Симметризованное произведение

В некотором смысле интегрирование функции F z z ) с 6цг Ь — z) сводится к подстановкам Z Ь и Z Ь . Заметим, однако, что в свойстве (7В.9) проявляется операторный характер функции Syy b — z) поскольку ее моменты определяют симметризованные произведения операторов рождения и уничтожения. [c.146]

Симметризованная временная корреляционная функция 371 Симметризованное произведение операторов 124 Симметрия относительно обращения времени квантовая 42, 43 [c.293]

Преобразование произведения полиномов Эрмита симметризованное произведение представлений [c.368]

Тогда представление симметризованного произведения с базисом [c.373]

Многоэлектронные волновые функции ф и фу возьмем в приближении Хартри или Хартри — Фока, т. е. в виде анти-симметризованного произведения одноэлектронных волновых функций [c.36]

Чтобы разложить остальные произведения для решетки каменной соли, необходимо получить все правила отбора по волновому вектору. Последние (одинаковые для пространственных групп алмаза и каменной соли) приводятся в табл. 15—17 для обычных и симметризованных произведений. [c.127]

Правила отбора по волновому вектору, отличающиеся по сравнению с алмазом для звезд Л, Н, М, приведены в табл. Г1 для обычных и симметризованных произведений. [c.296]

Следовательно, произведение Pa Q преобразуется по представлению D - Однако Pa представляет собой симметричный тензор второго ранга, который преобразуется по симметризованному произведению векторных представлений (Э Следовательно, для любой групповой операции [c.313]

Примечания. Симметризованное произведение обладает некоторыми свойствами, следующими непосредственно из определения [c.61]

Отсюда заключаем, что А" ° А " = Л" поскольку — детерминистское множество для (Л). Кроме того, Л о / = Л. Следовательно, с математической точки зрения степенную структуру на 51 можно считать порожденной введенным нами симметризованным произведением с / в качестве единичного элемента. [c.62]

Теорема 2. Симметризованное произведение ассоциативно и дистрибутивно на 31(93) для любого совместного множества наблюдаемых 8. [c.62]

Следствие. Если совместное множество., то симметризованное произведение ассоциативно на (93). [c.62]

Расширим теперь рамки нашего рассмотрения за пределы одних лишь классических теорий. Еще в самом начале развития алгебраического подхода к физическим теориям отмечалось [198, 438], что алгебраические методы вряд ли применимы , если для симметризованного произведения не выполняется закон дистрибутивности. Однако в то время как все остальные аксиомы, определяющие структуру на 31, допускают [c.62]

Заметим, что именно в таком виде симметризованное произведение встречалось нам при анализе обычной формулировки квантовой механики (п. 1 данного параграфа). Поэтому наши постулаты остаются в силе и в этом случае. [c.64]

Сравнивая последнюю форму симметризованного произведения с формой, использованной в его определении, мы приходим к равенству [c.64]

Важное значение этого равенства для дистрибутивности симметризованного произведения отмечалось уже давно ) Подставляя вместо Л сначала Л + С, а затем Л — С и вычитая один результат из другого, получаем [c.64]

Комбинируя этот результат с коммутативностью и однородностью симметризованного произведения, мы заключаем, что для любой тройки наблюдаемых и любых вещественных чисел выполняется дистрибутивный закон [c.64]

Доказательство. Поскольку функционал ф положителен, выполняется соотношение (ф (Л —ЯВ) ) 0. В силу дистрибутивности симметризованного произведения относительно сложения, его однородности относительно умножения любого из сомножителей на скаляр (оба свойства, как показано выше, следуют из б-й аксиомы о структуре) и линейности ф можно написать [c.74]

Примечание. Соотношение 2 выражает непрерывность симметризованного произведения по каждому из сомножителей, а соотношение 3 — непрерывную зависимость Л от Л. [c.75]

Математический объект 91, определяемый аксиомами Сигала, мы будем в дальнейшем называть алгеброй Сигала. Проанализировав полученные нами до сих пор результаты, можно заметить, что изложенная выше теория (определяемая семью аксиомами о структуре) наделяет множество 91 всех наблюдаемых структурой алгебры Сигала. Отметим некоторые различия между системами аксиом Сигала и принятой нами. Прежде всего в нашем подходе особо подчеркивается та роль, которую мы хотим отвести состояниям в формулировке как алгебраической, так и топологической структуры теории. Однако необходимо ясно сознавать, что и в большей части проводимого Сигалом обоснования его системы аксиом в действительности неявно используется понятие состояния. Различие между нашими подходами заключается главным образом в том, что на более раннем этапе обоснования мы уделяли большее внимание понятию состояний с нулевой дисперсией. Это было необходимо для надлежащего обоснования степенной структуры на 91 (5-я аксиома) и, кроме того, позволило нам значительно раньше ввести понятие совместности наблюдаемых. Последнее понятие в свою очередь было использовано в нашей 6-й аксиоме, предопределяющей характер того обобщения классической механики, которое мы намереваемся рассматривать. Основное следствие из 6-й аксиомы состоит в том, что после ее введения симметризованное произведение А°В становится дистрибутивным (относительно сложения) и однородным (относительно умножения на скаляр). В работе Сигала также фигурирует формальное произведение , которое он определяет аналогично нашему симметризованному произведению и которое действительно совпадает с симметризованным произведением, когда алгебра 91 дистрибутивна. Однако Сигал не постулирует дистрибутивность в общем случае, и, более того, Шерману [366 удалось построить класс [c.76]

Примечание. Для любой алгебры Сигала, в которой симметризованное произведение А°В однородно и дистрибутивно по каждому из сомножителей, мы наряду с теоремами 12 и 13 доказали эквивалентность следующих трех условий для пары высказываний (Р, Q) [c.95]

Предположение о том, что 21 можно отождествить с множеством всех самосопряженных элементов алгебры с инволюцией Н, может показаться чересчур сильным ограничением. В этой связи заметим, что с математической точки зрения данное предположение можно заменить требованием, чтобы алгебра 21 была обратимой в д1, т. е. чтобы 21 допускала следующее обобщение симметризованного произведения для любой конечной последовательности Л, элементов алгебры 21 элемент [c.97]

Инволюция на алгебре Ш определяется соотношениями / = /, X =х, у = — у и = г. Алгебра 91 всех симметричных элементов алгебры 31 порождается элементами I, х, г и наделена следующим симметризованным произведением, индуцированным действующим в Ш обычным умножением [c.102]

Симметризованное произведение А° В есть х-непрерывная функция элемента А при фиксированном В). [c.153]

Эти аксиомы заменяют топологические аксиомы, сформулированные в гл. 1, 2. Их можно рассматривать как обобщение понятия алгебры фон Неймана по крайней мере в двух аспектах. Во-первых, они относятся к абстрактной структуре, не содержащей никаких указаний относительно реализации ее как алгебры операторов, действующих на гильбертовом пространстве. Во-вторых, в формулировке этих аксиом не встречается эквивалент обычного произведения АВ, а фигурирует лишь (имеющее лишь физический смысл) симметризованное произведение А°В. На основании лишь этой структуры, по-видимому, правильно передающей основные черты алгебр фон Неймана, сам фон Нейман [438] сумел вывести большинство резуль- [c.153]

Введем, наконец, так называемый вейлевский символ (0) (2 , 2 ), который связан с выражением для оператора О через симметризованные произведения операторов рождения и уничтожения [см. (7В.З)]. Рассмотрим с этой целью оператор Syy b — z) который определяется формулой (7.3.39). Нетрудно убедиться, что некоторые свойства оператора Syy b — z) аналогичны свойствам обычной дельта-функции [c.146]

В заключение укажем общую схему. Для любой физической величины, которая преобразуется ковариантно при общих поворотах, нужно сначала найти представления группы , т. е. пространственной группы, по которой преобразуются компоненты ковариантной физической величины. Чтобы в разлол<ении этой физической величины по нормальным координатам возникло некоторое конкретное произведение, необходимо, чтобы это конкретное произведение содержало линейное векторное пространство, соответствующее тем же представлениям группы , что и при преобразованиях коварианта как целого. Так как нормальные координаты, согласно (86.30), являются базисом для неприводимого линейного векторною пространства, во всех случаях, чтобы выбрать конкретное произведение, нужно использовать правила приведения обычного и симметризованного произведений матриц и степеней неприводимых представлений пространственных групп. [c.350]

Перечисленные нами свойства наделяют множество я (91) структурой, известной в математике под названием действительной коммутативной йордановой алгебры (или алгебры Иордана) ). закон композиции которой в нашем случае реализуется сложением, умножением на действительные числа и взятием симметризованного произведения. Как мы уже видели, структура такой алгебры позволяет определить понятие совместности наблюдаемых. Возникает естественный вопрос нельзя ли перенести структуру йордановой алгебры на само множество 91 Если бы это было возможно, то у нас имелись бы все основания утверждать, что нам удалось провести алгебраическую аксиоматизацию квантовой механики, не прибегая к фундаментальному постулату о гильбертовом пространстве. Заметим, что множество всех наблюдаемых квантовой системы, подчиняющейся правилам суперотбора ), также удовлетворяет всем названным нами аксиомам, но при этом не предполагается, что обратное утверждение постулата 1 справедливо в общем случае. Правило суперотбора сводится к тому, что из соотношения [c.53]

Наша задача теперь состоит в том, чтобы выяснить, обладает ли симметризованное произведение (и если обладает, то при каких условиях) свойством ассоциативности и дистрибутивности. Определим для любой тройки Л, В, С элементов множества 31 ассоциатор [А, В, С = (Л <> Б) ° С — Л ° (В ° С). Рассмотрим сначала частный случай. Пусть 93 — любое подмножество множества 31, а = П и 3[ =31(93). Для любой [c.62]

Штермер [374] построил классификацию так называемых ЙВ-алгебр типа I, т. е. слабо замкнутых йордановых алгебр самосопряженных операторов (действующих в действительном, комплексном или кватернионном гильбертовом пространстве), снабженных естественным симметризованным произведением и содержащих минимальные операторы проектирования (см. также работу [378]). [c.72]

Используя в надлежащей последовательности свойства симметризованного произведения, науодим [438] [c.94]

Доказательство. Необходимость следует непосредственно из 6-й аксиомы о структуре. Интересно отметить, однако, что в действительности необходимость (в силу дистрибутивности определенного на 21 симметризованного произведения) оказывается следствием пирсовского разложения. Условие теоремы можно записать в виде Ро (Qо Л) °(Р<> Л). По предыдущей лемме его достаточно доказать для ЛеЛ (Р). Докажем его сначала для частного случая, в котором P°Q = Q, т. е. Q [c.94]

С -алгеброй (или Н -алгеброй) называется комплексная (или действительная) банахова алгебра с инволюцией, такая, что 1Р = для всех Я. Заметим, что наша алгебра всех наблюдаемых обладает всч ли свойствами 7 -алгебры, кроме ассоциативности, причем инволюцию можно рассматривать юак тождественное отображение, которое, очевидно, является антиавтоморфизмом, поскольку алгебра 91 абелева (Л оВ =В о Л). Подчеркнем, что множество 51 всех самосопряженных элементов (ассоциативной ) С -алгебры (или 7 -алгебры) 8 является алгеброй Сигала и что в этом случае симметризованное произведение А° В = 2 (Л + В) — А — В ) имеет простой вид Л <> В= 2 АВ ВА), где озйачает произведение в Алгебра Сигала может быть либо специальной (комплексной или действительной), либо исключительной в зависимости, от того, изоморфна ли она множеству всех самосопряженных элементов С - или 7 -алгебры. Как и в случае йордановых алгебр, абстрактные критерии специальной алгебры Сигала неизвестны ). Неизвестно также, является ли в общем случае алгебра 21 всех наблюдаемых физической системы специальной в указанном смысле. [c.96]

Теорема 6. Пусть Ж — комплексное гильбертово пространство, а (Ж) — множество всех ограниченных операторов, действующих на Ж, снабженное обычной нормой, инволюцией и алгебраическими операциями. Пусть 51 — подмножество самосопряженных элементов множества 33 (Ж), на котором структурой множества Ъ Ж) индуцирована структура алгебрб1 Сигала, а симметризованное произведение определяется соотношением Л о в = 1/2 АВ + ВА). Пусть — множество всех состояний на 51, а — множество всех векторов состояний из 51. Тогда = [c.136]

Теоремы 9 и 10, а также отмеченные нами следствия (в частности, утверждение о том, что всякая алгебра фон Неймана, наделенная слабой операторной топологией, порождается своими операторами проектирования) служат краеугольными камнями многих приложений алгебр фон Неймана. В связи с тем что нас интересует проблема аксиоматической формулировки квантовой теории, заметим, что фон Нейман [438] исходил из абстрактной йордановой алгебры с дистрибутивным симметризованным произведением А о В и пытался воспроизвести основные свойства слабой операторной топологии при помощи топологии т, удовлетворяющей следующим аксиомам [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...