Уравнение Бернулли второе уравнение Эйлера)

Уравнение Бернулли — Эйлера. При выводе этого классического уравнения делаются следующие допущения [278] а) сечения стержня, плоские и перпендикулярные оси стержня в покое, остаются таковыми и во время изгиба б) продольные волокна, на которые можно расщепить стержень, сопротивляются изгибу независимо, не оказывая друг па друга влияния в) инерция вращения элемента стержня в расчет не принимается. На основании третьего предположения левая часть уравнения (5.19) равна нулю и поэтому Fy = Mz- Из второго предположения следует, что Суу = О, поэтому из (5.21) имеем а в силу первого предположения = —w. Поэтому, подставляя Fy = =Мх = — EI w" в уравнение (5.18), получим уравнение Бернулли — Эйлера [c.145]

Если до сих пор для определения гидродинамических явлений мы имели нелинейные диференциальные уравнения второго порядка (уравнение Эйлера, общее уравнение Бернулли), то теперь, при потенциальном движении несжимаемой жидкости, мы имеем линейное уравнение относительно Ф. Это же влечет за собой возможность больших математических упрощений, связанных с тем, что каждая линейная комбинация частных решений является опять решением диференциального уравнения. Вследствие этого получается большая многосторонность решений, что значительно облегчает удовлетворение пограничных условий. [c.116]

Следует отчетливо уяснить себе, в чем состоит отличие интеграла Эйлера от уравнения Бернулли для случая идеальной жидкости. Уравнение Бернулли было выведено во второй глава для любого установившегося движения жидкости мы не предполагали при этом выводе, что поток обязательно должен быть потенциальный. Следовательно, предположения при вывода уравнения Бернулли были значительно более общие, нежели в данном случае, при выводе интеграла Эйлера. [c.286]

Второй этап его деятельности (условно 1693-1719 гг.) связан с разработкой теории центральных сил, дифференциально-геометрического метода построения дифференциальных уравнений движения тел (точнее — точек) и их интегрирования. В качестве прямоугольных осей координат часто использовались касательная и нормаль. Возможно, именно это и навело Д. Бернулли и Эйлера на мысль записать дифференциальные уравнения движения точки аналогичным образом. [c.204]

В качестве второго примера рассмотрим изгибные волны в тонком стержне с периодическими сосредоточенными препятствиями, оказывающими сопротивление перерезывающей силе. Очевидно, что приведенный выше вывод дисперсионного уравпепия может быть неренесен на этот случай без изменений. Считая, что изгибные колебания стержня подчиняются уравнению Бернулли — Эйлера (5.22), и записывая его функцию Грина в виде [c.184]

Лагранж в 60-е годы отправлялся от этих работ в своих исследованиях колебаний системы конечного числа материальных точек. Ему было нетрудно придать утверждению Д. Бернулли форму математической теоремы, так как в 40-е годы XVIII в. Эйлер показал, как проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение произвольного порядка с достоянными коэффициентами, а Даламбер — как интегрируются системы таких уравнений. Это позволяло просто сослаться на то, что общий интеграл дифференциальных уравнений описывающих малые колебания, является суммой слагаемых, каждое из которых соответствует малым изохронным колебаниям простого маятника. При этом, однако, надо было допустить, что корни алгебраического уравнения (уравнения частот, или векового уравнения ), которое попутно приходится решать, вещественны, положительны и не равны между собой. Однако Лагранж этим не ограничился и провел все исследование в общем виде, используя открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго, рода. В первом издании Аналитической механики Лагранжа (1788 г.) эти результаты даны в улучшенной редакции, в окончательном виде они вошли во. второе издание Аналитической механики (т. I., 1813 г.). [c.265]

Из сравнения форм лопаток (фиг. 58, а и б) видно, что в первом случае составляющая с.,,, значительно (зольше, чем в последнем. Это положение по формуле Эйлера относится и к получающимся давлениям потока (с, всегда равно нулю, а о в обоих случаях равны). Таким образом, давление при лопатках, показанных на фиг. 58, а, должно быть больше, чем при лопатках, изображенных на фиг. 58, в, в том же соотношении, что и скорости. Из уравнения Бернулли (82) видно, что в рассматриваемых случаях ( 1, 2 и и>2, смотря по обсто тельствам, равны) прирост давления в первом случае (фиг. 58, а) по сравнению со вторым случаем (фиг. 58, в) характеризуется только первым членом этого уравнения. Форма лопаток на фиг. 58, а может иметь некоторые практические преимущества по отно- [c.570]

Следует отчетливо уяснить различие рассмотренных уравнений Громека и Бернулли. Оба они выведены для вихревого (непотенциального) течелия, однако первое уравнение отражает факт посто- -янства полной энергии единицы массы газа во всей области, где вихревые линии и линии тока совпадают, а второе уравнение устанавливает закономерность, в соответствии с которой постоянство этой энергии имеет место вдоль данной линии тока или вихревой линии. В соответствии с этим в уравнении Громека константа будет одинаковой для всей рассматриваемой области по-тока, а в уравнении Бернулли она относится к данной линии тока -или вихревой линии. Естественно, в общем случае обе константы, l и Сь неодинаковы. Из сказанного также вытекает различие, с одной стороны, между этими уравнениями п, с другой стороны,. уравнениями Лагранжа и Эйлера, относящимися соответственно к неустановившемуся и установившемуся безвих- 130 [c.130]

В истории теории упругости и сопротивления материалов видное места занимают работы Даниила Бернулли и Эйлера о поперечных колебаниях упругих стержней (см. также гл. IX). В конце приложения Об упругих кривых к трактату Метод нахождения кривых линий... (1744 г.) Эйлер поставил задачу о малых колебаниях стержня, обосновал замену кривизны стержня второй производной (Pyldx и впервые вывел приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси. [c.169]

Оврия исследований Эйлера о гидравлических машинах (турбины водометного судна), где, казалось бы, автор занимается рассмотрением прикладных вопросов об изыскании наивыгоднейших конструкций гидрореактивной турбины и корабля, приводимого в движение водометным двигателем, подвела его вплотную к установлению основных уравнений движения идеальной жидкости. Эти исследования можно назвать гидравлическими потому, что в них рассматривается одномерное течение жидкости в трубке. Иногда Эйлер пользуется энергетическим методом, который широко применяли оба Бернулли, Основным же методом является принцип ускоряющих сил, который отличается от второго закона Ньютона тем, что к числу активных сил прибавляются явно оговоренные силы реакции связей (стенок сосуда). [c.182]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...