечалось выше, является хорошим приближением, если длина активного участка мала по сравнению с радиусом Земли) и рассматривать одноступенчатую ракету с постоянной величиной тяги и постоянным секундным расходом. С другой стороны, весьма неудобно и невыгодно интегрировать эти уравнения на вычислительной машине всякий раз заново, для каждой новой задачи, тем более, что при таких расчетах большей частью не требуется высокой точности результатов. Поэтому очень желательно было бы проинтегрировать их раз и навсегда и представить решение в простой и ясной форме. Одна из имеющихся здесь трудностей заключается в том, что даже для случая плоского движения возможные траектории образуют семейство кривых, зависящих от трех параметров величины начальной скорости Уо, угла между вектором о и вертикалью (часто называемого углом начального опрокидывания) и начального отношения тяги к весу (тяговооруженности) п (считая, что тяга и секундный расход постоянны). Достаточно же удобное представление семейства траекторий, зависящих от трех параметров, которые сами меняются в некоторых пределах, затруднительно. Количество параметров можно свести к двум, если принять во внимание, что обычно гравитационный разворот начинается вскоре после старта, когда величины [c.45]

В 1 были получены некоторые основные сведения о траекториях именно, было установлено, что траектория может быть либо состоянием равновесия, либо замкнутой траекторией, либо незамкнутой траекторией. С точки зрения качестеенной теории динамических систем характер траектории описан исчерпывающим образом,— если известно, что она является состоянием равновесия (т. с. отдельиой точкой) или замкнутой траекторией (т. е. простой замкнутой кривой). Однако в случае, когда известно, что траектория незамкнута — очевидно требуется дополни-тельиое исследование. В приведенных в 1 конкретных дниамических системах мы встречались с несколькими различными тинами незамкнутых траекторий. Естественно постараться выяснить, каковы вообще все возможные типы таких траекторий. [c.69]

Пусть R и R — две точки дуги I, лежащие по разные стороны траектории L (рис. 185). Так как по предположению g" — область, то точки R и R" можно соединить простой дугой Л, целиком лежащей в области g". Будем двигаться по дуге к от точки R к R и пусть Р — последняя точка дуги к, лежащая па части R Q дуги I, а Р" — первая точка дуги к, лежащая на части R"Q дуги I. Пусть А — часть Р Р" дуги к. Очевидно, к является простой дугой, соединяющей точки Р и Р", целиком лежит в области g" и не имеет с частью Р Р" дуги I других общих точек, кроме своих концов. Но тогда простая дуга 7J вместе с частью Р Р" дуги I образует простую замкнутую кривую С, целиком лежащую в области g. Эта замкнутая кривая имеет с траекторией L" одну только общую точку Q, причем в этой точке траектория "в силу того, что точка Q есть точка дуги без контакта Р Р", при возрастании t переходит из одной области, определенной кривой С, в другую, например из вне во внутрь кривой С. Но тогда ю-предельпые точки траектории L", принадлежащие континууму Kz, должны лежать внутри кривой С, а а-предельные точки, принадлежащие континууму Ку, вне кривой С. Таким образом, граничные точки области g лежат как внутри кривой С, так и вне ее. Так как ag, то отсюда следует, что g — двусвязная область. Но это противоречит утверждению а). Полученное противоречие показывает, что множество g" не является об.пастью. [c.309]

Пусть, как и выше, окрестность (О) пе содержит целиком ini одной особой траектории кроме точки О, и пусть существует траектория L, целиком лежащая в О) (стремящаяся, следовательно, к состоянию равновесия О при i оо и при t — оо, т. е. образующая петлю). Обозначим через а простую замкнутую кривую, состоящую из траектории L и точки О, и через g область внутри кривой о. В силу выбора Ug [О) все TpaeKTojiiiH, проходящие через точки, лежащие внутри кривой с, пеособые и, следовательно, в силу теоремы 53 образуют петли, лежащие одна внутри другой. [c.327]

НИ ОДНОЙ особой траектории. Предположим, что существуют траектории, целиком лежащие в окрестности 11 (О) и, следовательно, образующие петли. Пусть 1 и 2 — две траектории, принадлежащие одной и той же яче1ше и, следовательно, образующие петли, лежащие одна внутри другой. Предположим для определенности, что петля, образованная траекторией Ьо, лежит внутри петли, образованной траекторией Ьу. Обозначим через О у и о 2 простые замкнутые кривые, соответственно состоящие из траектории Ьу и точки О и из траектории Ь и точки О. Пусть го— область, состоящая из точек, лежащих внутри кривой О1 и вне криво11 о2 все точки ш принадлежат одной ячейке (рис. 202). [c.337]

Для доказательства утверждения в) обозначим область, ограниченную кривой 5i, через gj и предположим, что gi. Если какая-нибудь кривая, например S3,. тежит внутри области g2 или вне gi, то все три кривые Si, S2, S3 не могут, как нетрудно убедиться, одновременно состоять из траекторий, предельных для L. А это противоречит тому, что эти кривые входят в состав предельного континууматраектории L. Отсюда следует справедливость утверждения в). Утверждение г) является непосредственным следствием того, что (S) есть по определению совокупность всех простых замкнутых кривых континуума Kali случае, когда континуум К является О-предельным, рассуждение полностью аналогично. Таким образом, лемма доказана. [c.434]

Очевидно, однако, что при принятии такого определения мы не имели возможности говорить о грубо сти целого ряда систем, которые естественно считать грубыми. Так, например, пусть рассматривался динамическая система, которая имеет в некоторой области С (ограниченной замкнутой кривой) только одно седло илп узел и седло. Такие системы мы должны, очевидно, считать грубыми. Но мы не можем пользоваться определением I, так как граница области С в этих примерах, очевидно, не может быть циклом без контакта. Индекс замкнутой кривой, являющейся границей области С, в этих случаях, очевидно, не равен единице, и, следовательно, она не может быть циклом без контакта. Можно подправить определение I, делая более общие предположения относительно границы области С. Например, можно допускать, что граница области О есть гладкая простая замкнутая кривая, имеющая конечное число касаний с траекториями системы (А) и не содержащая состояний равновесия (см. [155]). Однако всякие такие предположения относительно границы области всегда являются ограничениями, посторонними понятию грубости динамической системы. Ограничения на возможные границы должны вытекать из определения грубости. Кроме того, по смыслу понятия грубости из грубости системы в некоторой области С должна вытекать — непосредственно из определения — грубость системы в произвольной замкнутой области Со, содержащейся в О. Поэтому все указанные определения грубости (с условиями на границе) не полностью отражают смысл понятия грубости системы, а его отражает более сложное по форме определение I. Отметим, что из определения I непосредственно вытекает, что система (А) — грубая в некоторой области С — груба во всякой области " =( . Определение Г фактически используется также при рассмотрении негрубых систем, когда область, в которой рассматривается негрубая система, естественным образом разделяется на части, в которых система является грубой, и части, в которых система содержит негрубые элементы. [c.153]

Мы уже указывали, что в простых металлах довольно трудно зафиксировать даже сам эффект брэгговских отражений. Эту трудность, однако, можно обойти, если поместить образец в магнитное поле. Как мы видели в 2 для более общего случая, классическая траектория свободного электрона в присутствии магнитного поля искривляется, и электрон движется по спиральной орбите, ось которой параллельна магнитному полю. У электрона на ферми-поверхности соответственно волновой вектор будет описывать некоторую замкнутую кривую. Эта кривая представляет собой сечение ферми-сферы плоскостью, перпендикулярной направлению магнитного поля. Следовательно, любой данный электрон, двигаясь вдоль такой линии на ферми-поверхности, часто может пересекать в некоторых точках брэгговские п.1эскости отражения. Если это произойдет, то в соответствующей точке электрон испытает дифракцию, изменив направление своего движения и перепрыгнув в другую часть ферми-сферы. Дальше он будет двигаться по другому отрезку круговой траектории на ферми-сфере. Таким образом, хотя в одноволновой OPW картине ферми-поверхность и остается сферической, траектория движения электрона внутри металла становится очень сложной. На фиг. 35 мы видим одну из таких возможных орбит. Заметим, что по сравнению с межатомным расстоянием электронная орбита может быть довольно большой. Если бы мы могли заглянуть внутрь металла, мы увидели бы, как в присутствии магнитного поля электроны выписывают множество сложнейших траекторий. Движение волнового вектора по сферической ферми-поверхности тоже очень сложно плавная траектория прерывается скачками из одной части поверхности в другую, поэтому хотелось бы найти более простое и ясное описание электронных состояний. [c.127]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...