Коммутирующие наблюдаемые

О системе наблюдаемых, удовлетворяющих всем требованиям (42), говорят как о полном наборе или о полной системе коммутирующих наблюдаемых ). [c.366]

Если система взаимно коммутирующих наблюдаемых gi,. .., In такова, что любой новый оператор, коммутирующий со всеми наблюдаемыми Ь > In, есть их функция, то наблюдаемые i,. .., образуют полный набор. [c.368]

Набор взаимно коммутирующих наблюдаемых называется полным, если любой новый оператор, коммутирующий со всеми наблюдаемыми набора, есть их функция. [c.369]

ЗАМЕЧАНИЕ 1 В этой формулировке становится особенно ясным, что полнота набора коммутирующих наблюдаемых есть вопрос в значительной степени физический в определении фигурирует слово любой , но, конечно, любой из числа вообще рассматриваемых операторов , а объем совокупности рассматриваемых операторов определяется физической постановкой задачи. [c.369]

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Теперь мы можем, наконец, описать способ построения пространства, векторы которого призваны отображать состояния квантовой механики. Мы находим полный набор коммутирующих наблюдаемых и строим их совместные проекторы Р Собственные векторы этих проекторов с EW-ми -fl, [c.369]

Можно получить ряд теорем, трактующих свойства функций коммутирующих наблюдаемых. [c.369]

Если I и т]—две коммутирующие наблюдаемые, то всякая функция f(l) коммутирует со всякой функцией (Л)- [c.369]

ЗАМЕЧАНИЕ Обобщение этого утверждения приводит нас к тому, что множество функций п коммутирующих наблюдаемых образует коммутативную алгебру с единицей. [c.369]

Если задан некоторый набор ь. .., коммутирующих наблюдаемых, [c.370]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО для случая чисто дискретного спектра совсем просто. В самом деле, коммутирующие наблюдаемые li,. .., обладают совместными проекционными операторами [c.370]

Скажем еще несколько слов о физической интерпретации наборов коммутирующих наблюдаемых. Поскольку наблюдаемые набора обладают общими собственными векторами, то согласно постулату (2) из 4.4 они одновременно измеримы, — т. е. система может находиться в таком состоянии, когда все наблюдаемые рассматриваемого набора имеют одновременно определенные значения. [c.371]

ЗАМЕЧАНИЕ Одновременно измеримы значит, по нашему соглашению, что мы можем одновременно предсказать точные значения всех этих наблюдаемых, если каждая из них будет измеряться первой, — т. е. вообще говоря нам нужно по меньшей мере п экземпляров системы. Однако относительно коммутирующих наблюдаемых можно утверждать и больше что, хотя бы в прин ципе, всегда можно придумать такую постановку опыта, что все они будут измерены реально одновременно — в одном эксперименте. [c.371]

Вероятность найти для набора физических величин которым отвечают коммутирующие наблюдаемые, при измерении (одновременном) этих величин у системы, находящейся в состоянии х), точно значения. ....соответственно, есть [c.372]

ЗАМЕЧАНИЕ Последние абзацы показывают, что с физической точки зрения тоже может представиться естественным рассматривать набор коммутирующих наблюдаемых как одну сложную наблюдаемую, значения которой суть не одно число, а (упорядоченный) набор нескольких чисел. Таким образом в каком-то смысле можно сказать, что математический и физический подход к интерпретации набора коммутирующих наблюдаемых различает только отношение к нумерации собственных векторов-математик может предпочесть более простую одномерную нумерацию, в то время как физик не может отказаться от может быть более громоздкой, но зато связанной с природой изучаемой системы. [c.372]

Итак, всякий полный набор коммутирующих наблюдаемых определяет полную ортонормированную систему состояний (42.3) в пространстве векторов состояния Л). В квантовой механике [c.372]

Пусть, кроме полного набора 5 , у нас есть другой полный набор коммутирующих наблюдаемых т)ь. .., т] , которому [c.374]

Будем, для краткости, обозначать полный набор коммутирующих наблюдаемых, определяющий избранное представ- [c.417]

Делу, однако, можно в сильной степени помочь, если выбрать представление, в котором рассматриваются векторы и операторы, специальным рациональным образом. Мы уже знаем, что выбрать представление — это значит выбрать некоторый полный набор коммутирующих наблюдаемых, которые будут в этом представлении диагональны. Выберем такой набор коммутирующих наблюдаемых, чтобы одной из них был бы гамильтониан. [c.467]

Мы сталкиваемся здесь с тем любопытным положением, что, в то время как оператор импульса сам по себе образует полный набор коммутирующих наблюдаемых, его функция — гамильтониан — сам по себе полного набора ие образует и для этой цели к нему надо добавить еще какой-либо коммутирующий с ним оператор. Этот пример показывает, насколько неопределенными могут быть в квантовой механике предсказания о числе операторов полного набора. [c.477]

Для построения операторов, которые должны представлять динамические переменные и наблюдаемые, как правило, применяются один или несколько из следующих подходов. Во-первых, образование квантовомеханических величин может выполняться по аналогии с классическими величинами примерами могут служить координаты и импульсы, а также комплексные нормальные координаты гармонического осциллятора. Во-вторых, можно строить операторы из других операторов например, операторы компонент орбитального момента количества движения выражаются через операторы координат и импульсов, причем формально сохраняется существующая в классической теории связь между этими величинами. Поскольку применяемые операторы не во всех случаях коммутируют, то при формировании произведений этот метод не всегда однозначно приво- [c.74]

Из соотношения для скорости изменения среднего значения наблюдаемой величины во времени (3.50) следует, что когда оператор, соответствующий этой величине, коммутирует с гамильтонианом, то скорость изменения среднего значения равна нулю. Эю, разумеется и следовало ожидать. [c.77]

Из всех решений уравнения (7.16) для свободных частиц нас интересует главным образом один класс решений, а именно те решения, которые соответствуют коллимированным пучкам, распространяющимся в заданных направлениях. Это означает, что Fo является собственным состоянием импульсов налетающих частиц. Указанное условие может, однако, не приводить к полному снятию вырождения могут существовать дополнительные степени свободы, соответствующие спину и изотопическому спину, их компонентам или другим квантовым числам. Если последнее имеет место, то для снятия вырождения нужно ввести достаточно большой набор наблюдаемых переменных, коммутирующих с нулевым гамильтонианом. Ниже все собственные значения этих переменных, включая собственные значения импульсов, мы будем обозначать одним символом а. Другим классом решений уравнения (7.16), который понадобится в дальнейшем, являются собственные состояния угловых моментов налетающих частиц, а не импульсов. При необходимости из таких решений с учетом дополнительных квантовых чисел можно также образовать полный набор. [c.175]

Следовательно, Н — оператор энергии. Мы получили, что при /I —) О квантовая теория переходит в классическую (уравнения движения по форме остаются теми же, а наблюдаемые начинают коммутировать между собой). [c.117]

Существенной чертой этих законов преобразования является то, что они доставляют максимальный набор коммутирующих наблюдаемых. Можно взять, например, импульс р и компоненту момента вдоль р. yщe JBOвaниe такого максимального коммутирующего набора связано с тем, что представление неприводимо, т. е. любой оператор, коммутирующий со всеми Л а. А), есть константа, умноженная на единичный оператор. [c.40]

Посмотрим теперь, как описывается квантовая дина- мика осциллятора. Прибегнем сперва к гайзенберговой картине. Для одномерного осциллятора полный набор коммутирующих наблюдаемых насчитывает только одну величину выберем в качестве такой величины рассмотренный нами в 10 оператор числа частиц а+а, собственными значениями которого п были це-.пые числа и = О, 1,2,. .., а собственные векторы обозначались нами как п). Гамильтониан Я является в силу (114Ь) функцией этой наблюдаемой, поэтому те же векторы п) будут и собственными векторами Я [c.473]

В то же время, если магн. поле в установке Штерна — Херлаха было бы ориентировано вдаль оси х, то установленному с помощью приведённого рассуждения значению проекции Sij тоже отвечал бы элемент физ. реальности. Однако наблюдаемые и S . несовместны, т.е, не могут быть измерены одновременно, т. к. соответствующие операторы не коммутируют [5,, 5 ] = /5у7 0. Отсюда, согласно условию 1, делается вывод о неполноте квантовой механики, т.к. паре элементов физ. реальности нет соответствия в теории. [c.498]

В таком утверждении содержится неявная тонкость, которая даже в лучших книгах обсуждается лишь мимоходом. Из квантовой механики хорошо известно, что состояние системы должно описываться полным набором коымутируюхцих наблюдаемых (по терминологии Дирака). Приведенное нами утверждение подразумевает, что энергия уже сама по себе образует такой набор все прочие наблюдаемые, коммутирующие с гамильтонианом, мы исключаем из рассмотрения. Разумеется, это не что иное, как неявная формулировка эргодической гипотезы. [c.132]

Если же предположить, что все операторы в 0 комму-тир тот между собой (это иногда называют гипотезой коммутативных правил суперотбора), то структура множества физически реализуемых состояний существенно упростится. Правила сзшеротбора в 0 могут быть одновременно диагонализованы, и Ж распадается на ортогональные подпространства, в которых каждый из операторош, определяющих правила суперотбора, принимает определенное значение. Эти подпространства называются когерентными подпространствами. Наблюдаемые отображают когерентные подпространства на самих себя, и единственные операторы, которые определены на одном когерентном подпространстве, преобразуют его в себя л коммутируют со всеми наблюдаемыми, суть операторы, кратные единичному, т. е. наблюдаемые, будучи лимитированы одним-единственным когерентным подпространством, образуют неприводимое множество операторов. [c.18]

Существует один важный случай, когда можно доказать, что гипотеза коммутативных правил сверхотбора выполняется когда существует полный коммутирующий набор наблюдаемых ). Любой оператор, который коммутирует со всеми операторами такого набора, является функцией операторов из этого набора. В частности, любой оператор, который принадлежит 0, — функция наблюдаемых этого набора. Так что в этом случае все операторы в 0 коммутируют. [c.18]

Замечания, аналогичные замечаниям, сделанным по поводу первого примера, остаются и здесь в силе. Но в дополнение здесь появляются такие новые черты. Четно-нечетное правило определяет некий закон сохранения в рассматриваемой системе определяет ли оно правило суперотбора Для ответа на подобные вопросы опять нужен анализ наблюдаемых. Новая теория эквивалентна старой в первом обсуждавшемся выше смысле существует неприводимый набор операторов поля (ф, тр/, ФаО. подчиняющийся нормальным перестановочным соотношениям. Конечно, возможно, что интересующие нас в теории величины можно более просто представить в терминах одного набора полей, чем в терминах другого. В зтой связи есть резон предпочесть преобразованные поля (ф, грг ), так как эрмитовы операторы ф(х) и 1р1(у)1 52(2)-Ь ф2(2) ф1(у) не коммутируют На больших пространственноподобных интервалах. Это неестественно для теории поля и означает, что любая функция поло (ф, тр , орг), соответствующая локальному измерению си- [c.216]

Наблюдаемые в квантовой теории не коммутируют, поэтому попробуем найти условия на квантовые скобки Нуассона, считая, что в квантовой теории должны выполняться те же свойства. Рассмотрим выражение и1и2,У1У2 п- Его можно вычислить двумя способами. Сравнивая результаты, получаем [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...