Движение точки под действием силы, зависящей от положения этой точки

Кратко рассмотрим основные положения свободных (баллистических) полетов космических летательных аппаратов. Теория свободных космических полетов основана на законах Ньютона — Кеплера из области небесной механики. Согласно этим законам, каждая материальная точка, находящаяся под действием силы притяжения со стороны одного только центра, имеет определенное движение. Это движение зависит только от начальных условий, т. е. от того, какое положение занимает точка в начальный момент времени, когда она находится под действием только силы притяжения, и от того, какую она имеет скорость в этот мо.мент времени. На основании этих положений движется центр масс каждого космического летательного аппарата. [c.499]

Выясняя, какие силы нужны для поддержания или усиления колебания, часто удобно рассматривать их как сведенные к импульсам. Чтобы взять простой случай, предположим, что на чечевицу колеблющегося маятника действует малый горизонтальный положительный импульс. Эффект зависит, конечно, от фазы колебания в момент действия импульса. Если в этот момент чечевица движется в положительном направлении, то колебание усиливается, и этот эффект будет максимальным тогда, когда скорость движения в положительном направлении наибольшая, т. е. когда чечевица проходит в положительном направлении через положение равновесия. К этому всегда и стремятся при конструировании часового механизма, так как тогда действие силы, в смысле усиления движения, оказывается наибольшим и всего меньше влияет на период (в первом приближении это влияние, равно нулю). Конечно, если импульс будет сообщен на полпериода раньше или позже, чем это было предположено выше, то результатом будет ослабление колебания, которое также не сопровождается изменением периода. Аналогичным путем мы можем установить, что когда импульс сообщается в момент максимального отклонения маятника, эффект его сосредоточивается целиком на периоде, само же колебание при этом ни усиливается, ни ослабляется. [c.100]

Поскольку на штангу, расположенную вдоль оси этого гироскопа, надет грузик, положение которого можно изменять, то можно приложить к гироскопу определённый момент силы тяжести, сместив этот грузик. Когда точка опоры не совпадает с центром масс гироскопа, мы получаем т.н. гироскопический маятник , угловая скорость прецессии которого постоянна, т.е. не зависит от наклона оси гироскопа. Гироскопические маятники с большими периодами прецессии (десятки минут) мало подвержены действию кратковременных сил и применяются на самолётах и морских судах для создания искусственного горизонта и искусственной вертикали. После наблюдения движения гироскопического маятника можно продемонстрировать работу авиагоризонта. [c.23]

Приведем шарик в колебательное движение. Тогда его полная энергия будет складываться из кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия шарика с пружиной. Эта потенциальная энергия зависит от положения шарика, но не зависит от времени в том смысле, что если шарик имел в каком-то положении потенциальную энергию, равную и, то, вернувшись в это положение через некоторый промежуток времени t, он будет обладать той же самой потенциальной энергией и. В этом же смысле постоянна и внешняя сила, действуюш,ая а рассматриваемую систему (шарик). В соответствии со сказанным, полная энергия системы сохраняется. Рассмотрим теперь реальную пружину, упругие свойства которой с течением времени меняются, т. е. сила, которая действует на шарик со стороны пружины, при одном и том же расстояний шарика от положения равновесия уменьшается. В этом случае шартп , имевший в каком-то положении потенциальную энергию, равную 7, возвратившись в то же самое положение, будет иметь энергию / < и. Соответственно полная энергия шарика уменьшается. Этот пример иллюстрирует несохранение полной энергии системы, находящейся под действием внешней силы, зависящей от времени. [c.93]

Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бл -Ь 1 величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными Зп зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные Зп -р 1 зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариацион- [c.180]

Здесь члеиа]Р(0 представляет периодическую функцию времени, определяющую изменение коэффициента жесткости. В проблемах механических колебаний обычно мы встречаемся с малыми изменениями коэффициента жесткости, и этог член можно считать малым по сравиег/ию с Вид функции / /) зависит ог устройства системы. Два важных случая показаны на рис. 118, в н г, где представлены синусоидальное и прямоугольное изменения. Общее решение уравнения (а) неизвестно, но для наших целей его знать необязательно. Нас интересует лишь, будет ли с данном случае устойчива или неустойчива система, движение которой пи1, яно уравнением (а). Чтобы ответить на этот вопрос, нужно предположить, что система находится в среднем положении (д =0) и что некоторая дополнительно приложенная сила вызывает малое начальное смещение. г и малун). начальную скорость и тем самым малые колебания. Если можно показать, что амплитуда этих колебаний неограниченно возрастает со временем, то имеется случай неустойчиЕости. Если колебания постепенно затухают со временем, то исходное состояние устойчиво. Рассмотрим, например, случай рнс. 118, а. Под действием вертикальной переменной силы S масса т может оставаться в среднем положении на линин действия силы 5 но. как мы видели, то положение равновесия становится неустойчивым, если частота изменения силы S вдвое больше частоты поперечных колебаний системы, нагруженной постоянной силой натяжения. Так как выражение, заключенное в скобки в уравнении (а), представляет периодическую функцию, то допустимо ожидать, что прн надлежащем выборе начальных условий можно вызвать такое движение x = F (0. что в конце первого цикла (i=T= 2n/oi) будет [c.176]

Относительное движение твердого тела. Если мы хотим применить теорему Клеро к движению твердого тела, то мы должны 1)ассматривать каждую его частицу как гюдверженную действию двух сил, которые зависят от положения и скорости этой частицы. Чтобы найти результирующую всех этих сил, необходимо, вообще говоря, выполнить интегрирование по всему телу. Это интегриро-иание, хотя оно не вызывает затруднений, иногда трудоемко. 1 )ыли развиты методы, сокращающие этот процесс, однако здесь опн не приводятся, поскольку такие задачи в большинстве случаев легко решать, используя методы, описанные в п. 10. [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...