Задача С. А. Чаплыгина о плоском неголономном движении

С. А. Чаплыгин вывел свои уравнения для истинных координат, однако, в дальнейшем при решении задачи о плоском неголономном движении он использовал их, введя в качестве независимого параметра длину дуги, которая является квазикоординатой, причем С, А. Чаплыгин не отметил этого обстоятельства. Законность такого использования выведенных уравнений связана с тем, что вид уравнений С. А. Чаплыгина сохраняется и в том случае, когда некоторые из первых т координат (вариации которых приняты за независимые) не входят ни в уравнения связей, ни в функцию Лагранжа , а вместо них введены квазикоординаты. Обычно квазикоординаты вводятся в виде соотношений (как правило линейных) между производными квазикоординат и обобщенными скоростями, причем сами квазикоординаты в силу своей природы входить в эти соотношения не могут. Если I (I < т) — число координат, входящих в функцию L и уравнения связей, тогда, имея в виду применение уравнений Чаплыгина, можно ввести не более т—I квазикоординат. [c.110]

Введение в механику понятия квазикоординат и обобщение уравнений Лагранжа на квазикоординаты интересно тем, что оно позволило объединить в одной и той же форме обычные уравнения Лагранжа, уравнения движения неголономных систем и такие уравнения, как, например, динамические уравнения Эйлера движения твердого тела с закрепленной точкой ). Чтобы сделать очевидным важность этого обобщения не только с формальной стороны, заметим, что при исследовании движения конкретных механических систем существенную роль играет удачный выбор неизвестных параметров (обобщенных координат и квазикоординат), определяющих движение. Как известно, с использованием квазикоординат была поставлена и исследована задача Эйлера о движении по инерции твердого тела с закрепленной точкой. В квази-координатах же исследованы С. А. Чаплыгиным задача о плоском неголономном движении и трудная задача о качении неоднородного шара по плоскости. Квазикоординаты как некоторые кинематические характеристики движения, определяющие скорости движения точек системы, употреблялись в механике очень давно. Однако лишь на рубеже двадцатого века обобщенные координаты и эти кинематические параметры были объединены в одном общем понятии квазикоординат, а в подытоживающей работе Гамеля были получены уравнения движения в квазикоординатах, по форме написания близкие к уравнениям Лагранжа и применимые как к голономным, так и к неголономным системам ). Хотя по своему [c.123]

Задача С. А. Чаплыгина о плоском неголономном движении [c.74]

В работах В. В. Вагнера введено понятие кривизны неголономного многообразия и приведены примеры (1941) использования общих соображений неголономной геометрии для интегрирования уравнений движения. Так, в задаче С. А. Чаплыгина о плоском неголономном движении соответствующее неголономное многообразие имеет нулевую кривизну и поэтому мож-ло найти такие локальные координаты, в которых все коэффициенты связности T]k обращаются в нуль, после чего уравнения движения легко интегрируются, [c.176]

Исходя теперь из уравнений (12.11), следует принять во внимание, что индекс / пробегает значения / = 2, 3,. .., п, а координата явно в коэффициенты 6/2 не входит. Отсюда для приводящего множителя N = N ( 1, я) непосредственно получаем уравнения (12.14). Таким образом установлен класс задач, когда результаты в обоих случаях совпадают. Именно к этому классу задач и принадлежит задача Чаплыгина о плоско-параллельном неголономном движении, которую мы и приведем в качестве первого примера, иллюстрирующего применение теоремы о приводящем множителе. [c.207]

Эти результаты не остались без применения к традиционным задачам механики. В. В. Вагнер успешно исследовал такими методами задачу G. А. Чаплыгина о плоском неголономном движении, изучал свойства фазового пространства в эйлеровом случае движения твердого тела вокруг неподвижной точки, рассмотрел и новые задачи неголономной механики. В. В. Добронравов подробно рассмотрел вопрос о применении негопономных координат и последовательно провел все построение аналитической механики в этих координатах. Ряд основных результатов преншей теории остался в силе, некоторые из них оказались верными только с известными ограничениями. Такие ограничения выделяют классы механических систем, имеющие определенный интерес. [c.288]

Отдельно выделились такие вопросы, как изучение плоского неголо-номного движения (задача Чаплыгина) и частный ее случай — задача Каратеодори о движении саней. Интересна и важна практически задача о движении упругих объектов при неголономных связях, решенная М. В. Келдышем в его известной работе. Шимми переднего колеса трехколесного шасси (Труды ЦАГИ, 1945, № 564). Исследованием упругих систем с неголономными связями занимается коллектив украинских ученых во главе с Н. А. Кильчевским, а также итальянские ученые Синьори-ни и другие (см. А. И. Лурье Теория упругости , 1970). Методы неголономной механики в гидромеханике играют роль в научном направлении, развиваемом Л. И. Седовым и его учениками (см. Л. И. Седов и М. Э. Эг-лит, ДАН АН СССР, 1962, № 142). Явления неголо номности в теоретической и прикладной гироскопии исследованы в фундаментальном труде [c.9]

В случае движения диска наиболее изучены регулярные прецессии и их устойчивость [122]. В книге [122] исследована также устойчивость вертикальных плоских движений тяжелого эллиптического диска, уравнения которого, вообще говоря, неинтегрируемы. Отметим также, что при полном отсутствии проскальзывания (в классической неголономной постановке) уравнения качения круглого диска также являются интегрируемыми (задача Чаплыгина, Аппеля, Кортевега [2, 122]), однако описываемая ими динамика существенно сложнее. [c.236]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...