Теорема о дискретном представлении

Разложим теперь и х) в ряд по ортогональным функциям. В поисках подходящего набора функций мы воспользуемся тем, что и х),ъ силу самого процесса дифракции, ограничивается по полосе пространственных частот числовой апертурой прибора. Тогда, разлагая и (х) с помощью теоремы о дискретном представлении ), мы получаем [c.190]

Теорема о дискретном представлении [c.235]

В двумерном случае для теоремы о дискретном представлении нетрудно получить следуюш,ее выражение [c.237]

Действуя правой и левой частью этого равенства на вектор Ф и учитывая, что Уф( ) Ф = Ф = СФ, мы получаем равенство Си,1, д)С=и д), выполняющееся для всех элементов д группы С. Тем самым доказана первая часть утверждения теоремы. Напомним теперь одно определение. Мы говорим, что характер х на С (т. е. унитарное одномерное непрерывное представление группы О в С) является дискретной точкой спектра представления Уф (С) или принадлежит дискретному спектру представления Уф (С), если в существует вектор Ч , для которого /ф(0) = х( ) 1 при всех элементах д группы О. Предположим, что характер % принадлежит дискретному спектру представления /ф(0). Тогда [c.269]

Эта теорема решает полностью проблему описания динамических систем со временем О, имеющих дискретный спектр. Отличие от коммутативного случая в том, что представление не определяет однозначно систему, поскольку легко привести пример группы (даже конечной) и двух ее не сопряженных подгрупп Н, Яг, для которых представления К в К/Нх) и Ь (К/Н2) тем не менее эквивалентны. Сама же группа определяется по представлению однозначно это замыкание группы [c.84]

Измерение энергетических спектров сигналов основывают на том, что дискретным представлением интеграла Фурье для сигналов, удовлетворяющих требованиям теоремы отсчетов, являются МСДПФ [86]. Поэтому в качестве оценки энергетического спектра сигнала принимается квадрат модуля его ДПФ или МСДПФ (если требуются значения спектра в произвольно расположенных точках), а для вычисления используются алгоритмы БПФ и усеченные алгоритмы БПФ (если требуется определить только часть отсчетов спектра). Разрешающая способность такого метода по частоте равна ширине полосы (для двумерных сигналов — площади пространственного спектра), поделенной на количество отсчетов последовательности, полученной в результате дискретизации сигнала. [c.194]

Хотя теорема о дискретном представлении использовалась ранее Виттакером в теории интерполяции, в современную теорию связи ввел ее Шеннон. По существу, [c.235]

Теорема о дискретном представлении гласит следующее Если функция / (х) не содержит частот, больших, чем Л периодов на 1 мм, то она полностью определяется путем задания ее ординат в последовательных точках, отстоящих в пространстве друг от друга на расстоянии 1/2Й мм . При доказательстве этой важной теоремы мы будем рассматривать спектр функции / (t) как произведение периодической функции Ёр (а) и одиночного прямоугольного импульса гес1 со, так что Е (со) = Ер (со) гес1 со удовлетворяет условиям теоремы о дискретном представлении (фиг. А.2). [c.235]

Прош,е говоря, в теореме о дискретном представлении утверждается, что отправителю, находяш,емуся в Филадельфии и желаюш,ему передать сообщение / х) в Бостон, не нужно передавать полностью все значения кривой, а достаточно передать только ординаты кривой, отстоящие друг от друга на расстоянии Ц2К. Если и отправителю, и получателю известна ширина спектра сообщения, то получатель в Бостоне может затем воспроизвести [c.236]

Примечание. Теорема 3 интересна тем, что позволяет свести исследование представлений КАС к исследованию представлений С -алгебры 21. Напомним, что алгебру 21 мы определяли как бесконечное прямое произведение тождественных экземпляров четырехмерной С -алгебры Шч, а поэтому можем пользоваться всеми средствами, применявшимися в 1 в случае представлений прямого произведения С -алгебр. Кроме того, теперь у нас есть одно дополнительное упрошение, а именно алгебры гНу теперь конечномерны. С одним из следствий, к которым приводит данное обстоятельство, мы уже встречались в теореме 2. В другой связи алгебра 21 будет рассмотрена нами в гл. 4. Отметим, в частности, что теорема 3 позволяет получать аналоги различных следствий из теоремы И, приведенной в гл. 3, 1. Приведем лишь один пример. Дискретные представления, полученные в 1 как частные случаи представлений НППП, возникают точно таким же образом снова и с точностью до унитарной эквивалентности определяются классом эквивалентности [п] бесконечных последовательностей т = = /Иу 2+ Шу — О или 1 . Представление, ассоциированное с последовательностью т = 0 7 2+ , выделяется среди дискретных представлений как стандартное представление в пространстве Фока, построенное для вакуума ). [c.350]

Начиная с 70-х годов, преимущества широкого изучения действия общих групп стали очевидными и соответствующая теория интенсивно развивалась в тесном взаимодействии с теорией представлений, теорией групп Ли и дифференциальной геометрией. При этом, в свою очередь, эргодические методы дали много нового и для теории групп Ли (например, в теории арифметических подгрупп Мостова—Маргулиса) и теории представлений. Особенно важно, что метрические задачи для групп R , групп движений и др. стали широко использоваться в математической физике. В самое последнее время активно изучаются действия бесконечномерных ( больших ) групп (например, групп диффеоморфизмов, токов и др.). Различие между локально к01мпактными группами и остальными в эргодической теории очень существенно, а именно, орбиты действия не локально компактной группы могут не иметь даже квазиинвариантной меры поэтому разбиение на орбиты, разложение на эргодические компоненты могут быть не определены корректно. Для локально компактных групп эти вопросы решаются так же, как и для групп Z и R. Здесь мы будем рассматривать лишь локально компактные группы. Остановимся на немногих общих вопросах определение действия групп, эргодические теоремы, характеризация дискретного спектра. [c.79]

Унитарное представление группы О имеет по определению чисто точечный, или дискретный, спектр, если оно есть прямая сумма конечномерных неприводимых представлений. Для группы 2 это определение совпадает с обычным определением чисто точечного спектра (ограничение на конечность кратности отсутствует). Теорема Неймана утверждает, что для 0 = 2 и эргодического действия собственные числа (спектр) образуют счетную подгруппу в 5, кроме того, по спектру действие восстанавливается однозначно с точностью до метрического изоморфизма и может быть реализовано сдвигом на коммутативной компактной группе, а именно, на группе характеров спектра. Тем самьш любая счетная подгруппа может быть спектром некоторой динамической системы (см. гл. 2, 2). Обобщение Макки состоит в следующем. [c.84]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...