Преобразование Мёбиуса

Чтобы понять геометрию И, рассмотрим прежде всего изометрии этого многообразия. Начнем с определения преобразований Мёбиуса. Обозначим через СЬ (2, Ж) совокупность действительных (2 х 2)-матриц с положи- [c.215]

Заметим, что все отображения Т М. естественно продолжаются на НиКи оо , если положить T —d/ ) = oo и Т(оо) — а/с (или Г(оо) = оо, если с=0). Прим ы преобразований Мёбиуса zh- —1/г, zt- z + b ( еЖ) и zf- az (а > О). Они представляют собой соответственно три типа преобразований Мёбиуса с точки зрения внутренней геометрии плоскости Лобачевского эллиптические (прямые аналоги евклидовых вращений), с одной неподвижной точкой внутри плоскости, параболические, без неподвижных точек на плоскости и не имеющие инвариантных геодезических, и гиперболические, без неподвижных точек, но с единственной неподвижной геодезической (осью). На Н параболическое отображение имеет единственную неподвижную точку в Ru oo , а гиперболическое отображение имеет две неподвижные точки в KU oo . И параболические, и гиперболические отображения представляют собой аналоги параллельных переносов в евклидовой плоскости. [c.216]

Существуют также изометрии, отличные от преобразований Мёбиуса. Очевидные примеры г —z и г — 1/г. Геометрически первое из них есть отражение относительно мнимой оси, а второе — инверсия относительно единичного круга. Используем теперь преобразования Мёбиуса для исследования геодезических. Сначала изучим изометрические образы мнимой оси I (параметризованной, чтобы получить единичную скорость, таким образом t h-t ге ). [c.216]

Замечание. Рассмотрим вертикальную прямую или окружность с центром на вещественной прямой. Выберем произвольную параметризацию этой кривой С с единичной скоростью. Мы показали, что если мнимая ось I параметризована с помощью преобразования ге , то существует преобразование Мёбиуса, переводящее С в I и сохраняющее параметризацию. [c.216]

Покажем, что, наоборот, каждое преобразование Мёбиуса отображает прямые и окружности в прямые и окружности. [c.216]

Доказательство. Для случая (р г) = —г это очевидно. Для преобразования Мёбиуса заметим, что достаточно проверить, что образ мнимой оси является вертикальной прямой или окружностью с центром на действительной оси если С — вертикальная прямая или окружность с центром на действительной оси и М — преобразование Мёбиуса, то найдется другое преобразование Мёбиуса Н, переводящее мнимую ось в С. Но тогда достаточно показать, что преобразование Мёбиуса М оМ отображает вертикальную прямую в вертикальную прямую или окружность с центром на [c.217]

Доказательство. Рассмотрим группу Г, порожденную группой М преобразований Мёбиуса и преобразованием 5 л. Эта группа действует транзитивно на единичных векторах. Пусть С — семейство вертикальных прямых и окружностей с центрами на действительной оси со всеми возможными параметризациями с единичной скоростью. Тогда из предложения 5.4.8 и леммы 5.4.6 мы получаем первое и второе утверждения леммы 5.4.1. Третье утверждение леммы 5.4.1 следует из того наблюдения, что [c.217]

Возникающее в результате этой идентификации пространство — поверхность т рода 2. Так как сумма внутренних углов восьмиугольника Q равна 2тг, отображение отождествления является гладким в вершинах (которые склеиваются в одну точку), и можно, следовательно, перенести метрику из Q на т. Мы получим компактное многообразие, которое является локально изометричным Н. Топологически это многообразие гомеоморфно сфере с двумя ручками, т. е. поверхности кренделя . Можно также показать, что т — пространство, полученное отождествлением орбит группы Г, порожденной изометриями А , г = 1,..4, отображающими а,, в а. Другими словами, фундаментальная группа пространства т может быть отождествлена с дискретной группой Г гиперболических преобразований Мёбиуса. [c.221]

Если преобразование Мёбиуса 7 сохраняет некоторую геодезическую, то такая геодезическая единственна и называется осью 7. Оказывается, что любое преобразование 7 6 Г имеет ось, но нам этот факт не понадобится. Проекции этих геодезических на М = Г 0 являются в точности замкнутыми геодезическими М. Они, конечно, будут проекциями замкнутых орбит геодезического потока из единичного касательного расслоения М. [c.221]

Для данного гиперболического преобразования Мёбиуса f(z) = полуплоскости Н и данной точки Zq на его оси вычислите гиперболическое расстояние между Zq и /(zq). [c.225]

Точнее говоря, будем рассматривать группу Р5Ь(2, К) как ЗЬ(2, Ш)/ ц, где ЗЬ (2, Е) — группа (2 х 2)-матриц с определителем, равным единице. Тогда можно представлять себе преобразования из М как матрицы из 3 (2, К). Преобразования Мёбиуса, поднятые на 5Н, соответствуют умножениям слева на элементы Р5Ь(2, К). Классификация преобразований Мёбиуса как эллиптических, параболических и гиперболических, упомянутая в п. 5.4 в, соответствует классификации матриц по абсолютному значению Т их следа Т <2 для эллиптических, Т = 2 для параболических и Т > 2 для гиперболических преобразований. [c.549]

Найдите преобразование Мёбиуса, которое переводит точки р и q в точки, симметричные относительно мнимой оси. [c.742]

Отобразите данную ось в мнимую и используйте тот факт, что преобразование Мёбиуса сохраняет двойное отношение. [c.742]

Преобразования Мёбиуса. Группа e( ) всех конформных автоморфизмов римановой сферы изоморфна группе дробно-линей-ных преобразований, называемых также преобразованиями Мёбиуса [c.15]

Задача 1-g. Неподвижные точки преобразований Мёбиуса. [c.24]

После сопряжения f преобразованием Мёбиуса, переводящим z в бесконечность, можно считать, что /(оо) = /(0) = 0. Положим f z) = = P z)/Q z), где Р — полином степени строго меньшей d. Изменив в случае необходимости масштаб, можно считать, что P z) и Q z) имеют вид [c.160]

Лемма 5.4.12. Для каждого орицикла Н существует такое преобразование Мёбиуса Т М, что Г(К + г) = Я. [c.219]

Сдвиги на компактных коммутативных группах ( 1.3 и 1.4) и линейные потоки на торе ( 1.5) являются примерами соответственно сдвигов и потоков на однородных пространствах. В 17.5 мы покажем, что геодезический поток на компактном факторе плоскости Лобачевского (п. 5.4 е) можно представить естественным образом как поток на однородном пространстве группы Р5Ь(2, Е) всех преобразований Мёбиуса по некоторой компактной (равномерной) решетке Г. Напомним, что Р5Ь(2, Е) — это факторгруппа группы 5Ь(2, К) всех (2 х 2)-матриц с определителем единица по центру, который состоит из двух элементов Ы. Читатель, интересующийся этим конкретным примером, может сразу после окончания этого параграфа перейти к чтению 17.5. В 17.7 мы разовьем этот метод и рассмотрим важные потоки на однородных пространствах, возникающие из геодезических потоков некоторых весьма специальных римановых многообразий размерности больше двух. [c.241]

Диск Пуанкаре с группой преобразований Мёбиуса может быть получен следующим образом. Рассмотрим верхнюю половину Н двуполостного гиперболоида в К , задаваемую условиями <Э(х) = =-1, ад>0. Группа 50(2,1) вещественных (3 х 3)-матриц, сохраняющих неопределенную квадратичную форму Q, действует на этом гиперболоиде, а подгруппа индекса два, сохраняющая неравенство а, > О, следовательно, может рассматриваться как действующая на Н. Так как действие линейно в оно переводит плоскости, содержащие начало координат (т. е. плоскости вида ах, - - Ьх2 сх = 0), в плоскости, содержащие начало координат, следовательно, семейство С кривых, получающихся в результате пересечения таких плоскостей с Н, сохраняется. [c.556]

Если мы заменим переменные следующим образом г/, = Х[/аз, т] = х /х , г/з = 1/а,, то гиперболоид превратится в полусферу т/ + т/ = 1, и плоскость ах[ + Ьа - сяд = О перейдет в плоскость а , + Й72 = > перпендикулярную Г/1Г/2-ПЛОСКОСТИ. Таким образом, кривые из С переводятся в окружности, ортогональные экватору щ = 0. В заключение применим стереографическую проекцию с центром в (О, О, — 1) с верхней полусферы на круг т/1 +Т/1 < 1. Известно, что это преобразование конформно, так что кривые из С теперь представляют собой (прямые и) окружности, перпендикулярные границе, т. е. геодезические диска Пуанкаре. Можно показать, что преобразования, в которые переходят преобразования группы 50(2,1) в результате описанного выше процесса, — это в точности преобразования Мёбиуса. На самом деле гиперболоид представляет собой изометрическое вложение диска Пуанкаре в пространство Минковского (К , д) с псевдори-мановой метрикой д, индуцированной формой Q. [c.556]

Доказательство. Теорема Римана о голоморфных отображениях позволяет нам биголоморфно перевести обе эти области в В, так что достаточно рассмотреть случай / В В. Для любой точки геВ существуют такие преобразования Мёбиуса р, ф, что 1р г) = 0 и ф(/ г)) = 0. Тогда h =фQfolp —биголоморфное отображение В, сохраняющее нуль, и, следовательно, по лемме Шварца любое преобразование к либо является преобразованием Мёбиуса, либо для него 1>/г(0) < 1. Но Пк = BфBfB p- и 11>0 = 1Г) -Ч = 1. [c.560]

Теперь рассмотрим исключительные случаи, когда f ( ) = С. Если ard С = 1, то с точностью до замены координат С = оо и /(оо) = /" (оо) = = оо, так что отображение f полиномиально и не имеет критических точек в С, следовательно, оно линейно и, таким образом, оо не является критической точкой, что невозможно. Если ar l С = 2, то возможны два случая. Либо f обладает двумя неподвижными критическими точками (и нет никаких других), и тогда без ограничения общности можно положить 0 = /(0) = / Ч0) и ос = /(ос) = / (оо) и, таким образом, это отображение сопряжено с отображением z> z посредством преобразования Мёбиуса и заключение теоремы 17.8.1 не содержит ничего нового, либо, с точностью до преобразования Мёбиуса, мы имеем /(оо) = /" (оо) = 0 и отображение / сопряжено с отображением z i-+ г посредством преобразования Мёбиуса, что вновь дает заключение теоремы 17.8.1. [c.561]

Голоморфная динамика в случае одного комплексного переменного является хорошо развитой областью. В частности, основополагающие работы Фату, Жулиа и Монтеля появились в то время, когда вещественная дифференциальная динамика, не говоря уже об эргодической теории, находилась на весьма ранней стадии своего развития. Д а краеугольных камня одномерной голоморфной динамики — это конформность и униформизация. Первое из этих свойств является инфинитезимальным, мы обсуждаем его в п. в гл. 10 как свойство, характерное для дифференциальной динамики в малых размерностях. С этой точки зрения можно определить область конформной динамики, которая включает в себя вещественную дифференциальную динамику в размерности один (гл. 12 и 16) и голоморфную динамику в комплексной размерности один. Э от короткий список исчерпывает все существенные возможности, по крайней мере в глобальной ситуации, так как любое конформное отображение в вещественной размерности два является по существу голоморфным, а в больших размерностях имеется очень мало конформных преобразований (только многомерные аналоги преобразований Мёбиуса, см. 5.4), так что интересных динамических эффектов не возникает. Таким образом, упор на свойство конформности позволяет объединить одномерную вещественную динамику и одномерную комплексную голоморфную динамику. [c.564]

Фактически каждый автоморфизм дисков В и В является преобразованием Мёбиуса, и поэтому единственным образом продолжается до автоморфизма Р всей римановой сферы. Это продолжение коммутирует с преобразованием инверсии а г) = 1/г. Действительно, композиция а о Р о а голоморфна и совпадает с на единичной окружности, и, следовательно, совпадает с Р всюду. Значит, Р имеет неподвижную точку в открытом диске В тогда и только тогда, когда опо имеет соответствующую неподвижную точку а(г) в дополнении С В. Из теоремы 1.11 следует, что два элемета из коммутируют тогда и только тогда, когда множества их неподвижных точек в В совпадают, если исключить случай коммутирующих инволюций. [c.21]

Больщинство множеств Жюлиа оказываются сложными фрактальными подмножествами в С. Однако, имеется три исключения. Согласно теореме Гамильтона (1995), каждое множество Жюлиа, являющееся одномерным топологическим многообразием, с точностью до преобразования Мёбиуса должно быть либо окружностью, либо замкнутым сегментом, в противном случае его хаусдорфова размерность строго больще единицы. Если рассматривать всю риманову сферу как третий гладкий пример, то здесь с точностью до автоморфизма имеются только три возможных типа гладких множеств Жюлиа рациональной функции степени 2. Однако, каждый из этих примеров может оказаться множеством Жюлиа для многих различных рациональных функций это свойство само по себе является исключительным. В этом параграфе мы рассмотрим эти примеры. [c.89]

Покажите, что мультипликатор в неподвижной точке р(0) равен (1 + i) = 2г. Рассмотрев отображение, сопряженное к Р относительно некоторого преобразования Мёбиуса, можно считать, что критические точки расположены в 1, и что возможная неподвижная точка находится в бесконечности. Покажите, что квадратичные отображения общего вида с критическими точками 1 и неподвижной точкой в бесконечности имеют вид / г) = а г + г ) + Ь. Покажите, что требуемое соотношение для критической орбиты выполняется тогда и только тогда, когда = —1/2 и = 0. Более точно, вычислите мультипликатор и покажите, что а = 1/2г. (Ср. Милнор 1999.) [c.95]

Параболическая точка 20, 23, 63, 128 Перес-Марко, Р. 158 Полнота 34 Полуплоскость 17 Посткрнтнческий 96, 164, 187, 240 Преобразование Мёбиуса 15 Принцип максимума модуля 13 Притягивающая точка 61, 97-106 Произведение Бляшке 94, 191 Простой конец 209, 298 Пуанкаре, А. 10, 12, 30 [c.319]

Наиб, интересные и важные в приложениях примеры связаны с Р,, у к-рых в слое определ. образом действует группа С преобразований (гомеоморфизмов) слоя Е. Группа С наз. структурной группой Р. Классич. примером нетривиального (отличного от прямого пронэве-дения) Р. является лист Мёбиуса т . Базой Р. служит окружность 5, а слоем Е — единичный отрезок I. В слое Е действует циклич. группа 2,. Действие Б = задаётся в виде [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...