Диференциальные Лапласа

Преобразование Лапласа оказывается полезным при решении линейных диференциальных уравнений в обыкновенных и в частных производных, при решении интегральных уравнений Вольтерра с ядром специального вида и в других случаях. [c.233]

V — оператор Лапласа или диференциальный параметр 2-го порядка от t. [c.488]

Метод аналогии. При этом методе используется совпадение законов (диференциальное уравнение Лапласа) распределения по точкам [c.272]

Лагранж, теорема — 89 Лагранжево представление 66 Лаплас, диференциальное уравнение — 140 [c.222]

Символ у называется диференциальным оператором Лапласа и в декартовых координатах выражается так [c.213]

Теперь, когда гидродинамика движения жидкости в пористой среде была сформулирована в целом в виде диференциальных уравнений в частных производных для давления или плотности, необходимо разработать способы их решения. Поэтому представляется интересным заметить, что уравнение Лапласа, которому подчиняются все случаи установившегося течения, уже хорошо известно в остальных разделах физики, например, теории установившейся теплопроводности, электростатике и электрического тока. Так как при изучении последних областей науки многие проблемы уже были решены, эти решения можно перенести и приложить к проблеме течения жидкости в пористой среде, если только мы будем знать, как произвести переход и интерпретацию интересующих нас количеств от одного предмета науки к другому. Поэтому была показана внешняя аналогия, относящаяся к количественным значениям температуры, напряжения, тока, диэлектрической постоянной и т. д., с соответственными понятиями в нашей гидродинамической системе (гл. III, п. 6). Наконец, предусматривая, что некоторые из интересующих нас проблем обладают специфическими формами симметрии, уравнение Лапласа было представлено в иных системах координат, где определенные виды симметрии найдут себе более яркое выражение, чем в декартовой системе координат (гл. III, п. 7). [c.127]

Менее совершенной методикой решения задач течения, которое с трудом подвергается точному анализу, является построение графическим путем распределения потенциала и линии тока. Сетки такого распределения могут быть получены с последовательно возрастающей точностью, следуя определенным правилам их построения, вытекающим из решения диференциальных уравнений. Когда такое графическое интегрирование уравнения Лапласа будет представлено в виде квадратной сетки эквипотенциальных линий и линий тока, то расход в системе на единицу падения величины потенциала будет представлен отношением числа квадратов, лежащих между двумя соседними эквипотенциальными линиями, простирающимися от одной граничной поверхности линии тока к другой, к числу квадратов, лежащих между двумя соседними линиями тока, простирающимися между контурами высокого и низкого потенциала [уравнение (9), гл. IV п. 17]. [c.213]

Для решения задач течения можно применить строго численные способы. Последние базируются на замене диференциального уравнения Лапласа в частных производных соответственным разностным уравнением [уравнение (10), гл. IV п. 17]. Последнее [(И), гл. IV, п. 17] можно решить в принципе алгебраическим путем. Для получения решения этого уравнения строго повторяющимися численными операциями была разработана методика, которая дает последовательно возрастающие по точности значения для потенциала в вершинах квадратной решетки, покрывающей внутренность системы потока. Наконец, можно совершенно избежать всех аналитических операций и изучать специфические проблемы течения с помощью экспериментов на моделях. Обычно пользуются экспериментами на песчаных моделях, чтобы дать непосредственную картину условий течения в отдельных случаях, но в действительности эти модели представляют собой лишь репродукции фактических течений в уменьшенном масштабе. Вряд ли можно считать, что эти опыты представляют собой приложение основных зако- [c.213]

Введение. Рассмотрение различных проблем течения жидкости, которые были развиты нами во второй части настоящей работы, основывалось на допущении, что течения были все время установившимися или же проходили через непрерывный ряд установившихся состояний . Время, даже когда оно входило в наше рассмотрение, играло скорее роль параметра, чем независимой переменной, и соверщенно не встречалось в основном диференциальном уравнении Лапласа для распределения потенциала или давления. Вся аналитическая процедура проводилась до сих пор с совершенно точным допущением граничных условий, независимых от времени. Однако при этом подразумевалось, что если граничные условия изменяются во времени, то будет изменяться также распределение потенциала. Вместе с тем изменения его будут таковы, что каждое мгновенное состояние его будет распределением установившегося состояния, присвоенное соответствующим мгновенным значениям граничных условий (гл. III, п. 4). [c.513]

Действительная и мнимая части аналитической функции комплексного переменного как решения диференциальног< уравнения Лапласа. Рассмотрим теперь явления плоского, или двухразмерного, движения жидкости. Хотя такие движения в строгой форме едва ли встречаются в действительности, тем не менее многие движения жидкости—по крайней мере определенные области движения — могут рассматриваться приближенно, именно как плоские. Главное преимущество такого представления о течениях заключается в упрощении математического исследования. Однако это упрощение обусловливается не уменьшением числа независимых переменных места (такое упрощение возможно и в отнощении трехразмерных движений, симметричных относительно оси вращения), а тем, что, поскольку плоское явление зависит только от двух прямоугольных координат х, > ), диференциальное уравнение v aIrлa a удовлетворяется как действительной, так и мнимой частью любой аналитической функции комплексного аргумента х- 1у. [c.139]

Из этих так называемых диференциальных уравнений Коши-Римана, вытекающих непосредственно из предположения, что Ф и суть действительная и мнимая части аналитической функции комплексного переменного х- -1у, могут быть получепы вторичным частным диференциро-ванием по х и у опять диференциальные уравнения Лапласа. [c.140]

Т. о. вектор JE направлен перпендикулярно к поверхностям уровня (поверхностям постоянного значения П. F) в сторону убывания П. и равен по абсолютной величине-возрастанию П. при перемещении на единицу длины вдоль силовой линии. Электрич. поле характеризуется не абсолютным значением П., а разностью П. Поэтому неверно утверждение, все еще встречающееся иногда, будто П. служит мерою электрич. состояния тела. В частности расхождение листочков элегстроскопа зависит не от П.,. сообщаемого листочкам, а от разности П. между листочками и стенками электроскопа. Вычисление П. имеет большое значение для графического и аналитического определения поля. В электростатич. поле П. удовлетворяет диференциальному ур-ию Лапласа [c.235]

В первоначальном методе Лапласа неудобно вычислять приближения кроме первого, но метод диференциальных поправок, предложенный Гарцером и упрощенный Лейшнером, оказался вполне удовлетворительным на практике. [c.232]

Первые общие теоремы касаются движения центра массы н были даны Ньютоном в Началах . Десять интегралов н теоремы, к которым онн приводят, были известны Эйлеру. Следующим общим резуль ятом было доказательство существования и рассмотрение свойств неизменной плоскости Лапласом в 1784 г. В зимнем семестре 1842 4i г. Якоби прочел курс лекций по дишмнке в Кенигсбергском университете. В этом курсе он привел результаты некоторых очень важных исследований интегрирования диференциальных уравнений механики. Во всех случаях, когда силы завися г от одних координат и когда существует потенциальная функция (условия, выполненные в задаче я тел), он доказал, что если все интегралы, кроме двух, найдены, то последние два могут быть всегда найдены. Он также показал, развивая некоторые исследования В. Гамильтона, что задача может быть приведена к решению диференциального уравнения с частными производными, порядок которого в два ряза меньше порядка первоначальной системы. Лекции Якоби опубликованы в дополнительном томе к собранию его сочинени.1. Они очень важны сами по себе, а также абсолютно необходимы как вступление к чтению составивших эпоху мемуаров Пуанкаре и должны быть доступны для каждого изучающего небесную механику. [c.246]

Эти основные диференциальные уравнения мы примем как основу для решения разнообразных проблем течения в [ ористой среде, имеющих промышленное значение. Следует тут же заметить, что для несжимаемых жидкостей отпадает изменчивость во времени, так что в системе не может быть переходного или неустановившегося состояния, если только граничные условия не изменяются во времени. Давление подчиняется так называемому уравнению Лапласа , которое встречается также в других разделах физики 1. [c.117]

Однако более простым и поучительным является применение бесселевых функций 2 для рассмотрения задач о потенциалах с осевой симметрией. В то же самое время мы остановимся на основных положениях одного из наиболее современных методов классического рещения диференциальных уравнений в частных производных математической физики, а именно методе разделения переменных. Этот метод обеспечивает систематическую процедуру при выводе элементарных рещений уравнения Лапласа, так как применявщиеся до сих пор элементарные решения уравнения Лапласа, как 1п г (гл. IV, п. 2), п в (гл. IV, п. 5), / (X + iy) (гл. IV, п. 8) 1/г (гл. V, п. 2) и (гл. VII, п. 4) при построении распределения давления или [c.355]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...