Индекс простых состояний равновесия

В конце 11 вычисляются индексы простых состояний равновесия. [c.205]

Вычисление индексов простых состояний равновесия динамической системы. Пусть (I)— динамическая система класса С . Мы предполагаем, что рассматриваемое состояние равновеспя находится в начале координат. Тогда система (I) может быть записана в виде [c.217]

Теорема 30. Индекс простого состояния равновесия динамической системы равен -1 в случае узла или фокуса и ранен -1 е случае седла. [c.219]

Теорема 27. Пусть С — простая замкнутая кривая в области G, G Г — внутренняя область, ограничиваемая ею. Если Г целиком принадлежит G и содержит конечное число состояний равновесия, а на кривой С их нет совсем, то индекс кривой С равен сум.ие индексов всех состояний равновесия, расположенных внутри С (т. е. в Г). [c.215]

Рассмотрение циклов без контакта или циклов однократного пересечения, а также индексов состояния равновесия позволяет в ряде случаев сделать определенное заключение относительно существования замкнутых траекторий или предельных циклов. Приведем сначала несколько простых признаков отсутствия замкнутых траекторий — признаков, вытекающих из свойств индексов Пуанкаре. Сформулируем их в виде теоремы. [c.230]

Индексы Пуанкаре. Распределение особых точек [77, 117]. Пусть 8 — простая замкнутая кривая на фазовой плоскости, не проходящая через состояние равновесия, ж М — какая-нибудь [c.116]

Так как нри В > О все состояния равновесия простые, и при изменении знака О, когда корни к[ и к делаются мнимыми, исчезают (кроме (О, 0)), то сумма их индексов должна равняться нулю. Кроме того, ни одно из них не может быть фокусом, так как через них проходят интегральные прямые у = к х. Отсюда заключаем, что одно из них — седло, другое — узел. [c.247]

Простейшие бифуркации состояний равновесия. Выскажем сначала несколько простых соображений, касающихся зависимости состояний равновесия от параметра. Во-первых, очевидно (мы уже говорили об этом Б связи с так называемой о, Д-диаграммой), что при изменении параметра характер состояния равновесия может измениться лишь в том случае, если для соответствующего состояния равновесия либо Д, либо а обратится в нуль. Во-вторых, легко видеть, что при наших предположениях о Р х, у, X) и Q (дг, у, X) индекс замкнутой кривой [c.467]

Отсюда вытекает, что одно состояние равновесия с индексом, не равным нулю, не может ни появиться, ни исчезнуть при изменении параметра. Если мы имеем простую особую точку — узел, то она может, например, исчезнуть лишь после предварительного слияния с седлом, при котором образуется сложная особая точка с индексом, равным нулю. Обратно, седло или узел могут, например, появиться следующим образом сначала появляется сложная особая точка с индексом, равным нулю, которая затем разделяется на две седло и узел ) [c.467]

Очевидно, однако, что при принятии такого определения мы не имели возможности говорить о грубо сти целого ряда систем, которые естественно считать грубыми. Так, например, пусть рассматривался динамическая система, которая имеет в некоторой области С (ограниченной замкнутой кривой) только одно седло илп узел и седло. Такие системы мы должны, очевидно, считать грубыми. Но мы не можем пользоваться определением I, так как граница области С в этих примерах, очевидно, не может быть циклом без контакта. Индекс замкнутой кривой, являющейся границей области С, в этих случаях, очевидно, не равен единице, и, следовательно, она не может быть циклом без контакта. Можно подправить определение I, делая более общие предположения относительно границы области С. Например, можно допускать, что граница области О есть гладкая простая замкнутая кривая, имеющая конечное число касаний с траекториями системы (А) и не содержащая состояний равновесия (см. [155]). Однако всякие такие предположения относительно границы области всегда являются ограничениями, посторонними понятию грубости динамической системы. Ограничения на возможные границы должны вытекать из определения грубости. Кроме того, по смыслу понятия грубости из грубости системы в некоторой области С должна вытекать — непосредственно из определения — грубость системы в произвольной замкнутой области Со, содержащейся в О. Поэтому все указанные определения грубости (с условиями на границе) не полностью отражают смысл понятия грубости системы, а его отражает более сложное по форме определение I. Отметим, что из определения I непосредственно вытекает, что система (А) — грубая в некоторой области С — груба во всякой области " =( . Определение Г фактически используется также при рассмотрении негрубых систем, когда область, в которой рассматривается негрубая система, естественным образом разделяется на части, в которых система является грубой, и части, в которых система содержит негрубые элементы. [c.153]

Так как detP 7 О по предположению, то ж = О — единственное равновесие системы (9.1). Поскольку уравнения (9.1) линейны, то устойчивость состояния равновесия ж = О, ж = О эквивалентна условию ограниченности всех решений (9.1). Из интеграла (9.2) сразу же вытекает простая, но очень важная, теорема Лагранжа—Кельвина если потенциальная энергия V x) = (Рж,ж)/2 имеет минимум в точке ж = О, то это равновесие остается устойчивым после добавления любых гироскопических сил. Менее тривиальной является следующая теорема Кельвина если степень неустойчивости нечетна степень неустойчивости — это индекс квадратичной формы V), то гироскопическая стабилизация вообще невозможна. Обзор результатов по проблеме гироскопической стабилизации можно найти в работах [16, 27]. [c.96]

Второй принцип термодинамики необратимых процессов принцип взаимности — утверждает, что влияние друг на друга различных процессов, протекающих в системе, взаимно и отличается симметрией в том смысле, что сопряженные (отличающиеся лнщь порядком индексов) перекрестные коэффициенты в уравнениях Онзагера равны, а именно L,2 = L2i = н вообще I.., = /-(,, . Как показал Онзагер, подобная взаимность вытекает из принципа так называемой микроскопической обратимости, заключающейся в том. что в условиях равновесия любой отдельный, а не только суммарный молекулярный процесс и процесс, обратный данному, будут протекать в среднем с одинаковой скоростью. Например, если молекулярный процесс сложен и состоит из двух простых миграции молекул и обмена энергией между ними при соударениях, то утверждается, что при общем равновесии системы будет а состоянии динамического равновесия и каждый из этих процессов в отдельности. [c.244]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...