Плоское безвихревое движение Функция тока

Наибольший интерес представляет плоское безвихревое движение, для которого, кроме потенциала скоростей, существует еще функция тока, введенная впервые Лагранжам в 1781 г. кинематическая интерпретация функции тока, связанная с понятием линии тока, была дана значительно позднее (в 1864 г.) Рэнкиным. Наличие этих двух функций— потенциала скоростей и функции тока, удовлетворяющих в отдельности уравнениям Лапласа, позволило свести решение гидродинамической задачи к разысканию одной комплексной функции — комплексного потенциала. Подробное изложение этого метода, весьма близкого к современному, можно найти в двадцать первой лекции классических Лекций по математической физике (ч. 1, Механика) Кирхгоффа (1876). Отдельные задачи плоского безвихревого потока решались и ранее самим Кирхгоффом в 1845 г. и Гельмгольцем в 1868 г. Заметим, что с математической стороны эти задачи эквивалентны аналогичным задачам электростатики. Наряду с плоским стационарным безвихревым движением были изучена некоторые простейшие задачи нестационарного дви кения (Рэлей в 1878 г., Лэмб в 1875 г. и др.). Особенно больших успехов метод комплексной переменной достиг в теории обтекания тел со срывом струй, созданной трудами Гельмгольца, Кирхгоффа и Жуковского. Подлинного своего расцвета плоская задача безвихревого стационарного и нестационарного движения достигла в первую четверть нашего столетия в замечательных работах ученых московской школы, о чем еще будет речь впереди. [c.25]

Отсюда сразу следует, что, отделяя в любой функции комплексного аргумента / (г) действительную (д. ч.) и мнимую (м. ч.) части, получим потенциал скоростей <р(х, у) и функцию тока х,у) некоторого плоского безвихревого движения [c.226]

МОЖНО рассматривать как формулы перехода от декартовых координат X, у некоторой точки к криволинейным ее координатам и 1 -При этом изопотенциальные линии = С и линии тока ф = С представят ортогональную сетку координатных линий, т. е. криволинейные координаты и полученные путем отделения действительной и мнимой частей в некоторой функции комплексного переменного, будут всегда ортогональными координатами. Установление взаимной связи между двумя, на первый взгляд разнородными вопросами — плоским безвихревым движением и ортогональными криволинейными координатами на плоскости — окажется в дальнейшем полезным. [c.226]

Отсюда заключаем, что в случае безвихревого плоского движения функция тока должна удовлетворять уравнению Лапласа [c.131]

Рассмотрим установившееся плоское движение газа, параллельное плоскости ху. Вне зависимости от того, вихревое оно или безвихревое,—можно выразить, воспользовавшись уравнением неразрывности движения, две неизвестные величины, которыми являются и i, j, через одну неизвестную —функцию тока Ф (j , у). [c.357]

Простейшим и наиболее глубоко и всесторонне изученным случаем интегрирования уравнений Эйлера для идеальной несжимаемой жидкости является так называемое безвихревое движение или движение с потенциалом скоростей. Понятие потенциала скоростей было введено Эйлером. Существование функции тока в случае плоского движения было установлено Лагранжем. Кинематический смысл этой функции и ее связь с линией тока были разъяснены Рэнкином в 1864 г. Лагранж в 1781 г. первый нашел те динамические условия, при выполнении которых будет существовать безвихревое движение с потенциалом скоростей, Теорема Лагранжа, лежащая в основе всей теории безвихревого течения и оправдывающая практическое применение теориИ( была в 1815 г. строго доказана Коши (1789—1857). [c.24]

Отделяя в произвольной функции комплексного переменного х(г) действите. 1ьиую (д. ч.) и мнимую (м. ч.) части, получим потенциал скоростей ф(л, г/) и функцию тока х,у) некоторого плоского безвихревого движения [c.199]

Если вместо функции х (2) рассмотреть функцию (z), то в новом движении потенциал скоростей поменяется местами с функцией тока, а изопотенциальные линии — с линиями тока этим приемом часто приходится пользоваться при построении обтеканий. Отсюда следует, что функция тока ф х, у) всегда играет сопряженную роль с функцией ср (х, у) — потенциалом скоростей каждая из этих функций может быть как функцией тока, так и потенциалом скоростей в двух сопряженных между собой безвихревых плоских движениях идеальной жидкости. [c.170]

Наиболее замечате-ньные результаты были получены в XIX в. в области исследования плоских установившихся потенциальных течений несжимаемой жидкости. Еще Ж. Лагранж (1781) ввел функцию тока для плоских течений удовлетворяющую для безвихревых течений, как и потенциал скорости, уравнению Лапласа. Кинематическое истолкование функции тока было дано В. Ренкином Разработка аппарата теории функций комплексного переменного дала возможность широко развить методы исследования плоских задач движения несжимаемой жидкости, которые в самом начале развивались совместно со смежными исследованиями задач электростатики. Первые работы, в которых при помощи теории аналитических функций исследуются простейшие задачи электростатики и гидродинамики, относятся к 60-м годам. Существенное развитие области применения теории функций в гидродинамике связано с изучением открытого Г. Гельмгольцем класса так называемых струйных течений жидкости — течений со свободными ли-78 ниями тока, на которых давление сохраняется постоянным. Интерес к этим течениям возник в связи с попытками получить на основе модели идеальной жидкости реальные картины обтекания тел с образованием силы лобового сопротивления и без бесконечных скоростей. [c.78]

Для плоских установившихся движений газа Л. И. Седов предложил использовать в качестве независимых переменных давление р и функцию тока г , а в качестве искомой функции — угол 0 наклона вектора скорости к оси X. Для функции 0 р, г ) также получается уравнение, линейное относительно ее вторых производных. Л, И. Седов (1950) и М, П. Михайлова (1949) рассмотрели решение задачи Коши для этого уравнения с помощью рядов р1азличного вида и изучили его характеристики, Седов нашел точные решения уравнения для 0, в том числе решение, обобщающее решение Прандтля — Майера на некоторый класс вихревых течений, а также установил свойства монотонности изменения газодинамических параметров вдоль характерных линий в области течения эти свойства обобщают аналогичные предложения для безвихревых течений, установленные А, А. Никольским и Г, И, Тагановым (1946), Седову удалось найти частные примеры точного решения задачи сверхзвукового обтекания тела со смешанным течением за скачком, но для неоднородного набегающего потока. [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...