Подалгебра

Этот факт важен в идейном отношении (первые интегралы гамильтоновой системы образуют подалгебру в алгебре всех функций), но практически бесполезен полученный таким образом интеграл всегда выражается через уже известные. [c.233]

Л. а. А наз. разрешимой, если в ней существует такая цепочка подалгебр A=Ag Ai ., [c.584]

Для комплексных простых Л. а. всегда можно выбрать базисные элементы X, таким образом, чтобы структурные константы были чисто мнимыми и антисимметричными по всем парам индексов. Такой набор наз. базисом Картана. При этом ранг алгебры Ля определяется как макс. число коммутирующих элементов в базисе Картана, /-мерная коммутативная подалгебра, натянутая на это множество элементов, наз. подалгеброй Картана. [c.584]

РАНГ ГРУППЫ Ли — размерность любой из её подгрупп Картава, генерируемых подалгеброй Картава (см. Ли алгебра). Р. г. Ли равен рангу её алгебры Ли. Для матричных групп рангом группы является ранг матриц, образующих группу. Так как всякая группа Ли локально изоморфна нек-рой матричной группе, то её ранг равен рангу соответствующих матриц. [c.252]

Оптимальная система подалгебр для имеет вид [c.721]

Построенная оптимальная система подалгебр позволяет перечислить все различные, с точностью до преобразований симметрии, инвариантные решения уравнений (2). [c.721]

Построим решение, инвариантное относительно подалгебры А4 — Ai. Решение следует искать в виде [c.722]

Предположим, что гладкие функции Н и Г коммутируют (находятся в инволюции ) Н,Г = 0. Тогда Г — первый интеграл канонической системы с гамильтонианом Н, и наоборот. JJ>a-зовые потоки и др этих систем также коммутируют на М. Так как Г, С , Н = , Я , С - С, Я , Г , то интегралы любой гамильтоновой системы образуют подалгебру в алгебре Ли всех гладких функций на М (теорема Пуассона). [c.23]

Напомним определение разрешимой алгебры Ли. Пусть В и С — подалгебры алгебры А. Множество С С В называется идеалом алгебры В, если для всех / е С, G В коммутатор [/, ff] лежит в С. Алгебра А называе гся разрешимой, если существует такая последовательность А = Ао D Ai D. . . D = 0 подалгебр А, что А,+1 — идеал коразмерности 1 в А, (г == О,.. ., А — 1). В частности, разрешимы коммутативные алгебры ([/,ff] = О для всех f,g е А). [c.75]

Соответствующая алгебра Ли А разрешима, поскольку А D В D D С D 0 , где одномерная алгебра С порождается функцией Fi, а двумерная подалгебра В порождается функциями Fi и F3. Подалгебры В и С в силу (3.25) являются идеалами коразмерности 1 соответственно в А и В. [c.84]

Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. Функции Гамильтона также образуют алгебру Ли операция в этой алгебре называется скобкой Пуассона функций. Первые интегралы гамильтонова фазового потока образуют подалгебру алгебры Ли функций Гамильтона. [c.187]

В. Алгебры Ли гамильтоновых полей, функций Гамильтона и первых интегралов. Линейное подпространство алгебры Ли называется подалгеброй, если коммутатор двух любых элементов подпространства ему принадлежит. Подалгебра алгебры Ли сама является алгеброй Ли. Предыдущее следствие содержит, в частности. [c.190]

Следствие 6. Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. [c.190]

Следствие 7. Первые интегралы гамильтонова фазового потока образуют подалгебру алгебры Ли всех функций. [c.190]

Теорема. Скобка Пуассона контактных векторных полей является контактным векторным полем. Контактные векторные поля образуют подалгебру в алгебре Ли всех гладких векторных полей на контактном многообразии. [c.326]

Уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой, приведенные в 4 гл. 1, записаны для иного представления е(4), соответствующего каноническому разложению подалгебры so(4) so(3) so(3). Для перехода к нему следует ввести новые переменные М, N по формулам [c.282]

Коммутационные соотношения для подалгебры М, А) [c.282]

Ранг пуассоновой структуры каждой подалгебры равен шести, и они имеют [c.283]

Скобка , при ж = О для переменных тг, тг, тз, рг, Р2, Рз, Ра (которые образуют подалгебру) совпадает со скобками для компонент кинетического момента М и кватернионов Ао, Л в динамике твердого тела (гл. 1 3). [c.285]

При этом получаем L матрицу и гамильтониан интегрируемой системы на подалгебре mi, тг, тз, pi, рг, Рз, Р4 с гиростатом, гиростатический момент которого равен с [c.287]

Канонически сопряженная ей координата I ( Z, L = 1) на подалгебре so(3) с образующими Mi, М2, может быть найдена путем интегрирования гамильтонова потока с функцией Гамильтона Ж = L [c.302]

Определим подалгебру а, идеал Ь и центр с алгебры Ли как векторные ее подпространства, удовлетворяющие соотношениям [c.13]

Основные определения градуированных алгебр Ли. Введем важное понятие градуировки алгебр Ли О, являющееся, в частности, весьма полезным и конструктивным как для выяснения структуры и описания их классификации, так и решения проблемы вложения подалгебр из О в О. Назовем градуировкой алгебры Ли О ее разложение как пространства в прямую сумму конечномерных подпространств, [c.18]

Согласно соотношению (2.2) подпространство о замкнуто относительно операции коммутации в , [ о, о] с о, и является подалгеброй . При этом соотношение [ о, а]с а индуцирует линейное представление Та алгебры. Ли о на про- [c.18]

Теперь мы подготовлены для того, чтобы сформулировать теорему Леви — Мальцева, согласно которой любая алгебра Ли может быть разложена (как линейное пространство) в прямую сумму своего радикала г и полупростой подалгебры , [c.20]

Подмножество B z.A в Л, а. наз, подалгеброй Л и, если оно само является Л. а. относительно тех же операций. Это значит, что В — линейное подпространство, и операция коммутирования не выводит из В. Последнее можно записать символически [В, В]< В. Если для подпространства Дс/1 выполняется более сильное условие [А, В]< В, то В наз. идеалом в Л. Если В — идеал, то фактор-пространство. 4/5, элементами к-рого являются классы X+S (т. е. множества элементов вида Х + У, где У пробегает все В), само является Л. а. Операции в этой фактор- [c.583]

Классификация алгебр Ли. Имеется четыре серии простых комплексных Л. а, конечной размерности Ai, Bi, l, D[ и кроме этого пять исключительных алгебр Gj, F4, (, Eg (индексы везде обозначают ранг алгебры). Каждая комплексная Л. а. имеет единственную вещественную подалгебру, являющуюся Л. а. компактной группы Ли. Перечисли.ч компактные группы, соответствующие сериям. Алгебра Ai, 2,. . ., имеет размерность и—(Z-1-l) —1 и связана с группой SV l i) унитарных унимодулярных (т. е. имеющих единичный детерминант) (г-Ь1)-рядных матриц. Алгебра 1 = 2, 3,. . ., имеет размерность гь= 1 2l- -i) и связана с группой SO (2i-j-l) ортогональных унимодулярных матриц порядка 2/-Ь1. Случай 1=1 исключается, т. к. Bi=Ai. Алгебра С/, 1=3, 4,. . ., имеет размерность и связана с си.чнлек- [c.584]

Если преобразование из группы Ли — Беклунда оставляет инвариантным функционал действия гамильтонова Н. у. м. ф., то оно имеет интеграл движения — функционал, не зависящий от времени. Интегралы движения образуют алгебру Ли относительно скобок Пуассона, изоморфную нек-рой подалгебре алгебры си.мметрий. [c.316]

Неприводимое конечномерное нредставление полу-простой алгебры Ли полностью определяется своим старшим весом (теорема Картам а). Для кажд простой алгебры Ли с г-мерной подалгеброй Картава имеется г доминантных весов (i I, -., г), называемых фундамеШтальныни,твкях, чТо остаяКвые доминант- [c.103]

Пусть М — симплектическое многообразие, и Fi,...,F — независимые функции на М, порождающие конечномерную подалгебру алгебры Ли С М), т. е. F,F, = Y jFk j = onst). В каждой точке ж е М векторы образуют п-мерное линейное [c.84]

Таким образом, задача построения F-G-пары (1.1), (1.2) свобрнтся х выделению из алгебры, определяемой соотношениями (1.14), конечномерной замкнутой подалгебры и реализации ее с помощью ся1ераторов, линейно зависящих от переменных у, или, что то же самое, к построению ее матричного представления. [c.13]

В случае непериодических цепочек операторы Xi и Х ,- отвечают соответственно положительным и отрицательным простым корням, а Hi — операторы картановской подалгебры. Для алгебры Ап они имеют вид [c.26]

Эти коммутационные соотношения как раз и определяют структуру продолжения. Они образуют некоторую неполную алгебру. Накладывая дополнительные ограничения на ее образующие, можно получить некоторую полную подалгебру, поиск различных реализаций которой и приводит, в частности, к построению преобразований Беклунда. В работе [94] были изучены одномерные реализации этих коммутационных соотношений в дополнительном предположении о полиномиальной зависимости (степени не выше второй) порождающих элементов этой подалгебры от псевдопотенциалов, а также некоторые ее двумерные реализации. Прежде всего, были указаны две неэквивалентные реализации коммутационных соотношений [c.52]

При этом предполагается, что искомые коэффициенты этой линейной зависимости сами являются функциями псевдопотенциалов, которые, в свою очередь, определяются из условия = О вида (5.11) или (5.12), в котором использованы разложения (5.13). В разложениях же (5.13) в качестве Ах,В1уС1,Аз,Вз, Сз следует использовать величины, характеризующие исходное решение, а в качестве коэффициентов Рх, Рз, Рз, Сх,Сз, Сз — их явные выражения через д, соответствующие выбранной реализации найденной подалгебры. [c.53]

Задача 8. Докажите, что локально гамильтоновы векторные поля образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. При втом скобка Пуассона двуж локально гамильтоновых полей — это настоящее гамильтоново поле, его функция Гамильтона однозначно ) определена данными поля.чи %, 1) по формуле [c.191]

Плотность гомеовдная 442—444 Подалгебра 190 Подгруппа дискретная 242 Подмногообразие лежандрово 331, 450 Поле векторное вариации геодезической 275 [c.470]

В этом случае алгебра (3.1) разлагается на две семимерные изоморфные пересекающиеся подалгебры. [c.282]

Относительно стандартного матричного коммутатора [ , ] они образуют полупростую алгебру, для которой справедливо картановское разложение = Я + V, где подалгебра Я = ви(2) вм(1) образована матрицами М, а V = С — матрицами Pi. [c.284]

Определение П 8.2. Алгеброй Ли иааьшается линейное пространство g с антисимметричной билинейной операцией [ , ] дхд- д, удовлетворяющей тождеству Якоби (П 3.2). Идеалом называется такая подалгебра ас g, что [д, а] с а. [c.720]

Согласно общим теоремам Ли — Энгеля существует взаимо однозначное соответствие между алгебрами Ли и груннами Ли алгебра Ли определяет группу Ли с точностью до взаимно-однозначного отображения между окрестностями единиц групп, переводящего единичный элемент в единичный и сохраняющего закон композиции вблизи единичных элементов (т. е. с точностью до локального изоморфизма). Поэтому классификация групп Ли в известном смысле эквивалентна классификации соответствующих им алгебр. Следует, однако, подчеркнуть, что если из наличия некоторой группы Ли вытекает существование отвечающей ей алгебры Ли (согласно теореме Картана каждая алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой группы Ли), то процедура интегрирования или экспоненциирования , т. с. перехода от реализации алгебры Ли к реализации группы Ли, встречается с определенными сложностями и, вообще говоря, не всегда возможна. Не всякая алгебра Ли может быть проинтегрирована до группы Ли. Кроме того, утверждения о том, что всякому линейному представлению алгебры Ли О группы Ли Q соответствует линейное представление и всякой подалгебре [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...