Группа гильбертовом пространстве

Классическое понятие поля возникло из стремления отказаться от представления о действии на расстоянии при описании электромагнитных и гравитационных явлений. В этих важных случаях поле обладает двумя основными свойствами (1) оно наблюдаемо и (2) оно определяется набором функций в пространстве-времени с определенными трансформационными свойствами относительно соответствующей группы преобразований координат. Поскольку в квантовой механике наблюдаемые представляются эрмитовыми операторами, действующими в гильбертовом пространстве векторов состояний, то следует ожидать, что в релятивистской квантовой механике аналогом классического наблюдаемого поля должен быть набор эрмитовых операторов, определенных в каждой точке пространства-времени и обладающих заданными трансформационными свойствами относительно соответствующей группы. В первой части этой главы формулируется такое математическое определение поля в квантовой механике, которое находилось бы в согласии с этими общими идеями. Оказывается, что представляют интерес не только наблю- [c.134]

Состояния теории описываются единичными лучами в сепарабельном гильбертовом пространстве Ж. Релятивистский закон преобразования состояний задается непрерывным унитарным представлением неоднородной группы 8Ь 2, С) а, А - и(а, А). [c.136]

Кроме того, любая другая теория поля с теми же вакуумными средними унитарно эквивалентна данной теории. Иными словами, если Ж — гильбертово пространство, а, Л -)-(а. Л)— непрерывное унитарное представление группы 3 в нем, Toi единственный вектор в Ж, инвариантный относительно /i(a,Л), а поло ф1 (ж)— скалярное поле, определенное в области Du и обладающее свойством [c.166]

Квантовая механика Гильбертово пространство, теория представлений групп [c.3]

Именно это свойство в дальнейшем мы будем иметь в виду, говоря, что / — непрерывная функция положительного типа. Обратно, если f (д) — любая непрерывная функция положительного типа, то существует слабо непрерывное унитарное представление группы С на некотором гильбертовом пространстве Ж и вектор Ч Ж, циклический для е О , такие, что / = ( Р, UgW). Более того, функция / определяет I/ с точностью до унитарной эквивалентности. Этот результат [79, гл. 13, 4, п. 5] напоминает конструкцию ГНС для С -алгебр. Как мы сейчас увидим, такое сходство не случайно. [c.221]

Теперь мы возвращаемся к случаю, когда задано произвольное слабо непрерывное представление g- Ug группы О унитарными операторами, действующими на гильбертовом пространстве Ж. Для каждой функции / из 5 (С) определим оператор [c.221]

Теорема 6. Пусть Ж — сепарабельное гильбертово пространство, и (а) I а е R и V (6) й е R — две слабо непрерывные однопараметрические группы унитарных операторов, действующих на Ж и таких, что [c.300]

Определение 1.1. Две динамические системы, действующие в пространствах М, Ж, и (М2, Жч, [аз), называются спектрально эквивалентными, если существует изоморфизм гильбертовых пространств Ь (Ми Ж, к ) и (Мг, 2, м-з). переводящий действие группы или полугруппы /1 ( /1" ) в действие группы или полугруппы 112 ( 2" ). [c.36]

В гильбертовом пространстве М, ц) индуцируется унитарное представление группы С, порожденное действием О с помощью правых сдвигов, т. е. Ugf x)=f xg), хбГ ( , gбG [c.165]

Далее будем предполагать, что группе (58л) можно поставить в соответствие гильбертово пространство представления, равное прямой ортогональной сумме линейных подпространств )= 00 [c.246]

Компактные группы. Это Г., в к-рых из каждой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Компактные Г. имеют конечный объём . Более точно, инвариантная мера Г. конечна в том и только в том случае, если Г. компактна мера на Г. паз. инвариантной, если меры подмножеств В ш gB равны для любого подмножества BdG и элемента g G). Среди дискретных Г. компактными являются только конечные Г. Примеры компактных Г. Г. вращений окружности и сферы (и вообще Г. движений компактны многообразий), Г. унитарных преобразоваиий в конечномерном гильбертовом пространстве и (и) и Г. ортогональных преобразований в конечномерном евклидовом пространстве 0(п). [c.542]

Ли алгебру, причём числа наз. структурными константами соответствующей Ли группы, а величины А1,...,А — генераторами этой группы. Реализация генераторов А1,...,А самосопряжёнными операторами в гильбертовом пространстве или конечыо,мерном евклидовом пространстве наз. представлением алгебры Ли. Приведём нек-рые примеры. [c.575]

Представления некоторых групп. Коммутативные г Р У п п ы. Любое неприводимое унитарное представление локально компактной коммутативной группы одномерно, при этом каждому элементу группы ставится в соответствие комплексное число ехр(га). Любое представление коммутативной группы ограни-чеНнымй операторами в гильбертовом пространстве является суммой (дискретной, если группа компактна) одномерных представлений. [c.102]

У.п. данного /г-мерного пространства образуют группу относительно умножения преобразований, называемую унитарной группой и обозначаемую U (и), УНИТАРНЫЙ ОПЕРАТОР—линейный оператор V, отображающий предгильбертово пространство (в частности, гильбертово пространство) X в предаильбертово пространство Y и сохраняющий нормы (или длины векторов). Ли-нейный оператор унитарен тогда и только тогда, когда (х, y) = (Ux, Uy) для всех х, уеХ. Наиболее важный случай У. о.— отображение гильбертова пространства в себя, то есть унитарные преобразования. Характеристическими признаками унитарности линейного оператора U-. //-+Я являются I) =1(1—тождественное преобразование), т е. = где (7 —сопряжённый оператор [c.225]

Выражения Е(8), которые могут появиться в теории, инвариантной относительно специальной группы Лоренца, а тЭ(Кже относительно гручшы трансляций, не могут быть произвольными, в частности, имеется лишь одно р, при котором возможен дискретный точечный спектр р = 0. Легко видеть, почему так должно быть. Если бы было = р Тр и (Тр, Тр) = 1 при каком-то р ф О, то 7(0, А)Тр удовлетворяло бы Р> 7(0, А)Тр = = (Ар) U(О, А)Ч р, причем, когда А пробегает, векторы и (0,А)Тр были бы непрерывным семейством нормированных состояний, ортогональных при А р ф Кгр, что невозможно в сепарабельном гильбертовом пространстве. Интересно, что это позволяет проще охарактеризовать вакуумное состояние это единственная нормируемая собственная функция Р или Р или РЧ [c.130]

Что пока не ясно —это имеем ли мы на самом деле пред ставление. Легко видеть, что наши генераторы образуют са мосопряженное представление алгебры Ли группы Пуанкаре Однако хорошо известно, что для того, чтобы экспоненты об разовывали представление группы, необходимы некоторые до полнительные условия (см. [61,62]). Проверить эти условия трудно. Поэтому мы пойдем другим путем. Мы уже знаем, что имеется смешанное локальное представление группы Ед в Ж, т. е. некоторая окрестность элемента 11 допускает представление, вообще говоря, неограниченными операторами в гильбертовом пространстве имеющими область определения T a,. 0. Наиг план состоит в том, чтобы с помощью аналитического продолл<ения закона группового умножения получить унитарное представление группы Это требует известной аккуратности, так как мы не можем произвольно продолжать по всем групповым параметрам. [c.182]

Теорема 8.8. Существует действующее в гильбертовом пространстве Ж унитарное представление собственной ортохронной группы Лоренца (или, точнее, ее универсальной накрывающей). Оно единственным образом определяется по представлению окрестности единицы U а Еа, индуцированному обычными эвклидовыми движениями в Fa , Е- [c.186]

Лемма. Пусть g->Ug—слабо непрерывное представление усреднимой группы G унитарными операторами, действующими в некотором гильбертовом пространстве Ж. Тогда для любого инвариантного среднего ц на G и любых векторов Ф, Ф из Ж справедливо соотношение [c.231]

Насколько известно автору, то обстоятельство, что проведение различия между группой симметрии О и эволюцией во времени не сказывается на доказательстве теоремы 14, было впервые отмечено Штермером [376]. Приведенное нами доказательство воспроизводит предложенное Штермером [380] доказательство следующего утверждения Пусть 3№— полуконечный фактор, действующий на некотором гильбертовом пространстве а — группа унитарных операторов на таких, что иШи = Ш для всех U Предположим, что существует единичный вектор Ч удовлетворяющий следующим условиям 1) вектор Ч — разделяющий для 3№ 2) множество W A совпадает с множеством векторов таких, что 1/Ф = Ф для всех Тогда фактор 3№ конечен со следом 5р(Л) = (Ч , для всех ЛеЗИ . Отметим, в частности, что Штермер в своем доказательстве не требует усреднимости группы G и лишь предполагает, что она действует П-абелевым образом. Это обеспечивает ему большую общность, что особенно ценно при рассмотрении релятивистских теорий поля, в которых, очевидно, условие КМШ на ф необходимо заменить предположением о том, что Ф — (циклический и) разделяющий вектор для фактора Яф (Я). Представленное нами несколько более простое доказательство остается в силе для статистической механики при допущениях, достаточно общих для того, чтобы охватывать все наиболее интересные случаи. [c.273]

Всякое измеримое действие является, как нетрудно видеть, и непрерывным. Для доказательства нужно ввести операторы Ug и воспользоваться теоремой о том, что из измеримости на G функции Ugfu /2) при всех fi, /2 из гильбертова пространства, в котором действует унитарное представление группы g<- Ug, следует ее непрерывность. [c.80]

Теорема 2.3 (Стоун). Оператор А в гильбертовом пространстве Н порождает группу унитарных операторов G t) тогда и только тогда, когда он является кососамосопряженным. [c.50]

Смотреть страницы где упоминается термин Группа гильбертовом пространстве : [c.541] [c.645] [c.200] [c.629] [c.144] [c.228] [c.27] [c.71] [c.221] [c.226] [c.284] [c.299] [c.315] [c.316] [c.317] [c.18] [c.97] [c.235] [c.236] [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...