Бозе-газ химический потенциал

Так как при высоких температурах допустимо пренебречь квантованием энергии, это выражение должно совпадать со статистическим интегралом, деленным на объем ячейки а, так как g при переходе к интегрированию переходит в /Г / а, а не в с1Г. Сравнивая (45.3) с Z /a из формулы (40.4), находим а = Мы обращаем внимание читателя на то, что в этом параграфе мы впервые решили поставленную в 33 задачу — нашли объем элементарной ячейки а для шестимерного / -пространства трех поступательных степеней свободы. Этот объем оказался равным В следующем параграфе и в 48 мы убедимся в том, что аналогичные результаты получаются и при рассмотрении вращательных и колебательных степеней свободы каждая степень свободы вносит в объем ячейки а множитель к. Подчеркнем, что этот результат мы получаем в рамках распределения Максвелла - Больцмана для невырожденного газа, но с учетом квантования энергии. В главе V мы убедимся в том, что объем ячейки а может быть найден экспериментально и без учета квантования энергии, но на объектах, подчиняющихся распределениям Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака, а именно — сильно вырожденных газах. Заметим в заключение этого параграфа, что поскольку характеристическая температура поступательного движения Т1 должна считаться равной нулю, квантование поступательного движения фактически не вносит никаких изменений в полученные в 40 формулы для внутренней энергии, теплоемкости, энтропии, химического потенциала. [c.219]

Как средство математического описания явления, понятие квазичастиц, и в частности фононов, является весьма удобным. Так же как и для фотонов, числа фононов в ячейке не ограничены, и, следовательно, фононы подчиняются распределению Бозе - Эйнштейна. При этом химический потенциал фононного газа следует считать равным нулю, так как, аналогично случаю фотонного газа, полное число фононов не фиксировано — фононы непрерывно поглощаются и излучаются кристаллической решеткой. [c.256]

При Т < То химический потенциал бозе-газа остается макроскопически малым — в термодинамическом пределе равным нулю, а число частиц на основном уровне становится макроскопически большим — сравнимым с N. При этом выражение (54.7) при ц = 0 определяет уже не полное число частиц, а число частиц N с е > 0, [c.266]

Химический потенциал отрицателен. При понижении температуры интеграл будет сохранять свое значение, если химический потенциал будет возрастать. Однако в отличие от Бозе-газа здесь [х может принимать и положительные значения. Максимального значения р-о химический потенциал достигнет при Т — 0. [c.159]

В заключение этого параграфа обсудим кратко вопрос о выборе термодинамических переменных. До сих пор в качестве независимой переменной мы пользовались полным числом частиц в системе. Это было связано с тем обстоятельством, что при построении теории возмущений нам пришлось исходить из характеристик идеального бозе-газа, в котором при конечном химическом потенциале бозе-конденса-ция отсутствует как известно, химический потенциал идеального бозе-газа тождественно равен нулю на всем интервале температур от нуля до температуры конденсации Т . Для системы взаимодействующих частиц химический потенциал х не равен нулю и поэтому является такой же равноправной термодинамической переменной, как и полное число частиц. Как обычно, значение ц может быть найдено из условия, чтобы среднее число частиц в системе равнялось данному действительному числу частиц. По существу, именно это условие и выражает соотношение (23.19). Переход к химическому потенциалу х в качестве независимой переменной представляет то формальное удобство, что позволяет избавиться от дополнительных временных зависимостей в формулах (23.18), возникающих в матричных элементах от вершин с 1о(0 и t). [c.274]

Рассмотрим идеальный бозе-газ, представляющий собой систему из N частиц, находящихся в объеме V. Обозначим через N0 число частиц в нижнем одночастичном состоянии (импульс р = 0), а через /У — число частиц в более высоких состояниях р Ф 0). Показать, что при температурах, лежащих ниже некоторого критического значения Тс, величина сравнима с N и что химический потенциал л в этой области равен нулю (бозе-эйнштейновская конденсация). [c.269]

Фиг. 88. Химический потенциал идеального бозе-газа

Кривые температурной зависимости величины Мо/М, химического потенциала и удельной теплоемкости для идеального бозе-газа приведены на фиг. 87—89. [c.271]

В случае слабого вырождения химический потенциал отрицателен для бозе-газа и положителен для ферми-газа. В этом случае мы можем вычислить [c.315]

Решение. В случае 0=0 все частицы идеального бозе-газа, занимая низшее энергетическое состояние, находятся на уровне z= =0, образуя на дне сосуда конденсат i V o=iV (для сравнения с ферми- случаем см. задачу 9). Если при 0= О конденсат на уровне 2=0 еще сохраняется, то газ на этом уровне вырожден и его химический потенциал fx,(n(0), 0)=О. Поэтому общее условие равновесия газа в поле mgz (см. гл. I, 6, п. б) приобретает вид [c.571]

Эта ф-ла совпадает с энергетич. распределением ч-ц газа, подчиняющихся статистике Бозе Эйнштейна, когда химический потенциал газа /х=0 (см. Статистическая физика). Последнее означает, что Ф.— бозоны, а 1=0 — результат того, что число Ф. Л ф в кристалле не сохраняется, а зависит от темп-ры. Для всех твёрдых тел Я при и при [c.821]

Отметим, что бозе-конденсация происходит только в системе с фиксированным числом бозонов (Ы = onst). В фотонном и фононном газах химический потенциал тождественно равен нулю, и конденсация не происходит ни при каких температурах, [c.271]

Следовательно, дроби равны общей постоянной. Обозначив ее и/квТ получим ДЛЯ интенсивности формулу Бозе—Эйнштейна. То обстоятельство, что это не обязательно формула Планка, отражает сохранение числа фотонов при рассеянии. Однако коэффициенты первичного излучения и истинного поглощения фотонов во внеинтегральных слагаемых подчиняются соотношению Кирхгофа, которое с учетом вьшужденного излучения имеет вид ej /ае = (2/ц/ /с )е / . Из указанного соотношения следует, что химический потенциал фотонного газа /х = О и интенсивность определяется формулой Планка (14). [c.22]

Формулу Планка можно также получить, рассматривая равновесное излучение в полости как фотонный газ, к которому применима статистика Бозе — Эйнштейна (см. т. И, 82). Особенность этого газа состоит в том, что в результате взаимодействия с веществом фотоны могут рождаться и уничтожаться. Число их Л7 в полости не остается постоянным. При равновесии оно устанавливается таким, что свободная энергия F Т, V, N) при заданных Т и V обращается в минимум, а потому dFJdN = 0. Но dFIdN есть химический потенциал у, газа. Таким образом, для фотонов должно [c.703]

Читатели, знакомые с теорией идеального бозе-газа, заметят, что выражение (23.10) является частным случаем функции распределения Бозе — Эйнштейна и определяет число бозонов с энергией (к), находягп,ихся в тепловом равновесии при температуре Г, если химический потенциал равен нулю. Отсутствие свободы в выборе ц связано с тем, что в случае фононов полное число бозонов при тепловом равновесии не служит независимой переменной, которую мы можем задавать по своему усмотрению (что справедливо, например, для атомов Не ), а целиком определяется температурой. [Химический потенциал по определению есть производная по числу частиц N от свободной энергии Р или термодинамического потенциала Гиббса С, т. е. ц = (дР йМ)т< у = (дб1дЩ-р р. Так как число фононов не сохраняется, оно должно быть определено из условия минимума Р или С, которое совпадает с равенством ( = 0. Из этого вывода видно, что равенство нулю химического потенциала есть общее свойство всех квазичастиц.— Прим. ред.] [c.81]

Решение. В случае 0 = О все частицы идеального бозе-газа, занимая низшее энергетическое состояние, находятся на уровне г = О, образуя надне сосуда конденсат No = N (для сравнений с ферми-случаем см. задачу 10). Если при в фО конденсат на уровне г = О еше сохраняется, то газ на этом уровне вырожден и его химический потенциал ii(n 0), в) = 0. Поэтому общее условие равновесия газа в поле mgz (см. том 1, 6, п. б)) приобретает вид [c.254]

В области в > во химический потенциал парастати чес кого идеального газа начинает все более изменяться в сторону отрицательных значений / < 0. В случае же 0 > о (или характерные особенности парастатистики (так же, как в бозе- и ферми-случаях) вообще теряются, и мы приходим к больцмановскому пределу [c.260]

Интеграл ) в (7) определяет число ато.мов Л/е(т) на всех возбужденных орбиталях, причем п(е, т)—функция распределения Бозе — Эйнштейна. Этот интеграл дает лишь число атомов на возбужденных орбиталях и не учитывает атомы на основной орбитали, так как при е = О функция (е) равна нулю. Для правильного определения числа атомов мы должны отдельно найти заселенность Л о орбитали с е = 0. Хотя речь здесь идет всего только об одной орбитали, значение Мо для газа бозонов может быть очень велико. Это обстоятельство играет исключительно важную роль лишь для бозонных газов. В дальнейшем мы будем называть Мо числом атоыов сверхтекучей компоненты, а Л е — числом атомов нормальной компоненты жидкого гелия II. Основная особенность результатов, которые будут получены ниже, состоит в том, что при низких температурах химический потенциал ц в энергетической шкале расположен намного ближе к основной орбитали, чем первая возбужденная орбиталь. Эта близость ц, к основной орбитали приводит к тому, что большая часть системы оказывается именно на ней. [c.234]

Рис. 209. Температурное поведение химического потенциала идеального бозе-газа [1 = 0 при в<0о ц (-0-0о)2 при 0г0 р, = е1п (0/0о)з/2/ (3/2) при 0>0о

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...