Предыстория покоя

До сих пор еще не был использован принцип затухающей памяти. Результаты, которые будут обсуждаться в оставшейся части данного раздела, основываются на следующей простой формулировке принципа затухающей памяти [3, 5] Функционал непрерывен и N раз дифференцируем по Фреше при предыстории покоя G = О (s) в смысле нормы, определяемой уравнением (4-2.22) . [c.144]

В применении к термодинамической теории, обсуждаемой в следующем разделе, потребуются другие формулировки принципа затухающей памяти. На основе приведенной выше формулировки, которая в дальнейшем будет называться формулировкой принципа затухающей памяти при предыстории покоя, можно строго получить приближения для общего уравнения состояния. Они могут быть получены в предельных случаях очень медленных течений [5] и очень малых деформаций [31. [c.144]

Из предполагаемой непрерывности G при s = О следует, что аО, и любая предыстория G стремится к нулевой предыстории в недавнем прошлом действительно, G (0) = 0. На основании принципа затухающей памяти при предыстории покоя можно получить для случая медленных течений приближения iV-ro порядка к общему уравнению состояния простой жидкости. Приближение iV-ro порядка понимается в том смысле, что норма остатка имеет порядок а + . Алгебраические выкладки при получении этих приближений очень громоздки, и поэтому будут приведены лишь конечные результаты. [c.145]

Весьма полезный результат применения формулировки прин ципа при предыстории покоя состоит в другой форме последовательных приближений к уравнению состояния простых жидкостей. Вместо того чтобы рассматривать медленные течения, рассмотрим малые деформации. Такая ситуация возникает, например, при колебательных движениях малой амплитуды. Чтобы норма тензора G для такого движения была мала, необходимо рассматривать лишь то, что имело место в недавнем прошлом. Тогда можно доказать, что в приближении первого порядка уравнение состояния простой жидкости с затухающей памятью имеет вид [c.146]

Следует иметь в виду, что уравнение (5-4.87) основывается на гипотезе о том, что функционал имеет второй дифференциал Фреше в предыстории покоя — предположение, которое может не выполняться для некоторых материалов. [c.208]

Более точно, уравнение (6-3.8) представляет собой альтернативную (но отношению к уравнению (4-3.24)) форму приближенного представления функционала простой жидкости, справедливую в предельном случае достаточной близости предыстории дефор-мирования к предыстории покоя. Сравнение уравнений (6-3.3), (6-3.8) и (5-1.44) показывает, что [c.218]

Понятно, что можно представить себе предысторию G (s), которая произвольно близка к предыстории покоя и в то же время имеет произвольно большую скорость деформации. Простым примером такой предыстории является периодическое движение очень малой амплитуды, но очень высокой частоты. Уравнение состояния типа уравнения (6-3.46) предсказывает для такой предыстории нелинейную зависимость т от G (s). Иными словами, уравнение (6-3.46) предполагает, что топология пространства предысторий, в котором функционал непрерывен, имеет иную природу, чем топология, положенная в основу формулировки теории простой жидкости. [c.228]

Возможно, имеет смысл еще более разъяснить этот вопрос. Уравнение, подобное уравнению (6-3.25), можно сделать непрерывным в окрестности предыстории покоя, предполагая, что функции и гра вырождаются в функции единственного аргумента S, когда норма тензора 0 становится достаточно малой, поскольку, если ) 0 -> О, то [c.228]

Если материал покоится и все время находился в состоянии покоя, то предыстория деформации постоянна для каждого тела-точки [c.260]

Остановимся теперь на время и вернемся к (1). Мы видим два очевидных случая, в которых норма А будет мала. Первым является случай, когда модуль lA(s) мал для всех s вторым — случай, когда большие значения A(s) принимаются лишь на множествах малой меры. Иными словами, для того чтобы предыстория деформации имела малое запоминание,.достаточно, чтобы эта предыстория была всегда почти постоянной малой предысторией или чтобы большие отклонения от постоянной предыстории, которые, возможно, имели место, были сосредоточены в интервалах времени, имеющих малую меру. Грубо говоря, материал находится в состоянии почти покоя долгое время, хотя, быть может, в далеком прошлом он и подвергался сильной деформации или же подвергался большой деформации только в течение коротких промежутков времени, в течение которых функция а мало менялась. При этом ясно, что множества меры О можно отбрасывать. [c.379]

Уравнение (4-3.24) применимо, если предыстория G находится на очень малом расстоянии от предыстории покоя. Это справедливо на практике, если по крайней мере в не очень отдаленном прошлом модуль величины G был мал для любого значения s. Действительно, правая часть уравнения (4-3.24) является просто первым членом разложения в ряд интегралов, причем первый отброшенный член имеет второй порядок по модулю G (см. уравнение (4-3.25)). Следовательно, оценку О для периодических течений, используемых в реометрии, необходимо производить лишь с точностью до членов первого порядка по ее модулю, поскольку вклад в напряжение членов более высокого порядка не превышает вклада членов, обусловленных отброшенным интегралом. [c.173]

Б гл. 4 было показано, что общий функционал простых жидкостей сводится к виду, выражаемому уравнением (4-3.24), т. е. к уравнению линейной вязкоупругости, при условии что норма предыстории деформирования достаточно мала, т. е. если последняя достаточно близка к предыстории покоя. Вследстие предположения о дифференцируемости по Фреше функционала в предыстории покоя, напряжение, соответствующее предыстории, достаточно близкой к предыстории покоя, линейно зависит от G (s). [c.227]

Доказательство теоремы Нолла. Поскольку жидкость изотропна и любая ее конфигурация является неискаженной, мы можем воспользоваться соотношением (IV. 14-2) при любой отсчетной конфигурации х. Так как для жидкости тензор Т не может измениться при статической деформации из одной конфигурации в другую с той же плотностью, то зависимость от В( ) в соотношении (IV. 14-2) должна сводиться к зависимости от е1В(0, или, что равнозначно, к зависимости от р. Тем самым установлена необходимость соотношения (3). Далее, реакция должна удовлетворять соотношению (IV. 14-3), которое теперь свелось к (4). Для частного случая предыстории покоя t==l так что (4) дает [c.198]

Как мы убедились в упр. IV. 9.3, единственным видом однородного изохорического чистого растяжения,, который может осуществляться для всех тел без внутренних связей под действием постоянных массовых сил, является состояние покоя. Упр. IV. 10.3 показывает, что в любом однородном несжимаемом теле любое однородное изохорическое безвихревое чистое растяжение может быть вызвано действием одних лишь поверхностных усилий, или еще произвольных потенциальных массовых сил. Этот результат, как и другие, полученные в этом параграфе, иллюстрирует разницу между системой напряжений в сжимаемом теле, испытывающем изохорическую деформацию, и в соответствующем несжимаемом теле при той же деформации. Для тела без связей изменения объема не имеют места потому, что напряжения устанавливаются строго определенным образом, причем, каким именно, однозначно определяется функ ционалОм реакции. В несжимаемом теле никакая система сил не может вызвать никаких деформаций, кроме изохориче-ской, и соответственно в этом случае имеется гидростатическое давление, произвольное в том смысле, что оно не определяется предысторией деформации. [c.181]

Таким образом, F(t)° представляет собой постоянную предысторию (или предысторию-константу), соответствующую текущему значению F(0 градиента деформации F в X. Для того чтобы вообще можно было рассматривать статический случай, мы должны предположить, что если F предыстория, принадлежащая области определения 2) реакции то для каждого s из [О, СХ)] постоянная предыстория (F (s,)) = также принадлежит То есть мы предполагаем, что можно задать и получить ответ на следующий вопрос каковы были бы напряжения, если бы тело вблизи X всегда находилось в конфигурации, которую оно действительно занимало в предыстории F в момент t — s Значение (F(i)<=)реакции представляет собой напряжения, которые соответствуют пребыванию в состоянии покоя в конфигурации, полученной из х при деформации, градиент которой равен F(i). Эти статические напряжения соответсгвуют именно данной конфигурации. В упругом материале напряжения всегда представляют собой статические напряжения для всех F из Ф [c.376]

Полученные в последнем параграфе результаты показывают, что мы находимся на правильном пути. Теорема о релаксации напряжений — вот что мы ожидаем получить при определенных ограничениях на свойства материала, или на предыстории деформации, или и на то и на другое. Если бы мы не получили этого на основе нашего определения затухающей памяти, то наш подход был бы неудачен. Удостоверившись в правильности пути, мы можем обратиться к вопросу о том, как вычислить второе приближение для определяющего уравнения, если мы не удовлетворены первым, или упругим, приближением, выражаемым с помощью (XIII. 3-5). Более высокие приближения получаются способом, сводящимся к разложению реакции в ряд Тейлора в окрестности предыстории, соответствующей состоянию покоя. Однако классическая теорема Тейлора относится к функциям, а мы здесь> имеем дело с более общими отображениями. Я приведу некоторые результаты, не входя в подробности. [c.386]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...