Теорема Якоби и ее приложения

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМА ЯКОБИ, ПРИЛОЖЕНИЯ [c.466]

Для того, чтобы доказать эргодичность, достаточно убедиться в том, что каждый слой всюду плотен (см. приложение 11) или что он не замкнут (теорема Якоби, приложение 1). Докажем это от противного. [c.75]

Так как число Л2 —1 иррационально, кривая 7 плотна на М (теорема Якоби, приложение 1). С другой стороны, если ш = х у) — точка кривой 7, то [c.126]

П. Теорема Якоби и ее приложения [c.367]

Последний множитель. Рассмотрим приложение теоремы Якоби [c.452]

Замечание 1. По теореме Якоби, согласно которой скобка Пуассона двух интегралов снова является интегралом, их полное семейство образует некоторую, вообще говоря, бесконечномерную алгебру Ли. Один из таких примеров рассмотрен в приложении. [c.75]

Приложение 1 Теорема Якоби [c.114]

Замечания по теореме Гамильтона — Якоби. Эта изящная теорема, доказанная в 16.2 и 16.4, имеет фундаментальное значение как для теории, так и для приложений. До сих пор, исследуя динамическую систему какого-либо частного вида, мы составляли уравнения движения, после чего задача сводилась к интегрированию этих уравнений. Совершенно иначе обстоит дело в методе Гамильтона — Якоби. Как только найден один полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных, сразу могут быть написаны интегралы уравнений движения. Вопрос заключается лишь в том, насколько просто может быть найден полный интеграл. Однако, как будет показано, для большей части задач классической механики нахождение полного интеграла не вызывает каких-либо затруднений. [c.290]

Большинство систем, встречающихся в приложениях, консервативны, и поэтому теорема Гамильтона — Якоби чаще всего применяется в указанной выше форме. Практически обычно начинают не с дифференциального уравнения Гамильтона, а с модифицированного уравнения" в частных производных (16.5.4). [c.290]

Однородное поле. Рассмотрим теперь приложения теоремы Гамильтона — Якоби к решению конкретных задач. Начнем с исследования трех простых примеров, для которых в 15.9 мы нашли явный вид главной функции. Эта функция сама представляет полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных, но те полные интегралы, которые мы получим для каждого из рассматриваемых случаев, фактически не будут главными функциями. [c.291]

В заключение остановимся коротко на одном обстоятельстве, имеющем важное значение для приложений теоремы Гамильтона — Якоби. Мы видели, [c.294]

Пока все хорошо, однако, когда мы приступим, например, к выводу выражения для Ср, то ощутим временные затруднения, так как эта величина определена как частная производная при постоянном р, а не при постоянном 5 или V. Это означает, что нам придется произвести замену переменных. Поскольку аналогичные затруднения возникают при выводе других производных характеристик, нам нужен какой-то систематический подход к этому вопросу. Реализовать такой подход позволяет использование преобразования Якоби, для которого соответствующие теоремы приводятся в приложении Ж, помещенном в конце настоящей главы. [c.315]

Резюме. Принцип Якоби связывает движение голо-номных консервативных систем и риманову геометрию. В частности, если система движется под действием собственной инерции в отсутствии приложенных сил, то изображающая эту систему С-точка описывает геодезическую (кратчайшую) линию в пространстве конфигураций, которое является п-мерным римановым пространством. Из теоремы о сохранении энергии следует к тому же, что движение происходит с ио-стояннной скоростью. Все это является естественным обобщением обычного закона инерции, который утверждает, что при наличии лишь собственной инерции частица движется по прямой линии с постоянной скоростью. [c.168]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Применение симметрий к проблеме интегрирования уравнений аналитической механики было блестяще продемопстрировапо Якоби (К. Ja obi) в 1884 г. в его Лекциях по динамике .Теорема Петер (1918 г.), в которой в полной общности были сформулированы представления о группе вариациоппых симметрий, и установлена их связь с законами сохранения, безусловно является одним из самых выдающихся результатов математической физики уходящего столетия. Однако вплоть до недавнего времени эта теорема практически не имела новых существенных приложений. [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...