Энергия деформации и теорема Кастильяно

Энергия деформации и теорема Кастильяно [c.346]

ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ И ТЕОРЕМА КАСТИЛЬЯНО 347 [c.347]

Кроме аналитического метода для той же цели может быть использован графоаналитический способ, а также, особенно в применении к коленчатым стержням (см. ниже), и теорема Кастильяно. Применяя к определению перемещений при сложном сопротивлении теорему Кастильяно, нужно потенциальную энергию деформации стержня и представить в виде функции всех шести компонентов сил iV, Qy, Qz, Мж, My и Пренебрегая энергией касательных напряжений сдвига, можем написать [c.390]

Данный пример хорошо подходит для использования метода энергии деформации и первой теоремы Кастилиано, поскольку нагрузка М(, соответствует одному из неизвестных перемещений в узлах. Единственной другой возможной нагрузкой на конструкцию мог бы быть изгибающий момент, соответствующий перемещению D , поскольку одним из требований, предъявляемых при использовании этого метода, является то, что каждой нагрузке должно соответствовать неизвестное перемещение в узле. [c.501]

Данный вывод предполагает существование энергии деформации и = и с1(г))- Поэтому теорема справедлива также для нелинейно-упругого поведения материалов. Первую теорему Кастильяно можно, вообще говоря, использовать, например, для расчета статически неопределимых несущих конструкций, но ее значение для практических приложений невелико. [c.97]

Полученный результат является математической формулировкой первой теоремы Кастильяно частная производная от потенциальной энергии деформации по любой внешней силе равна перемещению точки приложения силы в направлении ее действия. Теорема распространяется также и на случай нагружения моментом и позволяет найти угол поворота, т. е. можно получить [c.116]

Вторая теорема Кастильяно. Приложение теоремы Кастильяно к статически неопределимым системам позволяет найти усилия в липших связях и в результате соответствующего обобщения сформулировать принцип наименьшей работы. Подробный вывод содержится во многих руководствах, а здесь приведены только необходимые результаты. Энергия деформации при осевом нагружении г-го элемента Если отбросить в ферме [c.116]

В теории упругости- большое значение имеют энергетические методы, основанные на использовании принципа минимума потенциальной энергии и принципа Кастильяно. В настоящем параграфе устанавливаются аналогичные теоремы в теории упруго-пластических деформаций. [c.64]

Суммирование в левой части этого равенства распространяется на все загруженные шарниры, в правой части —на все стержни фермы. Кастильяно вводит относительно этой системы допущение, что ее прогибы являются линейными функциями внешних сил.. Вводя эти функции в левую часть уравнения (f), он получает возможность представить энергию деформации в виде однородной функции второй степени от внешних сил Р . Воспользовавшись теми же самыми соотношениями между прогибами и силами, он представляет силы в виде линейных функций от перемещений и получает таким путем энергию деформации как однородную функцию второй степени от перемещений Кастильяно применяет в своем исследовании оба эти выражения для энергии деформации V и доказывает две важные теоремы. [c.348]

Это и есть теорема Кастилиано частная производная от потенциальной энергии деформации по внешней силе равна перемещению точки приложения этой силы в направлении самой силы. [c.285]

ГИИ, которые тесно связаны с методами сил и податливостей расчета конструкций. Кроме того, для линейно деформируемых конструкций теоремы о дополнительной энергии сведены ко второй теореме Кастилиано и принципу минимума энергии деформации. [c.418]

Данное соотношение означает, что если энергия деформации выражена как функция от перемещений, то частная производная от энергии деформации по произвольному перемещению б г равняется соответствующей этому перемещению силе Это утверждение называется первой теоремой Кастилиано по имени итальянского инженера, который впервые доказал эту теорему и привел ее в своей известной книге, опубликованной в 1879 г. (см. [11.25—11.30]). [c.492]

Из первой теоремы Кастилиано вытекает метод исследования нелинейных конструкций, основанный на использовании энергии деформаций. Метод строится на использовании в качестве неизвестных величин перемещений в узлах и соответствует тому факту, что если предполагается применять теорему Кастилиано, то энергию деформации необходимо выразить как функцию от перемещений. Для того чтобы пояснить этот метод, предположим, что имеется нелинейная конструкция с п неизвестными перемещениями ... . . ., Оп в узлах. Предположим также, что на конструкцию действуют только те нагрузки, которые соответствуют этим кинематическим неизвестным. Обозначим эти нагрузки через Р , Рт1 соответственно перемещениям Ои О ,. . Оп- Тогда, как уже говорилось выше, энергию деформации конструкции и можно выразить [c.493]

Таким образом, в теле, удовлетворяющем условиям течения, выражаемым уравнениями (3.64) и (3.65), смещение точки приложения сосредоточенной силы Qi равно частной производной от дополнительной работы напряжений внутри тела по этой силе. Эта теорема аналогична теореме, доказанной Кастильяно для энергии деформации упругого тела ), включая и те случаи, когда то или другое из смещений qi равно нулю в случае неподвижных опор статически неопределимой системы [c.174]

Не останавливаясь на других приёмах, напомним использование теоремы Кастильяно ( 126). Потенциальную энергию деформации при сложном сопротивлении рассматриваемого здесь бруса можно представить в виде суммы количеств энергий от всех шести составляющих N, ( у, М , Л у и Пренебрегая энергией касательных напряжений от изгиба, имеем [c.521]

Деформация кривого стержня. Для определения перемещений отдельных точек кривого стержня под действием внешних сил удобнее всего пользоваться теоремой Кастильяно для этого нужно иметь выражение потенциальной энергии стержня в виде ф-ии от внешних сил. Возьмем точку криво- [c.491]

Теоремы Лагранжа и Кастильяно. Формула (150.2) показывает, что упругая энергия деформации, так же как энергия пластического формоизменения, получающаяся, если определять а формулой (150.4), однозначно определяется заданием деформации. А так как деформированное состояние в свою очередь определяется однозначно заданием внешних сил Р, то W может рассматриваться как функция этих сил или перемещений точек их приложения. Итак, пусть на тело действуют обобщенные силы Р , Р ,. .., Р , соответствующие обобщенные перемещения суть и , и ,. .., и . Тогда можно считать, что [c.334]

В частном случае конструкции с линейным поведением дополнительная энергия равна энергии деформации и тогда теорема Кротти — Энгессера сводится ко второй теореме Кастилиано (см. разд, 11.14). [c.518]

Понятие энергии деформации позволило развить эффективные вариационные методы расчета статически неопределимых систем (обобщенные позже 62 на произвольные упругие системы). Первоначально это было сделано итальянским инженером Л. Менабреа для ферм . Общая же теория была развита в 1865 г. Дж. Коттерилом и независимо от него в 1873—1875 гг. А. Кастиль-яно 8. Некоторые неясности в изложении работ Кастильяно дослужили причиной продолжительной дискуссии среди немецких инженеров, в которой приняли активное участие О. Мор и Г. Мюллер-Вреслау. Последний указал, в частности, что во многих случаях результаты расчета по теоремам Кастильяно совпадают с прямыми расчетами по методу Максвелла — Мора. [c.62]

Теорема Кротти — Энгессера обнаруживает достопримечательное сходство с первой теоремой Кастилиано, что видно из сравнения соответствующих уравнений (см. уравнения (11.67) и (11.51)). В теореме Кротти — Энгессера дополнительная энергия выражается как функция от нагрузок, а соответствующие перемещения получаются дифференцированием по нагрузкам, в то время как, согласно первой теореме Кастилиано, энергия деформации выражается как функция от перемещений, а соответствующие нагрузки получаются дифференцированием по перемещениям. Обе теоремы являются весьма общими и могут применяться к конструкциям с нелинейным поведением ). [c.518]

Метод единичной нагрузки. Процесс нахождения перемещений непосредственным применением второй теоремы Кастилиано может оказаться довольно сложным, если на конструкцию действует более двух нагрузок. Причина такого вывода состоит в том, что вычисление энергии деформации может оказаться довольно сложным делом. Предположим, например, что на консольную балку, изображенную на рис. 11.40, действуют не две, а четыре нагрузки. Тогда для получения выражения для энергии деформации, аналогичного (а), придется возвести в квадрат четырехчленное выражение, а окончательное выражение для энергии и будет состоять из десяти членов. [c.530]

В разд. 11.13 уже было показано, как использование дополнительной энергии и теоремы Кротти — Энгессера приводит к методу сил расчета конструкций. Частный вариант метода сил имеет место при линейном поведении конструкции. При таких условиях энергию деформации основной системы (равную дополнительной энергии) можно представить в. виде квадратичной формы как от нагрузок, так и от лишних статических неизвестных Хг, Х ,. . ., Хп. Тогда, применив вторую теорему Кастилиано, получим следующую систему уравнений [c.531]

Так K3K Vi — это перемещение, соответствующее силе Pj, а 6i — перемещение, соответствующее силе Mi, то полученные нами результаты можно формулировать так производная потенциальной энергии деформации по одной из независимых внешних сид равна перемещению, соответствующему этой силе. Это и есть так называемая теорема Кастильяно, опубликованная в 1875 г. [c.408]

Теорема Кастильяно позволяет определять перемещения вообще только тех точек упругого тела, к которым приложены сосредоточенные нагрузки. Для того чтобы определить пользуясь этой теоремой, линейное или угловое перемещение какого-либо сечения тела, иеобходимо к этому сечению приложить соответственно силу Р или момент М произвольной величины и вычислить потенциальную энергию деформации с учетом дополнительно приложенного силового фактэра Тогда искомое перемещение определяется частной производной от потенциальной энергии деформации по дополнительно приложенному силовому фактору, величина которого после рычисления производной приравнивается нулю (способ нулевой нагрузки) [c.58]

Теорема Кастилиано особенно полезна при. опред ении деформаций в фермах. В качестве примера рассмотрим случай, показанный на рис. 282. Всё стержни систему пронумерованы, и их длины и площади пойеречйых сечений даны в таблице 5. Усилие S , вызванное в каком-либо стержне i системы сил [ми jPv tr а можно вычислить ИЗ обычных уравнений атнки. Эта. усилия даны в. 4- м столбце таблицы Потенциальная энергия д рмаций какого ли стержня, по формуле 171), раШяШя S I/2F . Тогда количество потенциальной энергий во всей системе 0удет [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...