Вывод формулы Эйлера для критической силы

Вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения упругой линии. Поэтому воспользоваться этой формулой можно лишь в том случае, если справедлив закон Гука, т. е. пока критическое напряжение (напряжение сжатия, соответствующее критической силе) не превышает предела пропорциональности [c.509]

Критическая сила для сжатого упругого стержня (рис. 18) определяется по формуле Эйлера. Для вывода формулы Эйлера (схема 30) воспользуемся дифференциальным уравнением изогнутой оси балки [c.17]

При выводе формулы Эйлера предполагалось, что напряжения центрального сжатия, возникающие в поперечных сечениях стержня от действия критической силы a p = Ap/F, не превышают предел пропорциональности материала а ц. Если это условие не выполняется, то при определении критической силы нельзя пользоваться законом Гука, в предположении справедливости которого получено исходное дифференциальное уравнение (13.2). Таким образом, условие применимости формулы Эйлера в общем случае имеет вид [c.267]

Вывод формулы Эйлера основан на законе Гука, который справедлив только до тех пор, пока напряжение не превосходит предел пропорциональности. Поэтому формулой Эйлера можно пользоваться не всегда. Для определения пределов применимости формулы Эйлера определим критическое напряжение Окр, т. е. напряжение, которое возникает в поперечном сечении Р стержня при действии критической силы [c.325]

Если выводить формулу Эйлера, пользуясь точным выражением кривизны (см. с. 201), то значение критической силы совпадает со значением, определяемым формулой (12.2), но одновременно может быть получена рмула для определения прогибов. [c.327]

При выводе формулы Эйлера вопрос о величине прогибов стержня при силе, большей критической, остался нерешенным (неопределенной осталась величина постоянной интегрирования А). В рамках использования приближенного дифференциального уравнения упругой линии его решение вообще невозможно. Если выводить формулу Эйлера, пользуясь точным выр 1ке [c.278]

Идея вывода формулы Эйлера заключается в следующем. Критическая сила характерна тем, что она способна удержать сжатый брус в изогнутом состоянии. Предположим, что для прямого бруса АВ (см. пунктирную линию на фиг. 405) сила Р равна критической силе Р р. Тогда, изогнув слегка брус, получим для него новую, уже изогнутую форму равновесия. [c.482]

При выводе формулы для определения критической силы Эйлер предполагал, что материал сжимаемого стержня подчиняется закону Гука возникающее в стержне напряжение не превышает предела пропорциональности. [c.296]

Рассмотрим теперь стержень с сечением в форме идеального двутавра длиной I, шарнирно опертый по двум концам и сжатый силой Р. Подобно тому как это делалось в 4.2 при выводе критической силы Эйлера, мы должны принять N = —Р, М = Pw, V, = —d w/dz dt. Возвращаясь к обычным обозначениям N ж М в формулах (18.13.1), мы получим из второй из них следующее [c.648]

В 1757 г. в работе О силе колонн Эйлер вернулся к теории продольного изгиба. Прежде всего он дал более правильное толкование абсолютной упругости Ек , установив, что она должна иметь размерность силы, умноженной на квадрат длины. Далее он предложил более простой вывод формулы (5) для критической силы, исходя из приближенного дифференциального уравнения оси стержня [c.167]

Формула Эйлера справедлива лишь в пределах пропорциональности, так как ее вывод основан на законе Гука. Поэтому значения критической силы и критического напряжения, получаемые по формулам (120), (121), имеют смысл лишь при условии, что критическое напряжение не превосходит предела пропорциональности материала стержня. [c.269]

Эйлер Леонард (1707—1783), академик Петербургской академии наук, великий математик, механик, физик и астроном. Научные интересы Эйлера относились ко всем основным областям естествознания, к которым можно было применить математические методы. Написал трактат по механике, в котором впервые изложил динамику точки с помощью математического анализа и ввел понятие сил инерции. Развивая вариационное исчисление, исследовал формы кривых, которые принимает тонкий гибкий стержень при различных условиях его загружения, дал вывод формулы для критической нагрузки сжатого стержня. Разрабатывал проблему поперечных колебаний стержней. Труды Эйлера оказали большое влияние на развитие математики и механики второй половины XVIII и начала XIX в. [c.564]

Эйлер при выводе своей формулы определения критической силы для слсимаемых стержней, предполагал, что материал стержня достаточно упруг и следует закону Гука. [c.328]

Формула для определения величины критической силы сжатого стержня, жестко защемленного одним концом (см. рис. 322), была выведена великим математиком Леонардом Эйлером в середине XVIII столетия. В дальнейшем она была обобщена на другие случаи концевых закреплений стержня. Эта формула, вывод которой не приводим, имеет вид [c.313]

В последующем задаче об изгибе балки уделяли много внимания крупные ученые, в числе которых были Мариотт, Лейбниц, Варньон, Яков Бернулли, Кулон и др.. Пишь в 1826 г. с выходом в свет лекций по строительной механике Навье был завершен сложный путь исканий решения задачи об изгибе балки, затянувшийся во времени почти на двести лет. Навье дал правильное решение этой задачи, им впервые введено понятие напряжения. Им же сделан существенный шаг в направлении упрощения составления уравнений равновесия, состоявший в том, что Навье отметил малость перемещений и возможность относить уравнения равновесия к начальному недеформированному состоянию. Это очень широко используемое положение иногда называют принципом неиз жнности начальных размеров. В истории развития механики деформируемого твердого тела важную роль сыграли такие крупные ученые, как Лагранж, Коши, Пуассон, Сен-Венан. Особо следует отметить заслуги Эйлера, впервые определившего критическое значение сжимающей продольной силы, приложенной к прямолинейному стержню (1744). Решение этой задачи во всей полноте тоже заняло по времени почти двести лет Дело в том, что решение Эйлера было ограничено предположением о линейно-упругом поведении материала, что накладывает ограничение на область применимости полученной Эйлером формулы. Применение эюй формулы за границами ее достоверности и естественное в этом случае несоответствие ее экспериментальным данным на долгое время отвлекло интерес инженеров от этой формулы и лишь в 1889 г. Энгессером была предпринята попытка получить теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности. Он предложил 1аменить в формуле Эйлера модуль упругости касательным модулем i = da/di. Однако обоснования этому своему предложению не дал. В 1894 г. природу потери устойчивости при неизменной продольной силе правильно объяснил русский ученый Ясинский и лишь в 1910 г. к аналогичному выводу пришел Карман. Поэтому исторически более справедливо назвать его решением Ясинского —Кармана, предполагая, что Карман выполнил это исследование независимо от Ясинского. [c.7]

Немецкий ученый Ф. Энгессер, работая над границами применения формулы Эйлера, пришел к выводу, что можно расширить эти границы, если заменить в ней постоянный модуль упругости переменной величиной, которую он назвал касательным модулем упругости. Эта величина, в свою очередь, выражала отношение напряжения материала к относительной его деформации, т. е. изменению длины стерншя по сравнению с его первоначальными размерами [40, с. 351, 352, 356—359]. Касательный модуль дал Энгессеру возможность вычислять критические напряжения для стержней из материалов, не подчиняющихся закону Гука, а также из строительной стали при напряжениях выше предела упругости. В связи с этим предложением у Энгессера возникла дискуссия с Ясинским, который утверждал, что сжимающие напряжения на выпуклой стороне стержня при его выпучивании уменьшаются и что испытания, проведенныеБаушингером, доказывают необходимость пользоваться в этой области поперечного сечения постоянным модулем упругости, а вовсе не касательным модулем [43, с. 214]. Этот спор закончился тем, что Энгессер признал правоту Ясинского, переработал свою теорию и ввел для двух областей поперечного сечения два различных модуля. Исследуя влияние поперечной силы на величину критической нагрузки в стойках, он нашел, что эта величина для сплошных и сквозных решений различна. В сплошных ее влияние мало и им можно пренебречь, а в сквозных оно может оказаться значительным. Энгессер вывел формулы для определения того отношения, при котором [c.254]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...