Эффективная проводимость неоднородных сред

Перейдем к формулировке зада об отыскании эффективной проводимости неоднородной среды. Пусть локальные поток у и поле Л связаны системой соотношений [c.103]

Безотносительно к методу решения возникает вопрос о трактовке и использовании полученных результатов при решении практических задач. В этом случае в зависимости от используемой информации и конкретной решаемой задачи возможны различные подходы к интерпретации результатов [35, 30]. Суть проблемы заключена в том, что для оценки единственного и часто уникального объекта со сложной и нерегулярной внутренней структурой мы рассматриваем множество (ансамбль) подобных объектов. Решив соответствующую задачу, определяем характеристики всего ансамбля и хотим их использовать для оценки упомянутого единственного объекта. Конечно, такая задача не может иметь единственное решение. Как и в [35] полагаем, что вероятности того или иного исхода порождены недостаточностью исходной информации. Как будет видно из дальнейшего, такая ситуация не всегда имеет место. Рассматривая фильтрацию в средах с мелкомасштабными неоднородностями, мы приходим к результатам, слабо варьирующим около средних значении. В этом случае оценки для ансамбля систем, можно с высокой точностью отнести к реальной единственной системе. Так, например, обстоит дело при вычислении эффективной проводимости сред с мелкомасштабными неоднородностями. [c.28]

Для многих физических процессов в неоднородных средах (теплопроводность, электропроводность, фильтрация жидкостей и газов и т. д.) характерна математически эквивалентная задача определения макроскопической или, как часто говорят, эффективной проводимости системы на основании информации о структуре поля локальной проводимости. Наиболее интересен и практически важен стохастический вариант этой задачи, т. е. тот случай, когда локальное поле проводимости может трактоваться как случайное. [c.103]

Истолкование проблемы неоднородности с вероятностной точки зрения определяет пути нахождения эффективной проводимости. В самом деле, решая соответствующую задачу в среде со случайными неоднородностями и определяя математическое ожидание рещения или некоторых его функционалов, мы тем самым автоматически находим эффективные характеристики. Следует иметь в виду, что эффективные характеристики системы, найденные при решении одной задачи, могут оказаться непригодными для другой задачи, решаемой для той же системы. Дело в том, что если масштаб неоднородности сравним с размерами системы, эффективная проводимость зависит не только от свойств среды, но и от размеров области и типа условий на ее границе. Иными словами, эффективные характеристики зависят от условий задачи в целом и, следовательно, должны определяться в каждом отдельном случае. [c.103]

Иначе обстоит дело в том случае, когда размеры области велики по сравнению с масштабом неоднородности. Рассматривая неограниченную среду, мы исключаем влияние типа краевых условий на эффективные характеристики. Однако и в этом случае эффективная проводимость должна так или иначе зависеть от всех параметров, определяющих случайное поле локальной проводимости, например, от всех моментов случайного поля. Поэтому формулы для эффективной проводимости, если они достаточно универсальны, должны иметь очень сложную структуру. Отсюда следует, что реалистическую постановку проблемы определения эффективной проводимости можно связать с поиском достаточно простых приближенных зависимостей для широких классов полей и, как исключение, точных формул для сред относительно простой структуры. [c.103]

При выводе уравнений для эффективной проводимости (6.157) нли (6.156) предполагалось, что поля в подобластях — элементах неоднородности в рассматриваемом приближении эквивалентны полям тех же элементов, погруженных в неограниченную среду, наделенную эффективными свойствами. При этом как бы игнорируется возможное различие в топологии пространств, занятых различными фазами, а элементы неоднородности различаются лишь значением проводимости в них. Представляется правдоподобным, что используя симметрию фаз такого рода, затруднительно описать среды, которым она не присуща, например матричные структуры с различной связностью включений и матрицы. [c.145]

Используемые для описания фильтрации нескольких жидкостей обобщения закона Дарси основаны на гипотезе существования своей эффективной проводимости для каждой из жидкостей. Такая трактовка фазовых проницаемостей и гипотезы о распределении фаз позволяет, усреднив локальный закон Дарси, вычислить фазовые проницаемости. Однако использованный для этого метод возмущений при сильных возмущениях вряд ли удовлетворителен, скорее он позволяет проиллюстрировать предлагаемый подход, приводя к соотношениям, которые можно считать качественно правдоподобными. Представляется, что определение эффективных фазовых проводимостей методами теории самосогласования целесообразно для рассматриваемой неоднородной среды, поскольку для нее характерны скачкообразные изменения проводимости [Зб . [c.188]

Метод эффективной среды. Неоднородная система моделируется произвольно выбранной частицей, окруженной средой с эффективными (искомыми) свойствами. Необходимо определить Ф] или Фг в (1.9), что должно позволить найти эффективную проводимость Л. При изложшии этого раздела по возможности будем отвлекаться от математических преобразований, используемых различными авторами, разрабатывающими данный метод [8, 42]. Функцию Ф] определим из известных формул для частицы с диэлектрической проницаемостью ej, погруженной в среду с эффективной диэлектрической проницаемостью е [42] [c.13]

Таким образом, определение эффективных проводимостей сведено к рещению эллиптических уравнений (6.20) и последующему усреднению по формуле (6.19). Реализация такой процедуры весьма трудоемка, поскольку решить уравнение (6.20), как правило, можно лишь численно, что, в свою очередь, связано с большими трудностями. Отсюда ясно, что действуя таким образом, установить зависимость эффективной проводимости от параметров периодической структуры, неоднородности поля проводимости вряд ли практически возможно. Аналогично и даже еще сложнее обстоит дело при рассмотрений стохастического варианта задачи. При этом следует учесть, что анализ процессов в неоднородных средах далеко не исчерпывается задачей определения эффективных характеристик. Не менее важны всякого рода корреляции полей. Уместно добавить, что точные решения задачи определения эффективных параметров, строго обоснованные теорией усреднения операторов,— все те же случаи одномерных (слоистых) структур и результаты А. М. Дыхне [9], полученные иным путем. [c.110]

Результаты расчетов эффективной проводимости сравнивались с результатами численного моделирования неоднородной среды. С этой целью в квадрате, покрытом разностной сеткой 40X40, случайным образом генерировались реализации неоднородного поля, проводимость которого равна единице, с элементарными включениями проводимости а, концентрация которых равна Р. Значения проводимости в соседних ячейках независимы. Решая соответствующую краевую разностную задачу для генерированного поля, вычисляли эффективную проводимость. Этот процесс повторялся несколько раз. Результаты расчетов отмечены на рис. 20, 21 крестиками. Кривая 2 получена при расчете по формулам (6.66). Учитывая некоторое различие в постановке задач (дискретное и непрерывное поле, конечная и бесконечная области, различие в форме включений и т. д.), результаты сопоставления следует считать удовлетворительными, тем более для случая а== 0,25. Здесь же на рисунках приведены <а>, <о > и их полусумма в зависимости от (1—Р). При этом в случае а==0,25 [c.119]

Рассмотрим задачу об эффективной проводимости гетерогенной Л-компонентной композитной системы, т. е. предположим, что пространство делится на подобласти, внутри которъ1х =сопз1( = 1,2,. .., Н). Выделим одну из подобластей—элемент неоднородности и рассмотрим поле внутри ее. Очевидно, это поле в основном зависит от таких факторов, как величина а в подобласти, формы ее границы, значений о для ближайших индивидуальных подобластей — элементов, лежащих в пограничном слое , среднего поля для всей системы, принимаемого постоянным, и эффективной проводимости всей системы а. Приближение метода самосогласования заключается в пренебрежении пограничным слоем и рассмотрении поля в подобласти, окруженной эффективной средой, параметры которой пока неизвестны. Для их определения используется условие равенства среднего поля в подобластях заданному среднему полю для всей системы. [c.138]

Прежде чем перейти к изложению сингулярного приближения, вернемся к процедуре получения эффективной проводимости в виде ряда (6.188). Очевидно, при этом определенное значение играет разделение оператора L на сумму неслучайного и случайного эллиптических операторов. Хотя выделение оператора Lo==V foV, где Оо=<о>, выглядит естественно, оно не единственно возможное. Напротив, можно ожидать, что при больших флуктуациях а именно такое расщепление — причина плохой сходимости ряда возмущений. Представляется естественным процедуру расщепления оператора L сделать более гибкой за счет введения в оператор Lo свободного параметра. Такой метод получил название метода перенормировок [33J. Отметим, что первоначально идеи метода перенормировок развиты в квантовой теории поля, в теории рассеяния волн в средах со случайными неоднородностями [31]. [c.149]

Сочетание методов теории протекания и эффективной среды. В 1.3 было показано, как изменяется геометрическое строение гетероге№ ной системы с изменением концентрации компонентов, и на основе теории протекания объяснен прыжковый переход от системы с ИК к системе с БК. Там же приведены формулы (1.12) для зффективной проводимости Л двухкомпонентной, крайне неоднородной (Лд/Л м = = 0) системы. [c.15]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...