ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Доказательство теорем о неинтегрируемости из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Предположим, что гамильтонова система имеет на Еь бесконечно дифференцируемый первый интеграл Г д,(р). Любой его некритический уровень есть объединение некоторого числа двумерных инвариантных торов. Рассмотрим в кокасательной плоскости Т М окружность 3 , состоя1цую из векторов р, для которых Т р, д) -Ь (5) = Н. Каждому вектору р Е 3 соответствует единственное движение д Ь),р Ь) с начальными условиями д(0) = д, р(0) = = р на этом движениьОфункция Г постоянна. Импульс р назовем критическим, если критическим является соответствующее значение интеграла Г. Покажем, что существует бесконечно много различных критических импульсов. Если число критических импульсов конечно, то окружность 3 так разбивается на конечное число открытых секторов Д1.Д , что любой импульс р е Д, (г = I. п) является некритическим. [c.138] По условию а) число различных критических значений функции F Eh R конечно. Следовательно, при зафиксированном выше значении q Е М функция F[q, p), ip G 5 , бесконечно много раз принимает одно и то же значение. Тогда, по условию 6), F q,tp) постоянна на (т. е. не зависит от р). Поверхность М связна и компактна, поэтому любые две ее точки можно соединить кратчайшей геодезической. Функция F постоянна вдоль каждого движения, поэтому принимает одно и то же значение во всех точках q G M, удовлетворяющих условию б). Согласно предположению, множество таких точек всюду плотно на М, поэтому rt непрерывности F = onst. Теорема доказана. [c.139] Лемма 3. Имеет место тождество Р г) = 0. [c.140] Вернуться к основной статье