Ограниченная полутраектория

В настоящем параграфе мы будем рассматривать отдельные полутраектории или целые траектории такой системы, лежащие в некоторой ограниченной замкнутой области Су, с С. Такие полутраектории или целые траектории мы будем называть ограниченными. Очевидно, всякая полутраектория, выделенная из ограниченной полутраектории илп ограниченной целой траектории, также является ограниченной. Ограниченная полутраектория или ограниченная целая траектория не имеет точек, сколь угодно далеких в случае, когда область О не ограничена, или сколь угодно близких к границе области С в случае, когда С ограничена. [c.102]

Все дальнейшие предложения справедливы для ограниченных полутраекторий и траекторий. [c.107]

Основные определения. Предполагая, что данная динамическая система (I) определена в некоторой области С плоскости (х, у) (в частности, во всей плоскости), будем рассматривать только ограниченные полутраектории и траектории (см. 4, п. 1), т. е. полутраектории и траектории, лежащие в некоторой ограниченной замкнутой области сг С. В дальнейшем не будем это каждый раз оговаривать. [c.257]

Всякие две положительные (отрицательные) полутраектории, выделенные из одной и той же траектории, имеют одни и те же предельные точки. Рассматриваемые нами полутраектории (ограниченные на плоскости или произвольные на сфере) непременно имеют в силу компактности ограниченной замкнутой области или сферы по крайней мере одну предельную точку. Если полутраектория лежит целиком в области 0 с С, то и предельные точки ее принадлежат области С,. [c.103]

Замечание. Из теоремы 10 следует, в частности, что рассмотрение траектории или полутраектории на сфере 8 сводится к рассмотрению ограниченной траектории или полутраектории на плоскости. В самом деле, пусть Ь — какая-нибудь траектория на сфере. Так как траектория Ь нигде не плотна на сфере, то существует точка сферы, не лежащая на Ь и не являющаяся точкой сгущения для точек Ь. Существует, следовательно, область 1, не содержащая ни одной точки Ь. Если взять за центр стереографической проекции любую точку N области то замкнутая область Н = спроектируется в ограниченную замкнутую плоскую область Н, а траектория Ь — в траекторию Ь, лежащую вместе со своим замыканием внутри Н Н — образ области Я = при стереографической проекции). Это и означает, что рассмотрение траектории Ь на сфере сводится к рассмотрению ограниченной траектории Ь на плоскости. [c.107]

Мы можем без ограничения общности считать, что V есть круг с центром в точке О, внутри и на границе которого не содержится других состояний равновесия кроме точки О (так как О — изолированное состояние равновесия). Обозначим граничную окружность круга II через а. Покажем сначала, что существует положительная или отрицательная полутраектория, целиком лежащая в 11. Допустим, что такой полутраектории нет. Пусть о — окружность с центром в О, лежащая в 7 (т. е. внутри а), М — произвольная ее точка, Ь — траектория, проходящая при 1=1 через М (рис. 70). В силу сделанного допущения траектория Ь выходит из области и как при убывании, так и при возрастании Рассмотрим дугу АВ этой траектории, где А — ближайшая по < к значению точка входа Ь в О, а В — ближайшая по к значению to точка выхода Ь из П (эта дуга кроме своих концов А и В, через которые траектория Ь входит в О и выходит из и, может иметь внутренние точки, лежащие на окружности о. Тогда в этих точках траектории Ь касается окружности а (рис. 70)). Обозначим расстояние от точки О до дуги АВ траектории В через / (М). f (М) является положительной функцией, определенной на окружности о. [c.118]

Предположим теперь, что ни при каком I кривые не содержат внутри точки Р (рис. 169) так, что точка Р лежит вне всех кривых С1. Тогда, какую бы кривую Сг мы ни взяли, точки полутраектории Ь+, соответствующие значению < > ti+l, должны лежать вне Сг- Предположим, что область, ограниченная кривой С +1, не содержит области, ограниченной кривой Сг, и, следовательно, не содержит точек полутраектории соответствующих значениям I < < +1. Тогда в силу леммы 11 3 точки полутраектории Ь+, соответствующие значениям <> г + 2> должны лежать внутри кривой С +1 и, значит, внутри С +1 непременно должна лежать и точка Р. Но это противоречит сделанному предположению, и утверждение а) леммы доказано полностью. [c.281]

В случае 2) положительная полутраектория L системы (6) остается в ограниченной части плоскости и, следовательно, имеет со-предельное множество. [c.365]

Рассмотрим множество К всех предельных точек полутраектории целиком лежащей в ограниченной части плоскости множество ее предельных точек, очевидно, также лежит в ограниченной части плоскости. [c.46]

Теорема 9. Если разбиения на траектории, заданные двумя динамическими системами в ограниченной области С, тождественны, т. е. существует топологическое отображение области в себя, при котором траектории этих систем отображаются друг в друга, то орбитно-устойчивые полутраектории отображаются в орбитно-устойчивые, а орбитно-неустойчивые — в орбитно-неустойчивые. [c.52]

Ниже мы будем рассматривать только положительные полутраектории (целиком лежащие, как уже было сказано выше, в ограниченной области плоскости), так как все сказанное относительно положительных полутраекторий, очевидно, справедливо и для отрицательных полутраекторий (с заменой / на —1). [c.399]

Так как в силу сделанных предположений число состояний равновесия у рассматриваемой нами системы во всякой ограниченной области фазовой плоскости конечно, то из доказанной теоремы следует, в частности, что в том случае, когда среди предельных точек полутраектории нет точек, отличных от состояний равновесия, эта полутраектория будет иметь- одну и только одну предельную [c.401]

Возможные типы полутраекторий и их предельных множеств. Доказанные теоремы позволяют установить возможный характер множества предельных точек полутраектории, целиком лежащей в ограниченной части плоскости. Именно, это множество может быть одного из следующих типов I. Одно состояние равновесия. И. Одна замкнутая траектория. III. Совокупность состояний равновесия и траекторий, стремящихся к этим состояниям равновесия как при /-)-- -со, так и при t-> — оо. [c.409]

В ЭТОЙ главе под полутраекторией или траекторией мы будем, как правило, понимать ограниченную полутраекторию или ограниченную целую траекторию п не будем оговаривать этого особо. Кроме того, мы будем рассматривать также отдельные траектории или полутраектории динамических систем на сфере. Напомнпм, что всякая траектория на сфере является целой траекторией ( 2, теорема 7). [c.103]

Рассмотрим множество М (т ) . Так как L+ — ограниченная полутраектория или полутраектория на сфере, то множество М (т ) имеет по крайней мере одну точку сгущения М, лежащую вне илп на границе t/б (А) и Uf, (В). М является, очеввдно, предельной точкой для полутраектории (в силу самого определения предельной точки). [c.106]

Всякая ограниченная полутраектория /> стремится 1 предельному многкеству одного из типов а), б) и в). [c.113]

В случае динамических систем в плоских (ограниченных) областях рассмотрим ограниченную полутраекторию — одной из этих систем. Пусть С — область, в которой определена эта система. Полутраекторпя + лежит в некоторой области 6 1 целиком вместе с границей, принадлежащей С (6 1 а С). [c.260]

Как было выяснено в главе II, ограниченная полутраектория динамической системы (т. е. целиком легкащая в замкнутой области сг С) может быть одного из следующих типов [c.262]

Полутраектории, среди преде.1ьпых точек которых есть отличные от состояний равновесия. Пусть — незамкнутая ограниченная полутраектория, среди предельных точек которой есть отличные от состояния [c.280]

Обозначим через тот из криволине1П1ЫХ секторов, ограниченных полутраекториями Ь [+ и Ь щ, у которого все достаточные близкие к точке О точки лежат внутри кривой О1 (ср. лемму 9). Предположим, что дугой окружности С, входящей в границу этого сектора, является дуга М М1. Так как петля, образованная траекторией лежит внутри иегли, образованной траекторией Ьу, то, очевидно, точки и М , лоукат па дуге М М1. [c.329]

Пусть Y — лежащая внутри окружности С простая замкнутая кривая, состоящая нз части ( О полутраектории Ь, точки О, части РО полутраектории Ь1, дуги без контакта РВ дуги АВ траокторпи, проходяще через точки А пВ м дуги без контакта (рис. 203). Обозначим через да область внутри кривой у. Очевидно, эта область является частью одного из криволинейных секторов, ограниченных полутраекториями и Ь . Будем этот сектор обозначать через д. [c.338]

Пусть NI и Nz — точки, соответствующие точкам Ni и N2, расположенные на граничной окружности С окрестностп и. Обозначим через Fj часть обласгн Г, ограниченную полутраекторией т] > О, а = О, отрезком NiO полутраектории Lj и куском граничной кривой области Г [c.387]

Определение XV. Траектория Ь с ограниченной положительной полутраекторией) называется (о-орбитно-устойчивой или орбитноустойчивой при оо, если она (о-орбитноч/стойчива в любой своей точке. [c.257]

Доказательство. Для доказательства утверждсиия а) и1)сд-положим сначала, что существует такое ири котором кривая 6 содержит точку Р внутри (рис. 168), а значит, в силу связности континуума К и весь этот континуум внутри. В этом случае все точки полутраектории, соответствующие значениям I > < + 1, очевидно, должны лежать внутри Сг (так как если бы они лежали вне С,, то континуум К, преде.иь-ный для +, не мог бы лежать внутри С ). Следовательно, п область, ограниченная кривой Сг-м, содержится в области, ограниченно криво [c.280]

Следствие. Пусть g — тот из секторов, ограниченных двумя положительными (отрицательными) полутраекториями п Lt it Рис. 198. L im и LiMf), выделенными нз траекторий Ьу и 2 одной и той же эллиптической области, у которой все достаточно близкие к О точки принадлежат той же эллиптической области. [c.330]

Очевидно, все траектории, проходящие через часть А Ву дугп без контакта Я1, не выходя из части сектора gy, ограниченной этой частью дуги Я,, частями AqO и DyO полутраекторий LJij и Ь - и точкой О, ири [c.332]

И обозначим его через g ,. Сектор ограничен двумя положительными полутраекториями Р О и Pf +iO, точкой О и дугой без коптакта с концами Pk и Pk+i- При этом полутраектории Р О и Ph+iO принадлежат соответственно траекториям Ц и L ( петлям ), ограничивающим области gai и g(j2- Но тогда точки Pk и Pk+i, как принадлежащие различным эллиптическим областям, принадлежат и различным ячейкам. Следовательно, на дуге без контакта 1 , соединяющей точки Р и P +i, имеется по крайней мере одна точка М, принадлежащая границе ячейки. Проходящая через точку М траектория является особой (в силу определения ячеек) и в точке М входит при возрастании t внутрь области g . Следовательно, полутраектория Ьм является особой полутраекторией, стремящейся к точке О и лежащей между областями и go..- Лемма доказана. [c.357]

BhBk+i- Через стороны A Bf ш A +iBj +i Lj также не может выйти, так как эти стороны являются дугами других траекторий системы (10). Таким образом, мы показали, что при q О дуга j (соответствующая полутраектории L+ системы (I)) остается в ограниченной части полосы О < е < Q. [c.369]

Пусть VI и — параболические области. Тогда Ь а следовательно, и являются положительными полутраекториями, а и Д —отрицательными. При отображении (10) область Ру, ограниченная криволинейным треугольником 0А1К1Ё1, перейдет в область VI, ограниченную петлей ОА1К1О, так как отрезок ОВ1 оси т переходит в точку О (рис. 230). Реек как дуга есть дуга без контакта, а отображение (10) имеет [c.388]

Теорема П у а н к а р е —- Б е и д и к с о и а (I. ВепШхзоп). Пусть положительная полутраектория С -гладкого векторного поля с изолированными особыми точками на вещественной плоскости расположена в ограниченной области. Тогда оа-предель-ное множество соответствующей фазовой кривой может быть одного из следующих трех типов 1) особая точка, 2) цикл (замкнутая фазовая кривая), 3) объединение особых точек фазовых 1ф ь1х 1саждаГ стремится при - +оа к. [c.34]

Траекторию мы будем называть предельной траекторией для полутраектории или просто предельной траекторией. Очевидно, все точки Ь будут либо точками области О, либо точками границы О, т. е. I лежит в ограниченной части плоскости. Когда предельная точка траектории Ь является точкой самой этой траектории, то Ь называется самопредельной траекторией. В силу предыдущего, состояния равновесия и замкнутая траектория являются самопредель-ными. [c.400]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...