Линейные системы Линейная система без трения (гармонический осциллятор)

Рассмотрение линейных систем мы закончим весьма важным для дальнейшего замечанием. Ни одна из рассмотренных нами картин на фазовой плоскости для различных линейных систем, кроме гармонического осциллятора без трения (т. е. кроме консервативной линейной системы), не дала на фазовой плоскости замкнутых интегральных кривых, и все интегральные кривые имели ветви, уходящие в бесконечность. Между тем периодическим процессам на фазовой плоскости должны соответствовать замкнутые интегральные кривые. Мы можем поэтому вывести из нашего рассмотрения линейных систем следующее важное заключение в линейных неконсервативных системах периодические процессы вообще невозможны. [c.102]

Эти свойства гармонического осциллятора мы и рассмотрим в данной главе. Мы познакомимся как со свободным, так и с вынужденным движением, а также учтем влияние трения и небольшой ангармоничности или нелинейного взаимодействия, которые могут иметь место в системе. Кроме того, мы постараемся разобраться в том, что происходит, когда система уже не может считаться линейной, [c.206]

Рассмотрим наиболее интересный случай, когда /С<0, но система тем не менее устойчива. В теме 2 мы видели, что наложение вязкого трения на устойчивый гармонический осциллятор превращает систему в асимптотически устойчивую. Здесь же, как это ни удивительно на первый взгляд, добавление вязкого трения превратит систему снова в неустойчивую (второй эффект Кельвина). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим собственные числа получающейся линейной системы уравнений движения ее можно представить в виде [c.37]

Собственные колебания линейного гармонического осциллятора, рассмотренные в предыдущем параграфе, происходят в отсутствие переменных внешних полей и сил трения, действующих на колеблющуюся систему со стороны окружающей среды. Рассмотрим, какие изменения в характер малых колебаний системы вносит действие переменного внешнего поля. [c.218]

Свободные колебания линейного гармонического осциллятора, если они происходят в вязкой среде, постепенно затухают в результате действия со стороны среды диссипативных сил трения. Как было показано в 29, для полного описания движения механической системы, подверженной действию сил вязкого трения, необходимо наряду с лагранжианом ввести диссипативную функцию Рэлея (29.19), описывающую процесс рассеяния механической энергии. Для одномерной механической системы, совершающей малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия, указанные функции имеют вид [c.223]

Линейная система без трения (гармонический осциллятор) [c.35]

Таким образом, не зная еще возможных движений с количественной стороны, мы знаем качественную характеристику возможных движений. Результаты качественного исследования линейной системы без трения (гармонического осциллятора) могут быть сформулированы [c.44]

Для ответа на те вопросы, для которых трение играет существенную роль, мы должны отказаться от одной идеальной черты нашего гармонического осциллятора — отсутствия трения, сохранив остальную идеализацию. Примем, что сила трения пропорциональна скорости. Это предположение также представляет собой идеализацию, а именно, идеализацию реальных законов трения, которая находится в удовлетворительном согласии с опытом, когда речь идет о жидком трении или трении о воздух при достаточно малых скоростях. Всякий иной закон трения нарушил бы линейность осциллятора, между тем мы пока ограничиваем наше рассмотрение только линейными системами. [c.48]

Условный период колебаний системы в том смысле, как мы его определили для затухающего колебания в случае трения, пропорционального скорости, т. е. интервал времени между двумя максимумами (во время колебательного этапа движения) для случая постоянного трения не зависит от величины силы трения и совпадает с периодом гармонического осциллятора ). При этом, как легко убедиться из рассмотрения рис. 117, расстояние (по оси времени) между максимумом и следующим нулевым значением больше, чем между нулевым значением и следующим максимумом. Эта разница тем более заметна, чем меньше максимум. Такой же сдвиг максимальных значений по оси времени назад в направлении предшествующих нулевых значений, как мы видели, имеет место и в линейной системе с трением, пропорциональным скорости. Наконец, отметим еще одно различие между системами с линейным и постоянным трением (связь этого различия с только что отмеченным легко проследить). Именно, в случае линейного трения всегда можно, по крайней мере формально, разделять системы на колебательные и апериодические. В случае же постоянного трения разделение систем на колебательные и апериодические вообще теряет смысл, ибо всегда при любом трении можно выбрать достаточно большое начальное отклонение, так что система совершит ряд колебаний, прежде чем ее движение прекратится. Физический смысл этого свойства систем с постоянным трением выступает особенно ясно при рассмотрении вопроса о балансе энергии в системе. [c.179]

Известны попытки построения обобщенной функции Лагранжа для частных случаев линейных диссипативных систем [4, 27, 84, 115—117]. При этом существует два способа вводится дополнительная система, поглощающая энергию, выделяемую диссипативной системой, или отыскивается замена переменных, преобразующая уравнения движения диссипативных систем в уравнения с нулевой правой частью. В монографии [84] наряду с заданной системой рассматривается ее зеркальное отражение , обладающее отрицательным трением . Полная энергия двух систем остается постоянной. Построение обобщенной функции Лагранжа производится на примере системы гармонических осцилляторов со стоксовским трением. При этом [c.157]

В качестве другого примера диссипативной системы мы рассмотрим осциллятор с сухим трением (рис. 115), причем для простогъ будем считать, что при отсутствии трения система представляет гармонический осциллятор. Такую задачу об осцилляторе, который при отсутствии трения был бы гармоническим, мы уже рассматривали в гл. I, 4, предполагая, однако, при этом, что сила. трения пропорциональна скорости. Этот закон трения удовлетворительно определяет сопротивление движению тела со стороны жидкой или газообразной среды при не слишком больших скоростях. Однако этот линейный закон совершенно не отображает закономерностей сухого трения — трения между твердыми поверхностями (без слоя смазки между ними), имеющегося в рассматриваемой колебательной системе. Достаточно хорошо основные черты этих закономерностей, во всяком случае в области малых скоростей, передаются предположением о постоянном [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...