Доказательство теорем о неинтегрируемости

Доказательство теоремы 1 основано на методе работы [81] (см. п. 1 2). Оно использует тот факт, что в каждом классе свободно гомотопных путей на М имеется неустойчивая замкнутая геодезическая. Существование замкнутых геодезических (без анализа устойчивости) на многообразиях с выпуклой границей было отмечено в классических работах Уиттекера [163] и Биркгофа [18]. Вместо группы гомологий, примененной для доказательства неинтегрируемости в случае пустого дМ, здесь используются Другие топологические инварианты [25]. [c.142]

Таким образом, неинтегрируемые системы всюду плотны в Ж В частности, всюду плотны гамильтоновы системы, для которых расходится преобразование Биркгофа. Идея доказательства теоремы состоит в следующем. Пусть [c.254]

Теорема Пуанкаре о несуществовании аналитических интегралов была доказана впервые в знаменитом мемуаре О проблеме трех тел и об уравнениях динамики [13] с использованием невырожденных периодических решений. Другое доказательство неинтегрируемости, данное в пятой главе Новых методов небесной механики [1], отличается от первого, как замечает сам Пуанкаре, только формой. В том и другом случае используется по существу тот факт, что резонансные торы общего положения невозмущенной задачи распадаются при возмущении. [c.36]

Более того, основная идея доказательства и более поздней теоремы Зигеля о неинтегрируемости гамильтоновых систем вблизи положений устойчивого равновесия [14] тоже восходит к Пуанкаре. Рассуждения основаны на подробном исследовании некоторых множеств долгопериодических решений канонических систем дифференциальных уравнений. [c.36]

Замечание. Основная идея проделанных рассуждений содержится в первом доказательстве Пуанкаре общей теоремы о неинтегрируемости канонических уравнений, близких к интегрируемым ([13, 22]). [c.98]

Теорема 1 подсказывает следующий способ доказательства неинтегрируемости динамических систем. Предположим, что совокупность невырожденных периодических решений аналитической системы (8.1) образует ключевое множество для класса функций, аналитических на М. Тогда, очевидно, система (8.1) не допускает непостоянных интегралов, аналитических на всем М. [c.221]

Еще один метод доказательства неинтегрируемости гамильтоновых систем основан на оценках снизу коэффициентов степенных рядов для формальных интегралов, существующих по теореме Биркгофа (см. 11 гл. II). Причиной расходимости здесь снова оказываются аномально малые знаменатели — почти резонансные соотношения между частотами малых колебаний в окрестности положений равновесия. [c.309]

Впоследствии другое доказательство этого результата для случая геодезического потока (когда Ь = Ьч) было дано В. Н. Коло-кольцовым [24]. Из-за свойства однородности уравнений движения здесь можно ограничиться рассмотрением полиномиальных интегралов. Обобщение теоремы о неинтегрируемости для систем с добавочными гироскопическими силами (когда Ь ФО) дано С. В. Болотиным [7]. Теорема 2 — дискретный аналог этих результатов. Отметим ряд следствий. [c.134]

Теорема Пуанкаре дает нам метод доказательства неинтегрируемости если траектории невырожденных периодических решений заполняют фазовое пространство всюду плотно или хотя бы это множество обладает ключевым свойством, то гамильтонова система не имеет дополнительного аналитического интеграла. По-видимому, в гамильтоновых системах общего положения периодические траектории действительно всюду плотны (Пуанкаре (34), п. 36). Это пока не доказано. Отметим в связи с гипотезой Пуанкаре следующий результат, касающийся геодезических потоков на римановых многообразиях отрицательной кривизны все периодические решения имеют гиперболический тип и множество их траекторий всюду плотно заполняет фазовое пространство [3]. [c.230]

Принципиальной основой доказательства неинтегрируемости возмущенных уравнений является лемма 1 если Р=Ро 1. ф) + -Ье 1(/, ф)+... —первый интеграл канонических уравнений (1), то 0 не зависит от ф и функции Но и Ро зависимы на множестве Пуанкаре. Первая часть леммы вытекает из невырожденности невозмущенной задачи. Используя теорему 3, мы докажем зависимость функций Но и Ро на множестве невозмущенных торов / = / , которые удовлетворяют условиям теоремы 4 и неравенству (5). [c.231]

Теорема 21 удачно применена С. В. Болотиным для доказательства неинтегрируемости задачи о движении точки в гравитационном поле п неподвижных центров при п>2 (см. [551). Напомним, что значениям п=1 и п = 2 соответствуют интегрируемые случаи Кеплера и Эйлера. [c.267]

С точки зрения доказательства неинтегрируемости случай л, = flj является более сложным, чем случай общего положения. Методом расщепления сепаратрис такое доказательство было проведено в [19] (при ВаО). Бопее сильные с точки зрения выделения интегрируемых случаев результаты были получены методом Гюссона в работе [21], в которой были доказаны две теоремы. [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...