Ван Хова модель

В гл. 7 мы рассматривали простую модель теплового движения атомов Эйнштейна как пример использования обобщенной функции Паттерсона в соответствии с работой ван Хове [382 ]. Теперь используем тот же метод для несколько более конкретного рассмотрения атомных колебаний в кристалле, определяющих наиболее общие и важные возбуждения. [c.256]

Мы начнем с рассмотрения математических аспектов обычных квантовых теорий поля, без которого идти дальше вряд ли имело бы смысл. Затем мы подробно проанализируем типичный пример — модель Ван Хова. Это позволит нам показать, как работает обычный формализм, указать его математические ограничения и те физические следствия, к которым они приводят. Некоторые замечания о модели Бардина — Купера — Шриффера, типичной модели статистической механики, существенно расширят область применимости наших выводов в физике. Завершается параграф кратким перечислением тех областей физики, в которых новый подход, насколько можно судить по двум рассмотренным нами типичным примерам, может оказаться полезным. [c.12]

Прообраз квантовой теории поля — модель Ван Хова [c.30]

Мы уже в достаточной мере ознакомились с формализмом пространства Фока для свободных полей, чтобы понять, почему этот формализм недостаточен для общего описания взаимодействующих полей. Одним из наиболее простых и поразительных примеров, подтверждающих правильность этого утверждения, служит. модель Ван Хова. [c.30]

Модель Ван Хова — своеобразная карикатура на ядерное взаимодействие, нарисованная так, чтобы подчеркнуть влияние нуклонов на мезонное поле. Именно, в модели Ван Хова рассматривается нейтральное скалярное мезонное поле, взаимодействующее с классическими источниками (последние имитируют лишенные отдачи нуклоны). Такое умаление роли нуклонов (то обстоятельство, что их энергия не зависит от импульса) — одно из наиболее существенных упрощений, обеспечивающих разрешимость в модели Ван Хова, [c.30]

Типичным примером может служить модель Ван Хова. В пределе при р(к)->-1 полный гамильтониан Я(р(к) = 1) нельзя интерпретировать как оператор, действующий в пространстве Фока. Но (в этом и проявляется преимущество алгебраической формулировки модели) предел отображения а<(р), определенного нами выще, при р(к)->-1 существует в том смысле, что оператор = + — , р,)/, где р,(к) = 1, является вполне определенным элементом алгебры Я, поскольку условие существования предела сводится к неравенству [c.39]

Чтобы завершить рассмотрение модели Ван Хова, мы перечислим без доказательств несколько более или менее прямых следствий развитой нами теории и попытаемся хотя бы в общих чертах оценить полученные результаты. [c.42]

К термодинамическому пределу это приводит к трудностям того же типа, с которыми мы встретились при рассмотрении претендентов на роль вакуума в модели Ван Хова. Кроме того, имеется еще одно новое осложнение То—основное состояние гамильтониана — не обладает калибровочной инвариантностью. Это лишь несколько смягченная формулировка того довольно неприятного обстоятельства, которое можно встретить в литературе в виде утверждения о том, что при любой температуре вакуум, или основное состояние, гамильтониана в модели БКШ бесконечно (и непрерывно) вырожден. [c.47]

Модели, рассмотренные нами в двух предыдущих пунктах, разумеется, отражают физическую реальность в чересчур упрощенном виде. Так, модель Ван Хова не описывает реально происходящее рассеяние (равенство 3=1 физически обусловлено тем, что источники не испытывают отдачи), а модель БКШ представляет собой не что иное, как частный случай, к которому применим метод молекулярного поля (особенность модели БКШ состоит в том, что теория типа теории Вейсса развита не в х-пространстве, а в -пространстве). Поэтому названные модели могут служить лишь примерами, иллюстрирующими те трудности, с которыми мы сталкиваемся в квантовой теории поля и статистической механике. Их ценность в том, что мы заведомо знаем, как и почему не срабатывает применяемый к ним обычный формализм, поскольку и модель Ван Хова, и модель БКШ обеспечивают полную разрешимость в рамках соответствующего формализма. Правда, если мы найдем способ исцелить болезни , обнаруживаемые указанными моделями, это еще не будет означать, что мы нашли универсальный метод. Но мы сможем лучше защитить свой метод (чем и займемся в следующем параграфе), если к тому же покажем, что он основан на некоторых общих принципах, а исцеление с его помощью моделей Ван Хова и БКШ — это лишь пример того, что предлагаемый метод дает в упрощенной ситуации, когда еще не рассматриваются трудные случаи . [c.48]

Это соотношение мы уже встречали, приступая к рассмотрению свободного бозе-газа (гл. 2, 1, п. 3). Отметим также, что на пространстве ( с можно вводить неэквивалентные нормы и при этом получать различные отображения ф(/), а следовательно, и неэквивалентные представления в пространстве Фока, которые зависят от выбора нормы в пространстве ё с- Последнее замечание имеет прямое отнощение к некоторым странным явлениям , обнаруженным при рассмотрении модели Ван Хова в гл. 1, 1. [c.311]

Условие, определяющее пространство не только играет важную роль при установлении общей всюду плотной области определения операторов а (/) и а (/) при любой функции f е но и позволяет сделать следующий интересный вывод, которым мы тут же воспользуемся, чтобы лучше разобраться в ситуации, возникшей в случае модели Ван Хова (гл. 1, 1) отображение /- (/), действующее из в 8(0 <Жу), непрерывно, если пространство [ ] снабжено топологией, ассоциированной с нормой / (п ( ) + 1) I/у Р, а пространство 23(0 5 у) снабжено своей сильной операторной топологией. [c.341]

В модели Ван Хова (следствия ультрафиолетовой расходимости ). В частности, утверждения, сделанные на стр. 42 и 43, теперь должны казаться совершенно естественными. Кстати заметим, что дикие представления, найденные Фридрихсом [124] в связи с появлением инфракрасных расходимостей, имеют то же происхождение, а именно обусловлены расходимостью выражения Е ( г( ) + 1) I Ху Р- Во-вторых, из сказанного выше вытекает [c.343]

Ван-Хову удалось определить также аналитическир вид функции (ш) в окрестности особенности. Заметим, что вычисление расположения особенностей доставляет нам весьма чувствительный способ проверки модели межатомных сил, принятой для данного твердого тела. [c.73]

На различных уровнях математической строгости и физического анализа эту модель исследовали Ван Хов [422, 423], Фридрихе [124, часть П1], Швебер [354], Като [230], Кук [59, Сигал [360, гл. V там же приведена библиография], Гринберг и Швебер [144] и Генэн и Вело [153]. Роль модели Ван Хова как прообраза квантовой теории поля можно проследить до учебника Вентцеля [443, 7], а ее физическое обоснование — до теории ядерных сил Юкавы [465]. Отметим также, что существуют сильные аналогии между методом Ван Хова и методом, использованным Блохом и Нордсиком [34] при рассмотрении инфракрасных расходимостей в квантовой электродинамике. [c.30]

Таким образом, модель Ван Хова приводит нас к выводу о том, что при рассмотрении некой физической задачи может возникнуть довольно богатый набор неэквивалентных представлений канонических перестановочных соотношений. Это — новое явление, характерное для систем с бесконечным числом степеней свободы. Оно находится в резком противоречии с результатами фон Неймана [435] (см. также работу Йордана и Вигнера [199]), доказавшего существование лишь одного неприводимого представления КАС и КПС для случая, когда пространство пробных функций конечножрно. Пока мы лишь отметим это, а более подробно остановимся на столь фундаментальном аспекте теории в гл. 3. [c.42]

Ценность алгебраического подхода подтверждается также достигнутыми им успехами, позволившими существенно расширить общность некоторых замечаний, сделанных относительно моделей Ван Хова и БКШ. Например, в п. 5 мы видели, что при снятии обрезания с взаимодействия из пространства Фока свободного поля исчезает физический вакуум, и это обстоятельство позволяет строить новое представление взаимодействующих полей. Подобная ситуация свойственна не только модели Ван Хова, а встречается также в конструктивных теориях поля Глимма и Джаффе. В п. 6 мы видели, что в модели БКШ вырождение основного состояния связано со спонтанным нарушением калибровочной симметрии. Это обстоятельство наводит на мысль об использовании алгебраического подхода к решению общей проблемы спонтанного нарушения симметрии, и, действительно, в указанном направлении удалось достичь известных успехов. Алгебраический подход позволил также продвинуть решение родственной проблемы — добиться более глубокого понимания механизма фазовых переходов. Различные алгебраические методы успешно использовались при решении многих задач классической и квантовой статистической механики от эргодической теории до исследования конденсации Бозе — Эйнштейна и интерпретации данных по спонтанному намагничению в модели Изинга и способствовали выяснению того, как система приближается к равновесному состоянию. Из других областей физики следовало бы упомянуть исследование оптической когерентности (методом пространства Баргмана). Алгебраический подход позволяет понять, где именно и в каком направлении формализм Баргмана выходит за пределы обычного формализма пространства Фока. [c.49]

Однако их усилия оказали весьма незначительное влияние (а то и вовсе не повлияли) на быстро развивавшуюся формальную теорию, достигшую своего наивысшего расцвета при разработке ныне общепринятого варианта квантовой электродинамики. Как известно, эта теория, несмотря на достигнутые ею успехи, свидетельствующие о том, что она содержит по крайней мере какую-то долю истины, при дальнейшем развитии наталкивается на принципиальные трудности. Преодолеть их пока что удавалось лишь с помощью тех или иных формальных искусственных приемов, сущность которых была наглядно продемонстрирована на модели Ван Хова 1). Математические трудности релятивистской квантовой теории поля впоследствии были тщательно проанализированы в аксиоматике Уайтмана. Но со временем и эта попытка создания адекватного математического языка стала приводить ко все более сложным проблемам и в известном смысле обрела дурную репутацию у многих физиков, которые не могли не испытать чувства разочарования при виде сложных математических построений, так и не увенчавшихся созданием последовательной квантовой релятивистской теории взаимодействующих полей. [c.50]

Как уже указывалось в гл. 1, 1, когда речь шла о конкретной модели Ван Хова, и как было четко показано в статье Хаага, единственный выход из создавшегося затруднительного положения — признать физическую значимость унитарно-неэквивалентных (неприводимых) представлений КПС. В п. 6 мы покажем, что такие представления действительно существуют и даже встречаются в изобилии. Еще раз подчеркнем — все это резко отличается от того, что говорилось в п. 2. Действительно, мы показали там, что все неприводимые представления КПС для системы с конечным числом степеней свободы унитарноэквивалентны. Можно задать вопрос почему же для таких систем какая-нибудь теорема, аналогичная теореме Хаага, не воспрепятствовала развитию обычной теории рассеяния Дело, по-видимому, в том, что по крайней мере одно из предположений теоремы Хаага специфично для теорий поля и перестает быть верным при переходе к любой системе с конечным числом степеней свободы. Именно такая ситуация наблюдается во всех доказательствах теоремы Хаага, и в заключение данного пункта мы хотим указать на предположение подобного рода в приведенном нами доказательстве. Предположим, что пространство Ж конечномерно и // у=1, 2,. .., п — ортонор- [c.323]

Эти соотношения задают псевдоканоническов преобразование, которое связывает свободные и интерполирующие поля в модели Ван Хова. Такое преобразование представляет тем больший интерес, что мы не указали еще вида функций % /) и не ограничили исходного представления пространством Фока. Таким образом, мы получили новое неприводимое представление 1 (/) / [c.341]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...