Дифференцирование компонент вектора ковариантное

Пользуясь правилом дифференцирования сложных функций, нетрудно показать, что компоненты V, вектора v в действительности подчиняются правилам преобразования ковариантных компонентов вектора. [c.323]

Пусть а р, Ьар — тензоры первой и второй квадратичных форм срединной поверхности, Уа — символ ковариантного дифференцирования в метрике а р, О — модуль сдвига, V — коэффициент поперечного расширения, р — плотность материала, к — толщина оболочки, р — компоненты вектора внешних сил, тпа — компоненты вектора моментов, отнесенных к единице площади срединной поверхности, г + г/ + гг] — компоненты вектора смещения, z — расстояние точки от срединной поверхности. Тогда основные соотношения сводятся к следующей системе уравнения движения [c.232]

Выведем формулы ковариантного дифференцирования координатных векторов Рк. Для зтого будем рассматривать эти векторы как тензор первой валентности с векторными компонентами. Ковариантные производные таких тензоров выражаются по обычным формулам, в частности, для Г к имеем [c.38]

Здесь выделено дифференцирование по нормали нормальная составляющая скорости имеет обозначение =у. Запятая и индекс обозначают ковариантное дифференцирование контравариантных компонент вектора по поверхности. [c.316]

Дифференцирование скалярных функций позволяет рассматривать оператор Гамильтона V как ковариантный вектор с компонентами [c.385]

Конечно, выражения (IV. 148) и (IV. 150) представляют компоненты одного тензора — ковариантной производной вектора а. Это можно доказать на основании формулы (1.74). Но фактическое проведение вычислений требует установления правил абсолютного дифференцирования тензоров более высокого ранга, чем первый. [c.386]

Операцию ковариантного дифференцирования можно применить также и к тензорным полям более высокого ранга. Рассмотрим, например, тензорное поле ранга 2 с контравариантными компонентами Поскольку каждый индекс отдельно преобразуется по тому же правилу, что и вектор, величины [c.239]

Рассмотрим вопрос о ковариантном дифференцировании в в том случае, когда вектор задан не контравариантными, а ковариантными компонентами. Пусть [c.82]

Решение. При произвольном (не ортогональном) преобразовании координат надо различать ко нтра- и ковариантные компоненты векторов и тензоров первые преобразуются к к сами координаты х (их принято обозначать с верхними индексами), а второе — как операторы дифференцирования д/дх (их обозначают с нижними индексами). Скаляр (10,1) надо записывать при этом как [c.58]

Отмстим, что операция ковариантного дифференцирования введена для компонент вектора и тензоров. Салт же тензоры (векторы) являются инвариантными (не зависящими от выбора системы координат) величинами (без индексов). Для них ковариантная производная совпадает с обычной частной производной. Поэтому [c.178]

Таким образом, координатные векторы, компоненты метрического и дискриминантного тензоров при ковариантном дифференцировании можно считать постоянньпли. Заметим, что операция ко-вариантного дифференцирования введена для компонент векторов и тензоров. Сами же тензоры (векторы) являются инвариантными (не зависящими от выбора системы координат) величинами (без индексов). Для них ковариантная производная совпадает с обычной производной. [c.14]

Таким образом, координатные векторы, компоненты метрического и дискриминантного тензоров при ковариантном дифференцировании можно считать постоянными. Кроме того, как нетрудно видеть, на ковариантное дифференцирование распространяется правило обычного дифференцирования произведения. Отметим, что операция ковариантного диф( ренцирования введена для компонент вектора и тензоров. Сами же векторы и тензоры являются ин- [c.87]

Проведение вычислений над тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной структуры. Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) обусловлено прису-Ш.ИМИ ему свойствами оно определяется с помош,ью набла-оператора — в символической записи й ( ) = йг-у ( ) Иначе обстоит дело с компонентами, их изменение зависит еш,е от внесенного в рассмотрение базиса. Например, пусть а—постоянный вектор, йа = 0, но а или а вовсе не постоянны вследствие изменяемости базиса. Обратно, при постоянных компонентах вектор а не остается неизменным по величине и направлению. Требуется поэтому ввести в рассмотрение характеристики изменяемости тензора, сочетаюш,ие учет изменяемости как его компонент, так и базиса, к которому они отнесены. Это достигается операцией ковариантного ( абсолютного ) дифференцирования. [c.472]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...