Индекс седла

Следовательно, при /о > О индекс особой точки равен +1, а при /о < О равен —1. С другой стороны, Jo равно произведению собственных значений матрицы А ( 19.4) это произведение положительно для узла, фокуса и центра и отрицательно для седла. Таким образом, индекс любой допустимой особой точки при Jo ф ) равен +1 ( + 1 для узла, фокуса и центра и —1 для седла). [c.386]

При h — hi появляется новая особая точка —седло х ,й), проходящая через нее сепаратриса образует слева замкнутую петлю, а справа разомкнутую. Между сепаратрисами (/13 < /г < hi) существуют замкнутые интегральные кривые, охватывающие три особые точки (два центра и седло), сумма индексов которых равна +1. [c.110]

Теорема 30. Индекс простого состояния равновесия динамической системы равен -1 в случае узла или фокуса и ранен -1 е случае седла. [c.219]

Т е о р е м а 33. Пусть С — односвязная область, принадлежащая области определения системы (I). Тогда. 1) Если в области С нет состояний равновесия системы, то в ней нет и замкнутых траекторий. 2) Если в области С имеется конечное число состояний равновесия, причем индекс каждого из них, а также сумма индексов любой комбинации их не равна - -1, то в С нет замкнутых траекторий. В частности, если в области имеется только одно состояние равновесия с индексом, отличным от единицы (например, седло), то в С нет замкнутых траекторий. 3) Если в области С имеется конечное число состояний равновесия, причем для каждого состояния равновесия О с положительным индексом существует стремящаяся к О траектория, уходящая на бесконечность или имеющая точки вне С, то в С нет замкнутых траекторий. [c.230]

Замечание 2. Из настоящей теоремы, очевидно, следует, что индекс состояния равновесия 0(0, 0) системы (А), имеющего характер узла, равен +1, имеющего характер седла, равен — 1, и имеющего характер седло-узла, равен 0. [c.173]

Так как нри В > О все состояния равновесия простые, и при изменении знака О, когда корни к[ и к делаются мнимыми, исчезают (кроме (О, 0)), то сумма их индексов должна равняться нулю. Кроме того, ни одно из них не может быть фокусом, так как через них проходят интегральные прямые у = к х. Отсюда заключаем, что одно из них — седло, другое — узел. [c.247]

В случае А = О две симметричные точки сливаются с особой точкой в начале координат в одну и образуют особую точку высшего порядка. Заметив, что при А > О индекс особой точки в начале координат равен -Ы, а нри А<0 равен —1, заключаем отсюда, что сумма индексов особых точек, слившихся с началом, равна —2, т. е. эти особые точки — седла, и сложная особая точка имеет характер седла, а оставшиеся две — узлы. [c.247]

Размеры предельного цикла определяют амплитуду автоколебаний генератора, время движения изображающей точки по циклу — их период, а форма предельного цикла — форму колебаний. Таким образом, задача об исследовании периодических автоколебаний в системе сводится к задаче нахождения предельных циклов в фазовом пространстве и определения их параметров. Общий метод для нахождения предельных циклов (как, например, для определения координат и типов состояний равновесия) не известен даже для систем второго порядка. Правда, на основании теории индексов Пуанкаре (см. гл. 15) мы можем сформулировать некоторые критерии отсутствия предельных циклов на фазовой плоскости например, если в системе нет состояний равновесия, то в ней не может быть и предельных циклов, или если единственное состояние равновесия является седлом, то предельных циклов тоже нет и т. д. [c.299]

Рис. 15.6. К объяснению индексов Пуанкаре замкнутой кривой, окружающей одну или несколько точек равновесия а — j = О (внутри контура состояний равновесия нет) б— j = +1, центр (то же самое для узла и фокуса) в — j = -1, седло г — j = -2 ( = -1-1 = -2) д — ] = -1 lj = -1 + 1-1 = -1) е — j = +1 ( = —1 + 1 + 1 = +1) А — предельный цикл

Если внутри замкнутой фазовой траектории находится одна особая точка, то это не может быть седлом, а обязательно будет точкой с индексом -1-1. [c.316]

Непосредственным рассмотрением (рис. 251) нетрудно убедиться, что индексы Пуанкаре для центра, узла и фокуса равны индекс Пуанкаре для седла равен — 1. [c.339]

Отсюда сразу следует, что индекс Пуанкаре для узла, фокуса и центра равен а для седла равен — 1, т. е. те же самые резуль- [c.344]

Следствие 2. Если внутри замкнутой фазовой траектории находится одна особая точка, то это не может быть седло, не может быть также никакая особая точка с индексом, отличным от -[ Следствие 3. Если внутри замкнутой фазовой траектории находятся только простые особые точки (для них Д 0), то число таких особых точек всегда нечетное, причем число седел на единицу меньше числа остальных особых точек. [c.344]

Если в системе существует только одна особая точка, причем индекс ее не равен - -1 (например, седло), то в этой системе не может быть замкнутых фазовых траекторий. [c.346]

IV. г - - 2R< p, г ( у (а). В отличие от предыдущего случая здесь ср (а)< —1 и кривые (5.67а) и (5.676) пересекаются внутри квадранта К по крайней мере в одной точке. Ниже мы будем рассматривать только тот случай, когда эта точка пересечения единственна (точка С (с, с") на рис. 266,/К) ), а на фазовой плоскости (рис. 267, IV) имеются девять состояний равновесия неустойчивый узел О, четыре устойчивых узла А, Ai, В, 5, и четыре С-точки С (с, с"), l i ", с ), Сз(—с —с") и Сз(—с", —с ). На основании теории индексов Пуанкаре нетрудно убедиться, что это — седла. В самом деле, сумма индексов Пуанкаре для всех состояний равновесия, как мы уже видели, равна - - 1 известные нам пять состояний равновесия на интегральных прямых 4 = и i = — /j (точки О, А, Al, В, Bi) суть узлы, и сумма их индексов равна - - 5, следовательно, сумма индексов четырех С-точек должна равняться — 4, т. е. С-точки должны быть седлами. Устойчивым стационарным режимам работы машин соответствуют устойчивые узлы А, Ai, В, т. е. устойчивыми будут и режим правильной работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь и режим работы одной машины на другую. Установление того или иного режима зависит от начальных условий если начальное состояние системы соответствует какой-либо точке области, ограниченной сепаратрисами (усами седел С) и заштрихованной на рис. 267, IV, то установится режим работы машин с отдачей мощности во внешнюю цепь. [c.361]

Сделанных выше предположений относительно вида функции (1) недостаточно для доказательства отсутствия точек пересечения кривых (5.67а) и (5.676) внутри квадранта АГь Вообще говоря, при г< (а) в зависимости от вида функции (О может быть любое, но обязательно четное число таких точек пересечения, а на фазовой плоскости — 5, 13,21 и т. д. состояний равновесия, из которых 3, 7, 11,. .. будут узлами, а остальные — седлами, так как сумма индексов Пуанкаре для всех состояний равновесия равна + 1- [c.361]

I. 8 0, О, о<[0. В ЭТОМ случае на фазовой плоскости (рис. 279, Г) имеются пять особых точек (состояний равновесия) (0,0) — неустойчивый узел и вне начала координат — два седла и два устойчивых узла. Предельных циклов нет, поскольку через все особые точки проходят интегральные прямые, простирающиеся в бесконечность. Для доказательства сделанных выще утверждений относительно характера особых точек, лежащих вне начала координат, достаточно вспомнить, что бесконечность абсолютно неустойчива и, следовательно, сумма индексов Пуанкаре для всех особых точек равна -j-1. Поэтому четыре особых точки вне начала координат не могут быть все седлами или узлами, две из них являются седлами и две — узлами, причем последние — обязательно устойчивые узлы в силу неустойчивости бесконечности. [c.381]

В силу сказанного выше точки О и О являются состояниями равновесия также и системы (Л ). В силу того, что по предположению система (Л) является грубой, точки О и О должны быть седлами системы (Л ), и у системы (Л должна существовать сепаратриса 1 , идущая из седла О в седло О. Всегда можно взять столь малое е и, чтобы е-окрестность I не содержала кроме О и О больше ни одного состояния равновесия системы (Л) и, следовательно, ни одной замкнутой траектории целиком (см. следствия I и И из теории индексов и 8 гл. V), а также не содержала бы кроме I целиком ни одной сепаратрисы седел О и О системы (Л). При всех достаточно малых а. сепаратриса системы (Л ) будет целиком лежать в этой е-окрестности I. При этом сепаратрисы и могут либо иметь, либо не иметь общих точек. [c.452]

Отсюда вытекает, что одно состояние равновесия с индексом, не равным нулю, не может ни появиться, ни исчезнуть при изменении параметра. Если мы имеем простую особую точку — узел, то она может, например, исчезнуть лишь после предварительного слияния с седлом, при котором образуется сложная особая точка с индексом, равным нулю. Обратно, седло или узел могут, например, появиться следующим образом сначала появляется сложная особая точка с индексом, равным нулю, которая затем разделяется на две седло и узел ) [c.467]

Следствие 2. Если внутри замкнутой фазовой траектории находи ся только одна особая точка, то эта точка - не седло и не какая-л другая точка с индексом, отличным от+. [c.64]

Р(0, 0) при а < О - седло. Согласно теории индексов ЗФТ отсутствуют. Если а > О, то корни 2 чисто мнимые, а из (2.12) получаем уравнение с разделяющимися переменными [c.354]

Очевидно, однако, что при принятии такого определения мы не имели возможности говорить о грубо сти целого ряда систем, которые естественно считать грубыми. Так, например, пусть рассматривался динамическая система, которая имеет в некоторой области С (ограниченной замкнутой кривой) только одно седло илп узел и седло. Такие системы мы должны, очевидно, считать грубыми. Но мы не можем пользоваться определением I, так как граница области С в этих примерах, очевидно, не может быть циклом без контакта. Индекс замкнутой кривой, являющейся границей области С, в этих случаях, очевидно, не равен единице, и, следовательно, она не может быть циклом без контакта. Можно подправить определение I, делая более общие предположения относительно границы области С. Например, можно допускать, что граница области О есть гладкая простая замкнутая кривая, имеющая конечное число касаний с траекториями системы (А) и не содержащая состояний равновесия (см. [155]). Однако всякие такие предположения относительно границы области всегда являются ограничениями, посторонними понятию грубости динамической системы. Ограничения на возможные границы должны вытекать из определения грубости. Кроме того, по смыслу понятия грубости из грубости системы в некоторой области С должна вытекать — непосредственно из определения — грубость системы в произвольной замкнутой области Со, содержащейся в О. Поэтому все указанные определения грубости (с условиями на границе) не полностью отражают смысл понятия грубости системы, а его отражает более сложное по форме определение I. Отметим, что из определения I непосредственно вытекает, что система (А) — грубая в некоторой области С — груба во всякой области " =( . Определение Г фактически используется также при рассмотрении негрубых систем, когда область, в которой рассматривается негрубая система, естественным образом разделяется на части, в которых система является грубой, и части, в которых система содержит негрубые элементы. [c.153]

Замечание 2. Индекс особой точкп О системы (В), имеющей характер узла, фокуса или являющейся особой точкой с эллиптической областью, равен -Ы, индекс особой точки О, имеющей характер седла, равен —1 и индекс особой точки О, имеющей характер седло-узла илн вырожденной, равен 0. [c.174]

Неподвижная точка такого вида называется кратнгям (в нашем случае трехкратным) седлом. Поток, подобный этому, может быть получен как гамильтонов поток ро, индуцированный гамильтонианом Н х, у) = = ху х +у) х — у). Чтобы определить индекс нуля с помощью чертежа, обойдем единичную окружность в положительном направлении (О), следя за направлением касательного к потоку вектора. Чтобы найти степень этого отображения V. 5 —> 5, заметим, что V монотонно, и перечислим некоторое количество его значений, обозначая угол на 5 через 9 [c.329]

Замечание. В некотором смысле это седло может быть получено склейкой вместе трех простых седел индексов —1. Таким образом, индекс аддитивен в следующем смысле если поток (рд вложен в такое однопараметрическое семейство потоков что потоки имеют три простых седла ддя е > О, то 1ро естественным образом оказывается потоком с многократным седлом, полученным объединением трех простых седел, т. е. е = О — би( уркационное значение согласно определению из 7.3. Соответствующий пример дают гамильтоновы потоки гамильтонианов Н х,у) = ех + -Ь ху х -ь у) х - у), показанных на рис. 8.4.1 для е = О и е = 1/10. Таким образом, сумма индексов в этой ситуации сохраняется. Если мы вложим эту локальную картину в компактное многообразие, тогда этот факт окажется следствием формулы Лефшеца (теоремы 8.6.2). [c.329]

Чуть более длинные вычисления (по-прежнему несложные, поскольку все кривые, относительно которых мы осуществляем отражение, являются либо отрезками, либо дугами окружностей см. упражнение 9.2.7) показывают, что орбита 7, соответствует случаю гиперболической седловой орбиты индекса -1, а орбита 73, вопреки ожиданиям, не эллиптична, но соответствует случаю обратного седла (пятая строка таблицы из 8.4), индекс которого равен единице. Тогда сумма индексов по-прежнему равна нулю, как и в случае изолированной орбиты периода два в эллипсе, хотя структура второй орбиты в этом случае другая. Этот факт следующим образом согласуется с формулой Лефшеца (теорема 8.6.2). В окрестности границы, которую не посещает ни одна периодическая орбита данного периода, можно возмутить биллиардное отображение таким образом, чтобы получилось тождественное отображение. Затем, отождествляя компоненты границы получившегося кольца, мы получим тор, на котором биллиардное отображение порождает некоторое отображение, гомотопное линейному преобразованию [c.354]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...