Периодическое решение вырожденное

Переменные действие-угол 51 Периодическое решение вырожден- ное 71, 89 [c.168]

Эту задачу в простейшем (планетном) случае можно решить классическим методом, предложенным Пуанкаре. Единственно,что нужно сюда добавить—это соответствующее условие периодичности вместо классического условия возвращения точки в начальное состояние через интервал времени 7 > 0. Такая замена необходима, потому что классическое условие, будучи примененным к семейству периодических решений уравнения (1), полученных на основании X (/), приводит к вырожденному случаю даже после применения интеграла Якоби. Эту трудность можно обойти, использовав следующие условия для решения [c.95]

Пусть — отображение за период i = 2тг возмущенной системы. Точка С, G — периодическая точка д периода т N, если д ( = = Периодические точки, и только они, являются начальными значениями (при t = 0) для периодических решений гамильтоновой системы. Если т — период точки (, то 2пт—период решения t z t, ), (Oi ) = С- Периодическая точка ( называется невырожденной, если собственные значения отображения z — g z, линеаризованного в окрестности точки (, отличны от единицы. Ясно, что некритические ограниченные линии уровня функции Но составлены сплошь либо из вырожденных периодических, либо из непериодических точек отображения до- [c.294]

Для периодических решений первого, второго и третьего сорта, так же как п для периодических решений второго рода, характерным является то, что они при д, = О (когда массы двух планет гП] — а]Ц, гпч — гМ- обращаются в нуль) вырождаются в кеплеровские орбиты (круговые или эллиптические), т. е. в вырожденном случае перигелии и узлы планетных орбит неподвижны. В связи с этим Пуанкаре ставит и решает новую задачу о периодических решениях в проблеме трех тел им доказано существование таких периодических решений, которые характеризуются существенным (но спонтанным) изменением долгот перигелиев и узлов, обусловленным взаимно близким прохождением планет. Такие периодические решения названы Пуанкаре решениями второго вида. [c.794]

В случае а —2 мультипликаторы Xi и Яг совпадают. Они оба равны либо 1, либо —1. Если Xi= 2=l (а=2), то периодическое решение назовем вырожденным, а если 1= 2= —1 (а= =—2) — параболическим. [c.89]

Если усредненная система имеет вырожденное положение равновесия (цикл), то вопрос о существовании и устойчивости периодического решения (тора) точной системы, как правило", может быть решен с помощью высших приближений процедуры исключения быстрых переменных. [c.166]

Аналогично может быть рассмотрен случай вырожденной колебательной неустойчивости, описываемый системой (34.4). Система обладает двумя классами решений с пространственно-периодическими амплитудами Ai, А2 (см. также [19]) [c.247]

Устойчивые и неустойчивые одномерные, а также асимптотические инвариантные поверхности приведенной системы задают в абсолютном пространстве, вообще говоря, двухчастотные движения. Это наглядно иллюстрируется на случаях Ковалевской и Горячева-Чаплыгина. В последнем случае, для особого решения Горячева, для малых энергий происходит еще большее вырождение и движение в абсолютном пространстве становится периодическим (см. 5), тело совершает в пространстве любопытные маятниковые движения. Отметим также, что для волчка Ковалевской в приведенном фазовом пространстве имеется набор из трех переменных 21,22,23, в пространстве которых совершается периодическое движение по некоторому эллипсу (см. 4). Эти переменные очень неочевидны и образуются как из компонент момента М, так и орта 7. [c.94]

При ц = О планетный вариант неограниченной задачи трех тел вырождается в две задачи двух тел (одна задача двух тел с массами то п ту = О, вторая задача двух тел с массами то и тг = 0). Очевидно, что среди возможных движений в вырожденной задаче имеются кеплеровские эллипсы, описываемые нулевыми массами т, = тг = 0. Пусть, в частности, кеплеровские орбиты суть компланарные окружности. Пуанкаре доказал [2], что при 11фО в плоской неограниченной задаче трех тел существуют периодические решения, близкие к круговым. Точнее, взаимные расстояния между тремя телами будут периодическими функциями времени, а чтобы координаты каждого тела были периодическими функциями времени, необходимо рассматривать равномерно вращающуюся (с конечной угловой скоростью) систему координат. В неподвижной системе координат координаты трех тел не будут, вообще говоря, периодическими функциями времени. Если ввести для таких периодических решений оскулирующий кинематический параметр — эксцентриситет, то он имеет порядок величины ц. Эти плоские перподиче-ские решения задачи трех тел были названы Пуанкаре решениями первого сорта, и они образуют четырехпараметрическое семейство решений. Пуанкаре показывает, что все множество периодических решений не богаче, чем однократное бесконечное множество периодических решений, так как одни семейства решений переходят в другие с помощью элементарных преобразований. Заметим также, что решение Хилла является частным случаем периодических решений первого сорта Пуанкаре. [c.792]

Для невозмущенного гa шльтoниaнa периодические решения при резонансном значении J (2.4.3) вырождены по 0, т. е. существуют для всех 0. Возмущение снимает вырождение и оставляет только периодические решения, удовлетворяющие (2.4.15) (см. также обсуждение теоремы Пуанкаре — Биркгофа в п. 3.26). [c.125]

Таким образом, общее решение Гриоли является периодическим (в абсолютном пространстве и по отношению ко всем апексам — в этом смысле такая регулярная прецессия является сильно вырожденной), а центр масс равномерно движется по окружности большого круга, перпендикулярного оси, наклоненной к вертикали под углом во, определенным из равенства [c.148]

Аналогия со случаем Делоне. Приведем еще одно общее замечание. Указанные частные случаи интегрируемости соответствуют ситуации, при которой один из интегралов достигает О своего экстремального значения. Очевидно, что при этом в системе обязательно появляются дополнительные инвариантные соотношения. Для интегрируемых систем это приводит к дополнительному вырождению. Примером может служить случай Делоне для волчка Ковалевской. В этом случае интеграл Ковалевской, являющийся суммой двух полных квадратов, обращается в нуль, и двумерные торы вырождаются в одномерные (периодические и асимптотические решения). [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...