Уравнение Эйнштейна — Фоккера

Стохастические методы. Основное кинетическое уравнение и уравнение Эйнштейна — Фоккера — Планка [c.578]

Рэлей вновь возвращается к этому методу в работе Динамические задачи, иллюстрирующие теорию газов но и после нее проходит еще много лет, прежде чем аналогичный подход получает применение в связи с теорией броуновского движения — в ра ботах А. Эйнштейна, А. Фоккера, Ф. Цернике и других авторов— и дифференциальные уравнения дая вероятностей перехода приобретают известность под именем уравнений Эйнштейна — Фоккера. Весь этот аппарат получил затем исчерпывающее обоснование в трудах А. Н. Колмогорова ). [c.15]

Чтобы оценить границы применимости уравнения (Юа), можно воспользоваться выражением для <р (х)у, полученным Л. А. Черновым с использованием уравнения Эйнштейна — Фоккера — Планка для диффузии луча [92]. Выражение (И) оказывается справедливым в случае, когда [c.501]

Уравнение Эйнштейна — Фоккера (УЭФ) для системы дифференциальных уравнений [c.76]

Для Рт (и, Я) получаем уравнение Эйнштейна — Фоккера [c.174]

Уравнение (7.67) не замкнуто относительно функции Ре Wn, р). Учитывая, что нас интересует медленное изменение статистических характеристик решения задачи, можно обычным способом усреднить уравнение (7.67) по быстрым осцилляциям. В результате получим уравнение Эйнштейна — Фоккера [c.243]

Уравнение Эйнштейна — Фоккера (УЭФ) для системы диф ференциальных уравнений 2. Плотность вероятностей перехода [c.337]

Об условиях применимости уравнения Эйнштейна — Фоккера 82 [c.337]

Статистические модели необходимы для теоретического изучения влияния флуктуаций, шумов и т. п. на процессы в колебательных системах. При учете случайных процессов движение системы будет подчиняться уже не динамическим законам, а законам статистики. В соответствии с этим могут быть поставлены вопросы о вероятности того или иного движения, о наиболее вероятных движениях и о других вероятностных характеристиках поведения системы. Математический аппарат для изучения статистических процессов в колебательных системах составляют так называемые уравнения Эйнштейна — Фоккера [106, 75, 83]. [c.19]

Для отыскания среднего t) в системе с добавочной энергией aP t) нужно знать плотность вероятности, которая определяется [41, 505] из уравнения Эйнштейна —Фоккера [507, 508 [c.128]

Заменяя в (39) разность (/ —/n+i) на —д1 п)1дп, придем к уравнению типа Эйнштейна—Фоккера—Планка [c.50]

Наоборот, Ьсли случайная функция X(x,t) является марковской, то для плотности вероятности p(X X,t) — р(Х ф о) (а потому, согласно (10.5), и для средней концентрации дСХ",/)) при весьма общих условиях может быть получено дифференциальное уравнение вида (10.49). Этот важный математический факт был установлен Колмогоровым (1931, 1933) (его частные случаи еще раньше рассматривались физиками Эйнштейном, Фоккером и Планком). А именно, Колмогоров доказал, что при некоторых общих условиях регулярности (налагаемых на переходную вероятность p(Xlx,t) и гарантирующих, что рассматриваемая марковская случайная функция X (t) будет в определенном смысле непрерывной) существуют производные [c.533]

X. Уравнение (9.41), которое иногда называют прямым уравнением Колмогорова, впервые получено при исследовании броуновского движения и часто в физической литературе связано с именами Эйнштейна, Фоккера, Планка [131. [c.218]

Применительно к задачам о динамических системах, движение которых подчиняется обыкновенным дифференциальным стохастическим уравнениям с гауссовскими флуктуациями параметров, используемый метод приводит к приближению марковского случайного процесса соответствующее уравнение для плотности вероятностей перехода имеет вид уравнения Эйнштейна — Фоккера. В более сложных задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частнь[х производных, этот метод приводит к обобщенному уравнению типа Эйнштейна — Фоккера в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи, в связи с чем он может быть назван приближением диффузионного случайного процесса. Для динамических систем с не-гаусровскими флуктуациями параметров предлагаемый метод также приводит к приближению марковского процесса. Плотность вероятностей решения соответствующих динамических стохастических уравнений удовлетворяет при этом замкнутому операторному уравнению. Так, для случая систем с флуктуациями параметров, имеющими пуассоновский характер, получаются интегро-диффе-ренциальные уравнения типа уравнения Колмогорова — Феллера. [c.6]

В последнее время во многих работах, в которых используется уравнение Эйнштейна — Фоккера (в дальнейшем мы будем использовать сокращение УЭФ), оно выписывается на основе интуитивных сообран ений, а динамические уравнения привлекаются лишь для подсчета коэффициентов, входящих в УЭФ. Такой подход, вообще говоря, непоследователен. Действительно, статистическая задача полностью определена динамическими уравнениями и нредположепиями о статистике случайных воздействий. При этом УЭФ должно являться логическим следствием динамических уравнений и тех или иных предположений о характере случайных воздействий. Ясно, что далеко не во всех случаях решение задачи будет сводиться к УЭФ. [c.6]

Уравнение (4.30) называется уравпение.м Эйнштейна — Фоккера (или уравнением Фоккера — 11 ланка — Колмогорова), а само уравнение (4.27) называется обобщенн],1м уравнением Эйнштейна — Фоккера. Функции Ву (г, t), В (г, t) называются коэффициентами сноса и диффузии. [c.36]

Уравнения Эйнштейна — Фоккера для одноточечной плотности вероятностей (1.10) и для плотности вероятностей перехода (2.5) относятся к параболическому тину уравлспий в частных производных, и для их решения можпо испо.льзовать методы теории уравнений математической физики. Основными методами при этом [c.82]

Для расчета спектра рассеяния, обусловленного поворотной диффузией, Старунов [41, 5051 пользуется уравнением Эйнштейна— Фоккера. Рассматривается тепловое движение молекулы, представляющей собой стержень, характеризуемый только одним моментом инерции. Ориентация такой молекулы определяется угловыми координатами и ф. [c.127]

Фазовый портрет этих уравнений при = О изображен на рис. 3.1. К окружности Г, состоящей из состояний равновесий, асимптотически приближаются все остальные фазовые точки, за исключением точки неустойчивого равновесия О. Наличие малых случайных воздействий ( Ф 0) приводит к случайным блужданиям фазовой точки в окрестности Г, т. е. амплитуда колебаний А близка к двум, а фаза медлеппо меняется и может накапливать свои изменения. В установившемся состоянии плотность вероятностей р А, ф) не зависит от угла ф и изображается поверхностью вида, показанного на рис. 3.2. Таким образом, входное случайное воздействие преобразуется в осцилляторе Ван-дер-Поля в выходные флуктуации амплитуды колебаний и случайный дрейф фазы ф. Для отыскания соответствующей плотности вероятностей может быть составлено широко известное уравнение в частных производных Эйнштейна — Фоккера — Планка. С помощью этого уравнепия может быть найдено не только установившееся распределение вероятностей, т. е. уравнение изображенной на рис. 3.2 поверхности, но и процесс ее установления, а также плотности вероятностей перехода из одного состояния Л, ф в другое А, ф за р я т [216, 310, 320, 342]. Эта плотность вероятностей р А, ф А, ф т) при тимеет пределом установившуюся плотность вероятностей р А). [c.59]

Гл. 4 Стохастические нелинейные дифференциальные уравнения , пожалуй, слишком фрагментарна. Основное внимание в ней уделяется двум возможным трактовкам нелинейных стохастических уравнений (дилемма Ито—Стратоновича) и переходу к соответствующим уравнениям Фоккера—Планка. Вопрос о преимуществах каждой из двух трактовок фактически не обсуждается, а такой анализ был бы полезен, поскольку они не исчерпывают всех вариантов возможна иная запись уравнения Фоккера—Планка и соответствующего уравнения Ланжевена, более естественная с точки зрения общей кинетической теории. (Для системы с диссипативной нелинейностью это приводит к обобщенному выражению Эйнштейна для коэффициента диффузии.) [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...