Интегралы - Вычисление с помощью рядов

Вычисление интеграла с помощью рядов. Если [c.175]

Метод перевала, который в общем случае более точен, чем метод стационарной фазы, состоит в деформации контура интегрирования в комплексной плоскости и последующего вычисления интеграла с помощью асимптотического ряда. Можно показать, что этот ряд в це- [c.251]

Определив вид F z) при помощи рядов Фурье методом, описанным выше, можно либо получить вид h n) путем вычисления значения интеграла в уравнении (78) при изменении л от - -со до —оо, либо по- строить кривую h(n) методом разложения F z) в ряд Фурье. В последнем случае коэффициенты разложения и представляют собой значения h n) для различных п. Специальный анализ функции h n) показывает, что из нее можно получить значение среднего размера частиц D, [c.738]

В конкретных задачах сумма в левой части (2) выражает ср. значение тензора энергии-импульса по вакууму 0>, а интеграл — по О, ). Для аналогичных целей используются методы регуляризации с помощью обобщённой функции Римана и Z-функции Эпштейна, Целый ряд методов вычисления величины (Тц) основан на ковариантном раз-движении аргументов в билинейной форме тензора энер-гии-импульса и анализе информации, содержащейся в 1 и-на функции квантованного поля рассматриваемой конфигурации. [c.644]

Гидравлический показатель русла х может выражаться как в целых, так и в дробных величинах. Вычисление интеграла (XlV.17) при х, равном дробной величине, представляет значительные трудности и производится приближенно путем разложения подынтегральной функции в ряд с помощью простого алгебраического деления, а именно [c.290]

Для расчета Р ( ) в формуле (1-144) достаточно взять конечное число членов этого ряда. Это позволяет проводить вычисления Рд (1) с любой наперед заданной точностью с помощью формул для 0 , т , и таблиц значений интеграла Лапласа, ограничиваясь конечным числом членов ряда. [c.49]

Асимптотические выражения, рассмотренные выше, становятся сингулярными, когда Л" (5, ) = О или стационарная точка подходит близко к граничной. Для того чтобы избавиться от этих сингулярностей и получить асимптотически правильное представление дифракционного интеграла, мы можем заменить его сравнительным интегралом, который в асимптотическом представлении, приведенном в предыдущем разделе, имеет те же самые сингулярности. Этот интеграл обычно выбирают из класса известных специальных функций, таких, как комплексный интеграл Френеля функция Эйри Ai(л ) или функция параболического цилиндра В окрестности тех значений параметров, для которых обычное разложение расходится, дифракционный интеграл нужно представить в виде произведения сравнительного интеграла на асимптотический ряд, который принимает конечное значение при выполнении условия сингулярности. В большинстве случаев точное вычисление суммы ряда не требуется, так как сравнительный интеграл с достаточной степенью точности равен искомому полю, что, однако, верно лишь до тех пор, пока мы находимся достаточно далеко от критических областей, так что обычные разложения справедливы. Иными словами, выражение, полученное с помощью сравнительных интегралов, постепенно и непрерывно переходит в ряд Лунеберга — Клейна. Поэтому представление, основанное на сравнительных интегралах, называют однородным, а соответствующий подход — однородной асимптотической теорией, В следующих разделах мы рассмотрим наиболее интересные частные случаи. [c.353]

Ядро в выражении для смещений можно вычислить или при помощи разложения в ряд (6.8), или прямым численным методом [17, 18], но обе эти п]роцедуры неудовлетворительны для обычного численного расчета. В [16] приведено эффективное и изящное вычисление контурного интеграла в (6.8). Для этого вводится функция [c.164]

Г4 = <ц (ж, р1)м х, рг)м (х, рз)м х, р4)>, с помощью которого затем найти величину (х, р)>, полагая в решении Р1 = Рг == Рз = Р4 = Р- Однако решить аналитически это уравнение не представляется возможным, и оно содержит много лишних (для нахождения параметров, в то время как запись величины Р (х, р)> в континуальном виде этих параметров не содерншт. Поэтому такая запись может быть полезна для изучения асимптотических характеристик любых моментов и, следовательно, распределения вероятностей для интенсивности волнового поля (см. следующий параграф). Кроме того, в ряде случаев представление поля в операторном виде позволяет найти соответствующие средние характеристики технически проще по сравнению с изучением соответствующих уравнений. Так, в 4 предыдущей главы при изучении амплитудно-фазовых флуктуаций требовалось вычислить величину <е (у, рх)/ (х, р,) (х > /). Если исходить при этом из уравнения (1.1), то следует составить дифференциальное уравнение для величины е (г/, рх)м (х, ра) и (х, рз) при у <С X, усреднить его, установить граничное условие для величины (гии У при X = у, решить полученное уравнение с соответствующим граничным условием, а уже затем положить рз = р2. В то же время вычисление этой величины с помощью представления I х, Ра) в операторном виде мало чем отличается от вычисления величины рассмотренного выше. Запись решения в виде континуального интеграла удобна и при анализе структуры волнового поля, отраженного от зеркальной поверхности 41]. Используя формулу (8.1.15) и явное выражение для функции Грина (1.19), для поля отраженной волны в точке (О, р) получаем выражение (предполагаем для простоты, что зеркало пространственно однородно, т. е. У (рг, Рх) = У (Рг — Р1)) [c.290]

Таким образом, имеет порядок (Мт) и ряд сходится. Заметим, однако, что этот ряд сходится медленнее, чем ряд (3.117), и при вычислении интеграла (3.123) с помощью ЭВМ возможная ситуация, при которой Jq обратится в машинный нуль, а выйдет за разрядную сетку, хотя сходимость еще не будет обеспечена. Поэтому для вычислений следует сумму (3.122) разбить на две суммы от О до jVи от JV- 1 до °°, где N находится из соотношения Af(7V+ 1) я (3 5)ка, т. е. (3 -rS)f fl/M — 1, но не менее двух. Первая сумма вычисляется непосредственно, для второй суммы используется приближенное соотношение (3.124). Кроме того, можно применить методы улучшения сходимости, используя оценку (3.125). Гораздо более простое выражение для вещественной составляющей (сопротивления излучения) можно получить другим способом. Запишем выражения для излучаемой мощности в виде [c.182]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...