ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость линейных систем с постоянной матрицей из "Основы теоретической механики Изд2 " Доказательство. Из теории линейных систем дифференциальных уравнений известно, что произвольная компонента вектора решения х линейной системы состоит из суммы функций следующего вида ехр aitt) os bkt, если корни Xk = -h ibk не являются кратными. Если же среди корней есть кратные, то в решении появляются слагаемые вида (Со + i . -f- Ср Р)(ех р a si) osbkt. Если аАг О, то все такие слагаемые стремятся к нулю. [c.159] Решения линейной системы оказываются ограниченными и, в силу теоремы 2 из 36, сама система является устойчивой, а в силу экспоненциального затухания решений — и асимптотически устойчивой. Теорема доказана. [c.159] Доказательство. Полином /(А), корни которого обладают отрицательными вещественными частями, называется устойчивым. [c.160] Лемма 1. Если полином устойчив, то все коэффициенты его положительны. [c.160] Произведение сомножителей с положительными коэффициентами есть полином с положительными коэффициентами. Лемма доказана. [c.160] Полином F(A) = (1 Ч-аА)/(А) Ч-/(—А), в котором а О, называется присоединенным к полиному /(А). [c.160] Лемма 2. Если полином /(А) устойчив, то и присоединенный полином тоже устойчив. [c.160] Лемма 3. Для всякого устойчивого полинома степени п 4- 1 существует устойчивый полином степени п, для которого данный полином является присоединенным. [c.161] Полином Фо(Л) = —(1 - аЛ) (Л) имеет один корень Л = 1/а положительный и все остальные с отрицательными вещественными частями. Выясним, при каких fl сохраняется подобная расстановка корней. [c.161] Но при ф I у полинома единственный корень с положительной вещественной частью, следовательно, это и есть корень Хр. Лемма доказана. [c.163] Доказательство самой теоремы будем проводить методом полной математической индукции. Покажем вначале необходимость условий теоремы. Пусть полином /(А) — устойчив. Тогда для п = 1 /(А) = оо + а1А и главный диагональный минор фигурирующей в теореме матрицы сводится к а, которое должно быть больше нуля из условия отрицательности А. Для п = 1 условие теоремы, как необходимое, справедливо. [c.163] Докажем теперь достаточность. Пусть п = 1, /(Л) = ao + uiA, из условия Al О, т.е. ai О, следует, что полином /(Л) устойчивый. Пусть теперь теорема верна вплоть до некоторого п включительно из Д/с О при к = 1.п следует, что /(Л) — устойчивый полином. Рассмотрим полином F[X) порядка п+1. Дано, что для него все Dk+ О, к = I,. .., п. Для этого полинома существует полином /(Л) (Л) = (1 + аЛ)/(Л) + /(-Л) и в силу Dk+i = а + аоД/с следует, что Ак 0,/ =1.п. Но это значит, что полином /(А) — устойчивый. Тогда по лемме 2 F X) — тоже устойчивый полином. Теорема доказана. [c.164] Существуют теоремы, в которых необходимые и достаточные условия устойчивости полинома /(Л) формулируются не в аналитической форме, как в предыдущей теореме, а в геометрической. Остановимся на одной из таких теорем, которая называется геометрическим критерием устойчивости Михайлова. [c.164] Здесь I — число корней с отрицательной вещественной частью, г число корней с положительной вещественной частью. [c.165] Д arg /(ги ) =1 тсп/2, то это значит, что изменение аргумента определено, т.е. йк ф О, и из той же формулы следует, что г = О, т.е. все Of О — полином устойчив. Теорема доказана. [c.165] Вернуться к основной статье