ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача С. А. Чаплыгина о плоском неголономном движении из "Динамика неголомных систем " Формулировка и решение в квадратурах рассматриваемой в этом параграфе задачи были даны С. А. Чаплыгиным в 1911 г. Без ссылки на С. А. Чаплыгина, Каратеодори в 1933 г. подробно исследовал частный случай этой задачи, назвав рассматриваемую систему санями. В связи с неголономной геометрией эту задачу в общем случае рассмотрел В. Вагнер. [c.74] Исследование движения рассматриваемой системы, которую будем называть санями, сводится в конечном итоге к отысканию Ху у и (р в функции времени. [c.75] Удобнее, однако, составить уравнение движения не непосредственно для этих величин, а для некоторых промежуточных, а именно для проекций и у V скорости точки Л тела на подвижные оси Л и Лг], а также для угловой скорости со = ф вращения тела относительно вертикальной оси. [c.75] При изменении / от —оо до +оо величина ур согласно полученным формулам изменяется от — до + Из этого, в частности, вытекает. [c.77] Нам осталось выяснить вид траектории точки А при различных значениях параметра к. (При изменении величины а, также входящей в параметрическое уравнение (4.12), траектория движения претерпевает лишь подобное изменение.) Наиболее простой случай движения саней Чаплыгина имеет место при а == О (и, следовательно, к = оо), когда проекция центра масс на плоскость я совпадает с точкой опоры лезвия. Для рассмотрения этого вырожденного случая полученные нами формулы непосредственно неприменимы, поскольку при замене (4.7) и уже при написании уравнений (4.5) предполагалось, что величина к отлична от нуля и бесконечности. Разумеется, нужные формулы для этого случая могли бы быть найдены путем предельного перехода. Однако проще провести рассмотрение заново, тем более, что оно является элементарным. Действительно, при а = О момент силы реакции R относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс, равен нулю, поэтому ф = onst. Из постоянства кинетической энергии отсюда следует также, что и а = onst. К таким же выводам приводят и дифференциальные уравнения (4.1) и (4.2). Таким образом, точка А прикосновения лезвия движется с постоянной по величине скоростью, вектор которой вращается также с постоянной угловой скоростью со. Совершенно ясно, что точка А описывает при этом окружность радиуса г = . [c.78] В общем случае, когда а =f=0, кривая (4.12) имеет приф = О единственную особую точку. Характер этой особой точки можно выяснить путем разложения функций хи у в степенной ряд по-ф в окрестности значения -ф = 0. [c.78] На рис. 2.11 изображены кривые (4.12) для к = I, 3/2, 2 и 3 соответственно. [c.79] Заметим, что в точке возврата этих кривых лезвие саней делает мгновенную остановку, т. е. в этой точке скорость и равна нулю. [c.79] Вернуться к основной статье