Теорема Лейбница

Отсюда вытекает теорема Лейбница, заключающаяся в следующем если произвольное количество сил находится в равновесии в какой-либо точке и если из этой точки провести прямые линии, представляющие как величину, так и направление каждой силы, то эта точка является центром тяжести всех тех точек, в которых эти линии заканчиваются. [c.150]

Интегралы 4 вычисляются по формулам Ньютона — Ко-теса, а /3, определяются аналитически по теореме Лейбница — Ньютона. [c.45]

Если ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то абсолютная величина остатка ряда при п > N не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена ряда [c.157]

Первые членов указанной суммы для каждой координаты, хотя и являются бесконечными, могут быть включены в общее решение однородных уравнений (см. п. 266). Следовательно, решение выражается (а + 1)-м членом. Это, согласно теореме Лейбница о нахождении производной порядка а от произведения, приводит к данному выше оператору. [c.272]

Продолжая дифференцировать, получим, как в теореме Лейбница, [c.375]

Л, > 1 21 >. .. Отсюда по известной теореме Лейбница этот ряд сходится. [c.78]

До сих пор этот принцип рассматривался только в качестве простой теоремы механики однако после того как Иван Бернулли принял предложенное Лейбницем различие между мертвыми силами, или силами давления, не вызывающими реального движения, и живыми силами, при которых имеет место движение, а также его предложение измерять последнего рода силы произведением масс на квадраты скоростей, рассматриваемый принцип стал следствием теории живых сил и общего закона природы, согласно которому сумма живых сил нескольких тел остается неизменной, в то время как эти тела действуют друга на друга с помощью одних только сил давления, и равной той живой силе, которая получается в результате действия активных сил, приводящих тела в движение. Поэтому он дал указанному принципу название принципа сохранения живых сил и успешно применил его при разрешении некоторых задач, которые до тех пор еще не были решены и которые представлялось трудным довести до конца с помощью прямых методов. [c.315]

Механика занимает в кругу технических дисциплин промежуточное положение, а именно она стоит между общеобразовательными предметами, как математика, начертательная геометрия, физика, и собственно техническими, специальными науками. Обыкновенно изучение механики представляет для начинающего известные трудности эти трудности возникают особенно тогда, когда учащемуся самому приходится решать задачи механики такого типа, какие ставятся техникой, и как раз тут-то и обнаруживается, усвоены ли положения механики во всем их значении или нет. Оказывается, что они не усвоены и нет навыков применить их, как бы ни казались просты основные теоремы, однако новичку очень трудно охватить их значение и научиться правильно применять их в разнообразнейших проблемах техники и природы. Больше чем где-либо уместны здесь старые слова Лейбница ...хотя сама природа и проста в своих законах, но необычайно богата в применении их . [c.193]

Этот второй путь формирования механики был наглядно продемонстрирован Лагранжем в его знаменитой Аналитической механике через сто лет после выхода Начал . И этот путь пролегал через творчество Галилея, Декарта, Гюйгенса, Лейбница, И. и Д. Бернулли, Даламбера. Вывод о сохранении величины, называемой ныне кинетической энергией, для движения точки в центральном поле сил мы видим в Началах (Книга первая, предложение ХЬ). Однако ни Ньютон, ни еще ранее Гюйгенс в его теории удара не придавали этому результату особого значения, статуса закона. И только Лейбниц, ссылаясь на авторитет Галилея, предложил считать мерой движения не декартово количество движения, а величину названную им живой силой . Он же первым и сформулировал закон сохранения живых сил , и дал словесную формулировку теоремы об изменении кинетической энергии. Работы И. и Д. Бернулли укрепили в механике понятие живой силы и сделали естественным переход от второго закона к теореме энергии в ее математическом выражении. [c.106]

Теорема Лейбница Если а монотонно стремится к нулю при неограниченном возрастании п, то знакочередующийся ряд сходится. [c.35]

Поскольку о — центр тяжести, ускорение массы т может быть разложено (согласно теореме Лейбница (Leibnitz)) на три составляющие Рт а, Pm"f, Pm"d, параллельные соотвегственно прямым а, [, d. Ускоряющие силы притяжения тремя точками т, т", т точки m направлены вдоль тех же прямых и равны т Аа, т"Ff, т Dd. На основании принципа Даламбера точка т находится в равновесии под действием сил, отношения которых к массе точки равны т (А — Р) а, т" F — Р) f, т " (D — Р) d. Отсюда получаем, снова используя теорему Лейбница, что центр тяжести трех точек, массы которых пропорциональны т (А — Р), т" F — Р), т D — Р) и которые помещены в вершинах четырехугольника, занимаемых т, т, т, расположен в вершине, занимаемой четвертой точкой т. [c.455]

Основной мыслью, из которой исходил Лейбниц, было положение, что причина всегда количественно равна своему действию. Поэтому, как бы ни видоизменялись движения в природе, их обш ая итоговая мера должна быть неизменной, ведь движение имеет свою причину тоже в движении. Эту меру он назвал живой силой — раньше того, как была найдена математическая формула для ее выражения. Живая сила у Лейбница имела и другие названия сила движения , движуш ая сила , потенция . Принцип равенства причины и действия приводил Лейбница к принципу сохранения живых сил, или к принципу сохранения силы. Это не математическая теорема, а философское положение, высший постулат разума, без ноторо-ю мы должны были бы признать беспорядок, хаос во Вселенной. Когда это установлено в качестве общей непререкаемой истины, начинается специальное исследование как математически правильнее выразить меру движения, чтобы указанная высшая истина смогла быть выражена в виде уравнения, в левой части которого стояла бы функция от величин, характеризуюхцих движущееся тело, а справа постоянная. [c.181]

Эта теорема (предложение IX) впервые использует введенное Лейбницем в 1695 г. понятие живой силы , позднее названное кинетической энергией и играющее важную роль в современной физике и механике. Гюйгенс постоянно оперирует понятием величина тела . Это еще не ньютоновская масса, но в статье, опубликованной в Journal des S avans (1669), он пишет . .. я рассматриваю тела из одного и того же вещества или же принимаю, что величина тел определяется их весом [27, с. 367]. В этой же статье у Гюйгенса есть еще один результат, не попавший в мемуар 1703 г. Кроме того, я заметил удивительный закон природы, который я могу доказать для сферических тел и который, по-видимому, справедлив и для всех других тел, твердых (упругих) и пластичных при прямом и при косом ударе общий центр тяжести [c.71]

Декартова идея сохранения количества движения имеет свои истоки в единстве Бога и золотом правиле механики, определяющем условия равновесия рычага. Лейбниц апеллирует к галилеевым законам падения тел и гюйгенсовой теореме о сохранении до и после удара абсолютно упругих тел. Гюйгенс, естественно, откликнулся на публикацию Лейбница, но его оценка была весьма осторожной. Оспаривая мнение Лейбница о том, что Декарт вывел свой принцип из эквива-лентности количества движения движущим силам, Гюйгенс считает, что ... если допустить эту эквивалентность и таким способом получить его (Декарта) природный закон количества движения, то отсюда не следует, что закон недостаточно доказан или вовсе не доказан. Для утверждения его ошибочности господину Лейбницу необходимы другие доказательства [187, с. 475]. И далее считает, что Лейбниц может претендовать только на формулировку своего принципа сохранения движущих сил (без доказательства его справедливости). [c.114]

Путь универсализации методов, обобщения известных задач был главной чертой творчества Вариньона. По если его предшественники (Стевин, Галилей, Кеплер, Декарт) и современники (Гюйгенс, Пьютон, Лейбниц) искали универсальный принцип в мире философских идей, то он больше тяготел к универсализации математического аппарата механики. Особенно к адаптации идей математического анализа и дифференциальных уравнений. Основные идеи геометрической статики, принцип возможных перемещений , теорема об изменении количества движения, теорема об изменении кинетической энергии составляли основу механико-математических работ Вариньона. Это был пролог аналитической механики Эйлера-Даламбера-Лагранжа. [c.204]

Анализируя результаты многолетнего творчества Вариньона, можно отметить явную тягу этого математика к прикладным задачам той эпохи. Даже его чисто математические работы 1699, 1706 гг. были ориентированы на развитие математического аппарата механики. Первый этап деятельности Вариньона (ориентировочно 1683-1692 гг.), связанный с освоением классической геометрии и механики предшественников, был статическим . Изданием своего Проекта Вариньон не только подвел итог многовекового развития статики-механики, но и заложил основы для дальнейшего совершенствования ее математического аппарата (векторные свойства сил и движений, правило параллелограмма, теорема Вариньона) в трудах Д. Бернулли, Эйлера, Монжа, Л. Карно, Боссю, Лагранжа, Пуансо. Переписка Вариньона с Лейбницем и И. Бернулли, знакомство с трудами Пьютопа и Анализом бесконечно малых для исследования кривых линий Лопиталя [203], полемика с Роллем сделали Вариньона активным проводником идей нового математического анализа в механических приложениях. [c.204]

В этом равенстве трудно не узнать теорему об изменении кинетической энергии, авторство которой традиционно связывается с именем Лагранжа. Еще раньше Лагранжа эту теорему, как следствие другой теоремы, сформулировал Эйлер [92, с. 123 Предложение 19, Следствие 1] в знаменитой Механике 1736 г. Однако Клеро писал свою работу раньше. А переписка Клеро с Эйлером, содержащая 61 письмо, началась с 1741 г. Как уже отмечалось, до Эйлера этим результатом пользовались П. и Д. Бернулли, Вариньон, Лейбниц и Пьютон. [c.255]

Напомнив понятие количества движения, автор приводит иную формулировку этой теоремы ... если два тела имеют равные и прямо противоположные количества движения, то они уравновешивают друг друга [29, с. 87]. Доказательство теоремы приводится для четырех случаев соотношения масс и скоростей на физическом уровне строгости. При этом Даламбер не скрывает аналогичности своего принципа равновесия принципу виртуальных скоростей, которым ученые пользовались со времен создания теории равновесия рычага, а позднее Декарт, Г юйгенс, Вариньон, Лейбниц, И. Бернулли. Эта аналогия связана с расширенным пониманием скорости не только как свойства состоявшегося движения, но и как свойства возможного, виртуального движения покоящихся тел, то есть как виртуальной скорости . [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...