Асимптотика поля в окрестности каустик

Асимптотика поля в окрестности каустики [c.269]

В фигурных скобках доминирует первое слагаемое. Учет второго слагаемого позволяет рассчитывать поле в окрестности каустики с относительной погрешностью, равной погрешности первого приближения геометрической акустики вдали от каустики. Это слатаемое сушественно для волн умерен- ных частот. Из свойств функции Эйри следует, что при / < О поле имеет осциллирующий характер. Максимальное значение р достигается в озвученной области вблизи каустики при k l t - 1,02. При / > О поле монотонно спадает. В окрестности каустики интенсивность звукового поля значительно возрастает (пропорционально большому параметру А о ), но остается конечной. Фактически выражением (17.18) нужно пользоваться только в малой окрестности каустики, а вне ее - использовать формулы лучевого типа. Сравнивая значения функции Эйри и и главного члена ее асимптотики для больших значений аргумента, легко убедиться, что сшивка решений при k t - 1 дает относительную погрешность 4%, а при kl t = - 3 - уже 1,25%. Несколько вьпие погрешность сшивки на теневой стороне каустики. При 1 она составляет 9%, а при ko t = 3 пог- [c.368]

Условия применимости полученного выше равномерного асимптотического разложения поля в окрестности каустики состоят, во-первых, в требованиях плавности и малости изменения свойств среды на расстояниях порядка длины звуковой волны, что необходимо и для применимости лучевой акустики вдали от каустики, и, во-вторых, в отсутствии других особенностей лучевой структуры в окрестности каустики, где kV t I. Так, формула (17.19) не работает в типичном для дальнего волноводного распространения звука случае сближения каустики (см. [52, 45]). Условия применимости асимптотики (17.19) рассматривались также в работе [107]. Придать им количественную форму позволяет метод эталонных интегралов. Именно, критические точки подьштегрального выражения в (17.1 ) должны быть изолированы от и а второй член асимптотического разложенияр должен быть мал по сравнению с приведенным в (17.14) и (17.19) главным членом. Соответствуюшие неравенства нетрудно выписать, используя материал 11. Так, малость второго приближения означает вьшолнение неравенств (см. (17.11 )-(17.13)) f j Ф1( 1,2)1 1Ф( 1,2)1- [c.369]

Лучевая асимптотика ). Фронт распространяющейся волны представляет собой поверхность разрыва для производных некоторого порядка от смещений. В силу этого в окрестности фронта изменение поля смещений в направлении нормали к фронту значительно более интенсивно, чем такое же изменение вдоль фронта. Это позволяет рассматривать окрестность каждой точки фронта как локально-плоскую волну. На этой идее построен асимптотический метод изучения окрестности фронтов (для неподвижного наблюдателя — окрестности первого вступления некоторой волны). Этот метод давно известен в акустике и оптике. Перенос его в теорию упругости был впервые осуществлен в работе М. Л. Левина и С. М. Рытова (1956). В дальнейшем он подвергался разработке и использовался как средство приближенного решения задач отражения и преломления. Описание поля в окрестности фронта можно строить с разной степенью точности в прикладных задачах обычно пользуются первым приближением, но есть случаи, когда оно принципиально недостаточна (Г. С. Подъяпольский, 1959). Лучевой подход, с одной стороны, обладает большой общностью, например, он применим без особых осложнений к неоднородным средам. С другой стороны, есть исключительные ситуации, где он не работает или требует существенной перестройки, например в окрестности начальных точек головных волн (и вообще точек пересечения фронтов), в окрестности каустики и др. (В. М. Бабич, 1961 Ю. Л. Газарян, 1961 Б. Т. Яновская, 1964). [c.297]

Геометрическая оптика, а также ее уточнение — лучевые разложения неприменимы в окрестности каустик. Погрешность приближения ГО и лучевых разложений возрастает, когда точка наблюдения стремится к каустике, а на самой каустике эти приближения обращаются в бесконечность. Поэтому лучевые разложения называются неравномерными асимптотическими разложениями. В этой главе разберем другой тип асимптотик для поля (так называемое каустическое разложение), применимый для точек наблюдения, расположенных в окрестности каустик. Погрешность этих асимптотических приближений остается ограниченной (и стремящейся к нулю при й->-оо) независимо от того, насколько близко подходим к каустике. Псгатому каустические разложения называются равномерными разложениями лучевых полей. [c.63]

Равномерная асимптотика волнового поля в окрестности точки возврата каустики впервые была построена, по-видимому, в работах [472, 337]. Ранее методом эталонных функций были получены алгебраические уравнения для определения значений аргументов интегралов Пирси и амплитудных коэффициентов [442].Отметим,что асимптотика (17.55), (17.56) описывает также поле в окрестности фокуса цилиндрической линзы прн наличии аберрации. Подробнее об этом и об условиях перехода к геометроакустическим результатам см. [151, 11]. [c.381]

В одиннадцатой главе асимптотика собственных функций типа шепчущей галереи применяется в задаче о волновом поле источника, расположенном на вогнутой поверхности тела. В этой задаче мы сталкиваемся с эффектом шепчущей галереи и существованием поверхностной волны интерференционного типа. В случае поверхностного источника в любой сколь угодно малой окрестности границы тела расположено бесконечное число каустик. Это огибающие многократно отраженных от границы лучей. Задачи об асимптотике волновых полей в случае неизолированных особенностей поля лучей до последнего времени почти не рассматривались. Метод нормальных волн (разложение волнового поля в ряд по некоторым специальным решениям волнового уравнения), который обычно используется в задачах такого рода, обладает наряду с несомненными достоинствами и следующим недостатком представление волнового поля суммою нормальных волн не [c.17]

Выше был pa MOTipeH ряд ситуаций (окрестность гладкой ветви каустики, фокальная линия), в которых нельзя использовать лучевые разложения, поэтому приходилось обращаться к асимптотикам более сложного вида. Нетрудно указать, однако, случаи, когда неприменимо ни одно из приведенных разложений. Примерами могут служить окрестность точки возврата каустики, окрестность фокуса сходящейся волны, область пересечения двух каустических поверхностей и т. д. Как быть в этих случаях Как определить поле в тех областях, где, с одной стороны, законы ГО неприменимы, а с другой стороны, известна лучевая структура подходящего к каустике поля и, вдали ог каустики, лучевое разложение этого поля [c.77]

Приближенный метод Кирхгофа оказывается удобнее в более сложных ситуациях, где ГТД отказывает, например в области каустик, где лучевые разложения приходится заменять каустическими а ПК по-прежнему применимо и дает верный главный член асимптотики. В окрестности мест фокусировки, т. е. мест, где каустика имеет точки возврата, ПК является приближенным интегральным представлением поля, которое можно рассматривать как новую специальную функцию. [c.141]

Важной составной частью построения асимптотики звукового поля методом эталонных функций является исследование условий регулярности полученного решения. Не углубляясь в этот вопрос (подробный анализ см. в [19, гл. 2]), отметим только следующие основные моменты. Когда 1 0 ( ) и / (г) являются гладкими функциям и V/ 9 = О, как в окрестности простой каустики, величина ДА = - (- т) /2д/ + (7/) /2(-/) стремится к бесконечности при / ->- 0. Поэтому на каустике обращаются в бесконечность функции Д< 1,2, входяшие в уравненин переноса для амплитуд [c.372]

Уже в рассмотренном выше случае каустического клюва определение параметров X, У, >0 равномерной асимптотики из системы алгебраических уравнений представляет нетривиальную задачу. Для большего числа сближающихся перевальных точек решение соответствующих алгебраических систем наталкивается на трудно преодолимые сложности, и приходится ограничиться локальной асимптотикой. Чтобы проиллюстрировать технику построения локальной асимптотики (см. И) в случае сложных фокусировок звукового поля, получим ее дпя окрестности точки возврата каустики не из (17.55), (17.56),а независимо. [c.381]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...