Точки гиперболы - Построение

Из фокусов, как из центров, проводим дуги окружностей соответственно радиусами г и 2а + г. Точки их пересечения являются точками гиперболы, так как разность расстояний от каждой точки до фокусов равна 2а и есть величина постоянная. Изменяя г и повторяя построения, получаем новые точки гиперболы. [c.153]

Гипербола имеет симметричные ветви g2 и g 2. Точки Аг и А т называют вершинами гиперболы, прямую ( 2) - мнимой осью, прямую д(я2) - действительной осью. Прямые а(й2) и Щ2) называют асимптотами. Для построения точек гиперболы можно поступить так [c.146]

На этом свойстве точек гиперболы, называемом фокальным, основано построение гиперболы, когда заданы ее действительная ось и фокусы. [c.67]

Гипербола имеет симметричные ветви g2 и gS. Точки А2 и AS называют вершинами гиперболы, прямую i(i2) - мнимой осью, прямую q(q2) - действительной осью. Прямые а а2) и b b2) называют асимптотами. Для построения точек гиперболы можно поступить так [c.166]

Фиг. 23. Построение точек гиперболы.

Построение точек гиперболы. имеющей данные асимптоты и проходящей через данную точку М через эту точку М проводят всевозможные прямые, на которых от точек пересечения с асимптотой (любой) откладывают отрезки А М, равные геометрическое место точек Ml есть гипербола (фиг. 23). [c.245]

В технике часто применяется равнобокая гипербола (рис. 31). Данными для построения ее являются оси Ох и Оу и точка Ы гиперболы. Через точку IV проводят АВ и D, параллельные соответственно осям Оу и Ох. На прямой АВ наносят ряд произвольных точек I, 2, 3,. .. и т. д. и проводят через них прямые, параллельные оси Ох. Через эти же точки и точку О проводят ряд лучей до пересечения с прямой D. Из полученных точек пересечения Ки Ki,. .. проводят прямые, параллельные оси Оу. В пересечении этих прямых с прямыми, проведенными из точек 1, 2, 3,. .. параллельно оси Ох, получают искомые точки гиперболы, которые соединяют по лекалу. [c.357]

Для построения местного вида Б проводят параллельно f/Bff прямую а, на которую из точек Сн и Вя опускают перпендикуляры, отмечающие в пересечении с ней точки Сц и Из Afj опускают на прямую а перпендикуляр, на котором откладывают высоту точки А, определяющую Л д. Аналогично получают остальные точки гиперболы. [c.148]

Во втором упражнении варианта И ветви гиперболы заданы своими вершинами и фокусным расстоянием FF-. Способ построения гип болы в этом случае заключается в следующем (рис. 33). Левее фокуса F наносят точки 1, 2, 3, 4, постепенно увеличивая расстояния между ними. В качестве первого радиуса R берут расстояние и из центра F проводят часть окружности. В качестве второго радиуса Ri берут расстояние Лх 7 и из центра F делают засечки на первой окружности в пересечении получают две точки гиперболы / и /. Для получения точек // и II в качестве радиусов используют отрезки А2 и Ai2 центрами дуг засечек по-прежнему служат фокусы F п F я т. д. Справедливость построения вытекает из того, что разность радиусов равна расстоянию между вершинами гиперболы ЛЛ1. Вторую ветвь гиперболы строят таким же способом или как кривую, симметричную первой относительно мнимой оси. [c.38]

На рис. 416 дана ) фронтальная проекция двух цилиндров вращения (Ц1 и Ц2) разных диаметров. Точка о — фронтальная проекция точки пересечения осей цилиндров. Фронтальная проекция получаемой биквадратной кривой представляет собою равностороннюю гиперболу (одну ее ветвь) с центром в точке о. Для построения применены сферы с общим центром в точке пересечения осей цилиндров. Сфера (Сф. /), вписанная в цилиндр большего диаметра, позволяет найти точку / — вершину гиперболы ). Сферы с большим радиусом дают другие точки искомой проекции кривой (например, сфера Сф. 2, точка ЗУ, если при этом радиус больше отрезка о 2, то получаются точки (например, 4) вне общей площади проекций обоих цилиндров. [c.289]

Проведя биссектрису угла между асимптотами, получаем действительную ось гиперболы на этой оси должна быть вершина —точка I. Чтобы ее найти, выполняем следующее построение взяв какую-нибудь точку гиперболы, например 1, проводим через нее перпендикуляр к мнимой оси гиперболы и отмечаем точки 9 и 0, в которых этот перпендикуляр пересекает мнимую ось и асимптоту далее проводим радиусом 9—41 дугу, засекая ею в точке 11 перпендикуляр, проведенный из точки 10 к прямой 9— 1- Полученный отрезок 10—11 выражает расстояние от о до /, т. е- до вершины гиперболы — действительную ее полуось. [c.289]

Построение фронтальной проекции кривой пересечения конической и цилиндрической поверхностей на рис. 432 могло бы быть выполнено, как это, например, показано на рис. 419, т. е. при помощи сфер с центром в точке С. После построения гиперболы можно построить горизонтальную проекцию кривой при помощи образующих цилиндра например, образующая, на которой находится точка Е, определяется отрезком /1. [c.302]

Первый способ построения. Дано положение фокусов /= и и одна из точек гиперболы Р. Отрезок РРх делится пополам, и от его середины О откладываются в обе стороны отрезки ОА и ОВ, равные разности [c.105]

На рис. 103 штанга пересечена фронтальными плоскостями а и S. Штанга состоит из четырех поверхностей призматической I, шаровой II, конической III и цилиндрической IV. Фронтальная проекция линии среза штанги получена в результате пересечения шаровой и конической поверхностей фронтальными секущими плоскостями а и б, проходящими через боковые грани призматической поверхности. Линия сечения состоит из дуг окружностей радиуса R , обозначенных на фронтальной проекции 2 2 и и гиперболы, обозначенной Построение точек, принадлежащих линии среза, производят аналогично построению, приведенному на рис. 102. [c.98]

Гипербола. В практике построение точек гиперболы нужно, главным образом, для шаблонов, служащих в дальнейшем основой разметки пересечений поверхностей вращения. [c.94]

Часто в черчении приходится строить гиперболу, у которой асимптоты взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов между действительной и мнимой осями. Чтобы в этом случае вычертить гиперболу, должна быть задана одна из ее точек, например А (рис. 50,г). Построение других точек гиперболы видно из чертежа. Точки 1, 2, 3, 4, расположенные на вертикальной прямой, взяты произвольно. [c.35]

Секущая плоскость, параллельная двум образующим конуса, пересекает коническую поверхность по гиперболе. При этом секущая плоскость может быть наклонена к оси конуса или быть параллельной ей (рис. 261, а). В данном примере горизонтальная и профильная проекции фигуры сечения — отрезки Ьс и а"Ь", так как секущая плоскость Р перпендикулярна плоскостям Н и W. На фронтальной проекции сначала строят точки А (вершину), В я С, которые получают без вспомогательных линий. Фронтальные проекции остальных точек гиперболы строят с помощью вспомогательных окружностей (см. построение точек / и 2 на рис. 261, б). [c.145]

На виде слева отмечаем точки 11" и 12" (точки пересечения профильных проекций образующих конуса и граней призмы), через которые проводим горизонтальную линию (след горизонтальной плоскости), определяющую положение вершин гипербол. Если построение нужно вести без третьей проекции (вида слева), то положение вершин гипербол можно определить по варианту II (точке 13). [c.175]

Приняв диаметр производящей окружности равным 30 мм, при помощи координаты х (-16) находим точку А циклоиды. Построение циклоиды рассматривается в разделе 1.2, рис. 29. Точку В циклоиды найден, воспользовавшись координатой у (+21). Участок кулачка, ограниченный циклоидой (дуга АВ) построен. Перейдем к построению гиперболы (дуга СБ). [c.200]

Указание. Для доказательства утверждения б) использовать построение точек гиперболы, которое следует из приложения 14. [c.18]

Натуральный вид гиперболы. Для построения натурального вида гиперболы совместим секущую плоскость ср с плоскостью основания конуса, повернув ее около ср (вращение около горизонтали). Для этого в точках 2 , 3, и 4у проведем прямые, перпендикулярные ср,, и отложим на них высоты точек 2, 3 и 4, взяв их размеры с фронтальной проекции. Концы этих высот (точки 2, 3 и 4) представляют собой совмещенное положение точек 2, 3 и 4. [c.258]

Укажем способ построения гиперболы по точкам, исходя из ее определения и канонического уравнения. В заданном масштабе величины а и Ь полуосей гиперболы представим отрезками на осях координат (рис. 229). Из точки О, как из центра, радиусом а про- [c.153]

Для построения горизонтальной проекции ветвей гиперболы воспользуемся горизонтальной проекцией s точки ss, которая является одним из фокусов гиперболы-проекции. Пользуясь этой точкой и действительной осью 2а, находим асимптоты гиперболы-проекции, а затем известным способом строим необходимое количество ее точек. [c.216]

На рис. 450 показано построение центров кривизны гиперболы в заданных ее точках. [c.323]

Центр кривизны гиперболы в ее вершине А определяется как точка пересечения с действительной осью перпендикуляра, восставленного в точке / к диагонали OI прямоугольника, построенного на осях гиперболы (к асимптоте). [c.324]

Известны различные графические способы построения гиперболы в зависимости от ее задания по заданным ее фокусам и вершине по заданным асимптотам и одной ее точке и др. [c.26]

Построение гиперболы по заданным ее вершинам А и и фокусам F а (рис. 15, б). Проводим две взаимно перпендикулярные прямые и отмечаем на них заданные точки. Откладываем от одного из фокусов, например F , на оси FF произвольные отрезки и получаем точки /, 2, 5,. .. Из фокусов F и F проводим [c.26]

Опорные точки / и 5 находятся без дополнительных построений. Опорная точка 3—вершина гиперболы. Для нахождения этой точки необходимо провести такую секущую плоскость Pj, которая пересекала бы заданную поверхность по окружности, касательной к заданной секущей плоскости Ф. На чертеже положение фронтальной проекции Рз" этой плоскости определяется после построения профильной проекции окружности пересечения. [c.71]

Построение гиперболы по заданным фокусам F а Fi (рис. 3.67). От середины фокусного расстояния FFi (точки О) в обе стороны откладывают произвольные равные отрезки, определяющие вершины гиперболы А и (а). Влево от точки F на действительной оси намечают произвольные точки 1, 2, 3,. .. так, чтобы расстояния [c.52]

Отрицательным моментом в построениях, показанных на рис. 238, б и в, является необходимость пользоваться кривой это снижает точность определения поло-> ения точек УИ и Л/. Но и в случае использования гиперболоида вращения приходится строить по крайней мере одну ветвь гиперболы, т. е. опять кривую. Это также снижает качество такого приема решения разобранной задачи [c.196]

Укажем другой способ построения точек гиперболы. Пусть гипербола задана своими полуосями а и Ь (рис. 230). По заданным полуосям строим асимпто ы гиперболы и определяем ее вершины. [c.153]

Дополнительный вид Е изображает натуральную величину сечения. Для построения вида Е проводят параллельно СнВн прямую а, на которую из точек Сн и Вн опускают перпендикуляры, отмечающие в пересечении с ней точки Со и Во- Из Лопускают на прямую а перпендикуляр, на котором откладывают высоту точ-киЛ, определяющую Лц-Аналогично получают остальные точки гиперболы. [c.103]

Как указано в предыдущем примере, вертикальной проекцией линии пересечения цилиндров будет гипербола. Асимптоты ее взаимно перпендикулярны. Центр гиперболы — точка О пересечения проекций осей цилиндров. Имея точки 5 и /[, ось гиперболы ОУ и построив ее асимптоты, найдем, как на фиг. 27, г, отрезок СхСг- Отложив его от точки О вверх, найдем вершину А гиперболы. Дальнейшее построение ее точек, например точки О (построенной при помощи точек иЬ ), проведено в соответствии с построением на фиг. 27, г. [c.119]

Построение. Проведя нормаль СО (фиг. 20) в точке С кривоЛ (построение касательной см. стр. 132), соединяем С с фокусом проводим затем ОН 1 ОС, НК СН, найдем точку Л — центр круга кривизны. Для вершины А эллипса и гиперболы [c.130]

Рассмотрим построение диметрической проекции прямого кругового конуса, усеченного плоскостью по гиперболе (рис. 263, а). Построив оси диметрической проекции, чертят овал, заменяющий проекцию основания конуса (рис. 263, б). Построение диметрической проекции фигуры сечения начинают с ее нижней хорды АВ. На оси Ур откладывают отрезок Ор1р = Уа,в12 и через точку ]р проводят прямую, параллельную оси Хр, до пересечения ее с овалом в точках Ар и Вр. Далее через точку 1р проводят прямую, параллельную оси 1р, откладывают на ней отрезок 1рСр = к (рис. 263, в) и получают диметрическую проекцию вершины гиперболы С. Диметрические проекции промежуточных точек гиперболы строят с помощью ее хорд. Отрезки Гс и 1рСр делят на одинаковые части и через точки деления проводят прямые, параллельные соответственно осям X и Хр. Затем замеряют длину фронтальной проекции хорды, например 2—3 (отрезок 2 —3 ) и, отложив ее на соответствующей прямой диметрической проекции, получают точ- [c.147]

Построение лшши среза. Для построения линии среза, показанной на рис. 47, сначала находят опорную точку А, принадлежащую окружности, точку Д —гиперболе, точку, расположенную на границе сферы и тора и точку D — принадлежащую цилиндру и Korfy y. [c.57]

Как и ранее, вначале определяют проекции очевидных /, 7 и характерных 4, 10 гочек линии пересечения. Для определения промежуючных ючек прежде всего выбирают b homoi а ельные, взаимно параллельные секущие плоскости. Если взять в качестве вспомогательных плоскостей фронтальные или профильные плоскости, то они пересеку конус по гиперболам, а не по простым линиям, как ipe-буется для построения. Следовательно, гакие плоскости неудобны. Если взять в качестве вспомогательных горизонтальные плоскости Р, ю они буду г пересекать конус по окружностям, а цилиндр -по образующим. Та и другая линия являются простыми. Искомые точки находят на пересечении образующих с окружностями. [c.110]

На рис. 450 показан также и второй способ построения центра кривизны Ко. Для этого строится прямоугольный треугольник EUKo, гипотенуза которого параллельна действительной оси гиперболы, а катет EU пересекается в точке U с диаметром ОК. [c.324]

Плоскость Pj пересекает (рис. 246, в) коническую поверхность по гиперболе S- J—4—9, цилиндрическую — по образующим, проходящим через точки 5 и Р, поверхность кругового кольца — по кривой 3—7—8 и сферу — по окружности ра-дйуса R=0 I. Линии, образуемые на поверхности тела секущей плоскостью Pi, такие же, как от плоскости Р , и на рис. 246, в их проекции совпадают с построенными, так как плоскости Я] и Р, параллельны и отстоят на равные расстояния от плоскости симметрии заданного тела. [c.200]

Но если взять точку О, так, чтобы О,а—0 1, или точку 0 так, чтобы О а—О З, то в положениях / и 3 точка а окажется на окружности радиуса R. Взяв оси, прохог дящие через точки О, и 0 перпендикулярно к пл. Н, мы можем решить задачу о введении точки А на заданную поверхность вращения. Легко видеть, что решение смодится к построению гиперболы, у которой фокусами служат точки а и с, а вершинами — точки О, и О3. Эта гипербола определяет область (на рис. 270, б она заштрихована), в которой любая точка может быть припя1а за горизонт, проекцию оси, при повороте вокруг которой точка А окажется в двух положениях на данной [c.225]

В начертательной ( еомег рии кривые л и-н и и изучаются по их проекциям. Построение проекций линий существенно ) i-висит прежде всего от того, принадлежат ли все точки данной кривой одной плоскости или пет. Если все точки кривой расположены в одной плоскости, то такая кривая называется плоско й. Примером плоских кривых являются окружность, зллинс, парабола, гипербола, циклоида и др. [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...