Аксиома алгебра

Аксиомы алгебры логики [c.176]

Автооператор 168 Агрегат машинный 5 Аксиомы алгебры логики 176 Анализ механизмов кинематический 81—82 [c.280]

Алгебра потоков излучения основывается на нескольких основных аксиомах, дающих возможность получать последующие предложения (теоремы) и непосредственные результаты (геометрические инварианты излучения) логическим путем, привлекая лишь несущественные дополнительные результаты и оперируя основными элементарными понятиями (мера множества прямых, точек и тому подобное). К числу аксиом, ха- [c.482]

Оптимизацию разработанных структурных схем ОУ проводят в соответствии с аксиомами булевой алгебры. [c.333]

Хотя теория меры выкристаллизовалась в результате анализа понятия масс и электрического заряда, наряду с понятиями объема и площади, эта теория в ее теперешнем виде удовлетворительна лишь для случая двух последних, но не двух первых понятий. Конечно, масса как функция является некоторой мерой, но теория меры не достаточна для построения такой функции. Это связано с тем, что теория меры относится к множествам, а наложения Л и соединения V тел, как мы видели в 1.3, вообще говоря, не совпадают с пересечениями П и объединениями U в алгебре множеств, даже в тех случаях, когда тела представляются множествами. Хорошая математическая теория массы должна быть полностью алгебраической теорией, в которой о телах предполагается только то, что они удовлетворяют аксиомам В1—В6 (предпочтительно даже обойтись без последней) ). Отмеченный недостаток касается больше ясности и элегантности теории, чем приложений, поскольку, как мы увидим в гл. II, понятия конфигурации и движения позволяют нам использовать в механике сплошных сред обычную теорию борелевской меры. [c.25]

Второе различие между нашими аксиомами и аксиомами Йордана, фон Неймана и Вигнера заключается в том, что мы не требуем существования в 91 конечного линейного базиса. Предположение о конечном базисе представляет собой весьма сильное ограничение и должно быть отброшено в любой общей теории, поскольку исключает всякую обычную квантовую теорию, формулируемую для бесконечномерного гильбертова пространства (например, описание квантовой частицы, движущейся вдоль действительной прямой ). Математическое упрощение, достигаемое введением такого ограничения, состоит в том, что тогда можно анализировать свойства алгебры 91, не используя в явном виде топологические понятия. В частности, Йордан, фон Нейман и Вигнер, исходя из своих аксиом, сумели доказать два важных результата, что само по себе свидетельствует о мощи избранного ими подхода. Первый из этих результатов заключался в возможности полного построения спектральной теории, второй — в проведении полной классификации всех реализаций аксиом Йордана, фон Неймана и Вигнера. [c.67]

С аксиоматической точки зрения мы могли бы заметить, что аксиома Сигала 11.4 (но не 11.5 ) излишняя. В то же время аксиомы непротиворечивы в том смысле, что мы уже располагаем некоторыми их реализациями. В частности, на каждой алгебре г-чисел (в том числе [366] и на исключительной [c.76]

Математический объект 91, определяемый аксиомами Сигала, мы будем в дальнейшем называть алгеброй Сигала. Проанализировав полученные нами до сих пор результаты, можно заметить, что изложенная выше теория (определяемая семью аксиомами о структуре) наделяет множество 91 всех наблюдаемых структурой алгебры Сигала. Отметим некоторые различия между системами аксиом Сигала и принятой нами. Прежде всего в нашем подходе особо подчеркивается та роль, которую мы хотим отвести состояниям в формулировке как алгебраической, так и топологической структуры теории. Однако необходимо ясно сознавать, что и в большей части проводимого Сигалом обоснования его системы аксиом в действительности неявно используется понятие состояния. Различие между нашими подходами заключается главным образом в том, что на более раннем этапе обоснования мы уделяли большее внимание понятию состояний с нулевой дисперсией. Это было необходимо для надлежащего обоснования степенной структуры на 91 (5-я аксиома) и, кроме того, позволило нам значительно раньше ввести понятие совместности наблюдаемых. Последнее понятие в свою очередь было использовано в нашей 6-й аксиоме, предопределяющей характер того обобщения классической механики, которое мы намереваемся рассматривать. Основное следствие из 6-й аксиомы состоит в том, что после ее введения симметризованное произведение А°В становится дистрибутивным (относительно сложения) и однородным (относительно умножения на скаляр). В работе Сигала также фигурирует формальное произведение , которое он определяет аналогично нашему симметризованному произведению и которое действительно совпадает с симметризованным произведением, когда алгебра 91 дистрибутивна. Однако Сигал не постулирует дистрибутивность в общем случае, и, более того, Шерману [366 удалось построить класс [c.76]

Нашими аксиомами можно воспользоваться, чтобы несколько уточнить один результат Шермана [365], согласно которому в алгебре Сигала 91 сумму квадратов элементов из й можно представить в виде квадрата некоторого элемента алгебры В свою очередь этот результат позволит нам получить больше информации относительно множества < . [c.82]

Примечание. Данное обстоятельство (по-видимому, не слишком хорошо известное среди физиков) нельзя целиком объяснить особым характером принятых нами допущений (и, в частности, излишне жесткой формулировкой нашей 4-й аксиомы о структуре). Отказ от состояний того типа, о котором говорится в теореме II, привел бы к довольно крутому расхождению (если оценивать его с математической точки зрения) с существующим формализмом, поскольку Сигал [356] доказал это следствие в рамках предложенной им системы аксиом (в которую входит и предположение о том, что сумма квадратов наблюдаемых есть квадрат некоторой наблюдаемой — положение, остающееся в силе, как доказал Шерман [365] и как мы уже отмечали, для любой алгебры Сигала). Кроме того, с физической точки зрения состояния, о которых идет речь в теореме И (и которые не являются нормальными в том смысле, в каком это принято понимать в теории С -алгебр), по-видимому, не вызывают серьезных физических возражений. В дальнейшем мы убедимся, что некоторые ненормальные состояния действительно возникают в теории рассеяния и при переходе к термодинамическому пределу в статистической механике. [c.89]

Лемма. Алгебру 9 , ассоциированную с % в силу 9-й аксиомы [c.99]

Теорема 14. Пусть 91 — алгебра всех наблюдаемых физической системы, а 9 — алгебра, ассоциированная с 91 в силу 9-й аксиомы [c.99]

Как нетрудно сообразить, эта аксиома выполняется автоматически, если предположить, что 21 — множество всех самосопряженных элементов С -алгебры. Тогда принцип неопределенности принимает свою обычную форму [c.104]

Эти аксиомы заменяют топологические аксиомы, сформулированные в гл. 1, 2. Их можно рассматривать как обобщение понятия алгебры фон Неймана по крайней мере в двух аспектах. Во-первых, они относятся к абстрактной структуре, не содержащей никаких указаний относительно реализации ее как алгебры операторов, действующих на гильбертовом пространстве. Во-вторых, в формулировке этих аксиом не встречается эквивалент обычного произведения АВ, а фигурирует лишь (имеющее лишь физический смысл) симметризованное произведение А°В. На основании лишь этой структуры, по-видимому, правильно передающей основные черты алгебр фон Неймана, сам фон Нейман [438] сумел вывести большинство резуль- [c.153]

Перечисленные нами свойства наделяют множество я (91) структурой, известной в математике под названием действительной коммутативной йордановой алгебры (или алгебры Иордана) ). закон композиции которой в нашем случае реализуется сложением, умножением на действительные числа и взятием симметризованного произведения. Как мы уже видели, структура такой алгебры позволяет определить понятие совместности наблюдаемых. Возникает естественный вопрос нельзя ли перенести структуру йордановой алгебры на само множество 91 Если бы это было возможно, то у нас имелись бы все основания утверждать, что нам удалось провести алгебраическую аксиоматизацию квантовой механики, не прибегая к фундаментальному постулату о гильбертовом пространстве. Заметим, что множество всех наблюдаемых квантовой системы, подчиняющейся правилам суперотбора ), также удовлетворяет всем названным нами аксиомам, но при этом не предполагается, что обратное утверждение постулата 1 справедливо в общем случае. Правило суперотбора сводится к тому, что из соотношения [c.53]

Теперь мы уже располагаем всем необходимым, чтобы попытаться феноменологически обосновать аксиомы алгебраического подхода. Наша задача — наделить упорядоченную пару множеств ( , ) структурой, достаточно сложной, чтобы мы могли воспользоваться существующими математическими методами, и в то же время не столь жесткой, чтобы этим исключалась возможность приложений, представляющих интерес для физики. Например, из 1 мы узнали, что постулаты 1 и 2, вероятно, слишком жесткие. После проведенного нами ранее анализа создается впечатление, что структуру множеств 91 и (по крайней мере в ее отношении к физике) можно правильно охарактеризовать, если допустить, что 51 является действительной коммутативной йордановой алгеброй )- Таким образом, наша первая задача состоит в обосновании именно такого выбора структуры. [c.55]

Этот результат был обобщен Сигалом [356] на случай произвольной алгебры Сигала 21. Основная трудность, которую пришлось преодолеть Сигалу, состояла в том, чтобы доказать следующее свойство множества определяемого как множество всех (действительных) линейных функционалов ф на 21 (рассматриваемой алгебре Сигала), которые удовлетворяют условиям (ф Л ) О для всех Л е и (ф /) = 1 если (ф Л) = О при всех ф е , то Л = 0. Иначе говоря, необходимо было доказать по линейности, что две наблюдаемые, совпадающие на всех состояниях, тождественны. Этот результат с физической точки зрения столь естествен, что мы приняли его в качестве нашей 2-й аксиомы. Нам неоднократно пришлось пользоваться этой аксиомой, когда мы проводили феноменологическое обоснование степенной структуры на 21. Следовательно, коль скоро известно, что 21 — алгебра Сигала, наша 2-я аксиома о структуре математически становится излишней, хотя с физической точки зрения она необходима для того, чтобы мы могли [c.85]

Как мы уже говорили в п. 3, элементы алгебры ЗС, удовлетворяющие соотношению Р =Р и называемые высказываниями ), настолько просты, что при разработке аксиоматического подхода к общей теории их можно было бы использовать в качестве структурных блоков теории. Начало этому направлению было положено Биркгофом и фон Нейманом [32]. Им же,следуют в своих учебниках по математическим основаниям квантовой механики Макки [265] и Яух [187]. Интересный анализ такого подхода можно найти в работах Пирона [295] и Вара-дараджана [424, 425]. Плаймен [297, 298] показал, каким образом можно видоизменить алгебраический подход для того, чтобы он удовлетворял основным требованиям, содержащимся в аксиомах Макки и Пирона. Пул [300, 301] сделал ряд критических замечаний относительно практического значения некоторых из обычных аксиом теории структур, используемых в исчислении высказываний, и указал на то, что исчислению высказываний можно было бы придать большую общность, если воспользоваться теорией -полугрупп Бэра. К числу достоинств подхода, основанного на исчислении высказываний, помимо его естественного изящества, следует отнести и то, что он позво- [c.90]

Установим прежде всего некоторые простейшие свойства тех элементов Р алгебры 21, которые удовлетворяют соотношению Р = Р. Это позволит нам прочувствовать смысл вводимой терминологии. Ничнем с одного замечания. Из нашей 5-й аксиомы о структуре следует, что для каждого состояния ф, имеющего нулевую дисперсию на Р, справедливы соотношения [c.91]

В последние годы математическая теория С -алгебр и их представлений достигла высокой степени совершенства. Математическое богатство этой теории, с одной стороны, и ее почти прямая связь с некоторыми наименее ограничивающими аксиомами о структуре множества наблюдаемых ришческой системы, с другой стороны, делает чрезвычайно перспективным исследование ее приложений к физике. Вся оставшаяся часть нашей книги в основном лить развитие ьтого положения. [c.104]

Очевидно, что понятие сети можно рассматривать как обобщение понятия последовательности. Такое обобщение необходимо, если топологическое пространство Ж не удовлетворяет первой аксиоме счетности, т. е. если нельзя утверждать, что для каждой точки х Ж существует счетный базис окрестностей. Мы не вводили это обобщение ранее потому, что С -ал-гебра Я с топологией, индуцированной нормой, относится к числу тех метрических пространств, которые удовлетворяют первой аксиоме счетности. В этой связи заметим, что метрическое пространство X удовлетворяет второй аксиоме счетности (т, е. в Ж суп1ествует счетный базис окрестностей) в том и только в том случае, если оно сепарабельно (т. е. существует счетное подмножество х элементов пространства Ж, которое плотно в Ж). Вернемся теперь к множеству <3 всех состояний на С -алгебре 9 . Выясним, является ли множество < , снабженное -топологией, метрическим пространством. Ответ на этот вопрос утвердителен в том и только в том случае, если алгебра (и, следовательно, самосопряжённая часть алгебры 31) сепарабельна. Кроме того, если алгебра Я сепарабельна, то множество также сепарабельно, поскольку оно компактно ). Но поскольку нам необходимо рассматривать и несепарабельные С -алгебры, мы не предполагаем, что множество , наделенное -топологией, является метрическим пространством, и будем работать не с последовательностями, а с сетями. [c.135]

Теоремы 9 и 10, а также отмеченные нами следствия (в частности, утверждение о том, что всякая алгебра фон Неймана, наделенная слабой операторной топологией, порождается своими операторами проектирования) служат краеугольными камнями многих приложений алгебр фон Неймана. В связи с тем что нас интересует проблема аксиоматической формулировки квантовой теории, заметим, что фон Нейман [438] исходил из абстрактной йордановой алгебры с дистрибутивным симметризованным произведением А о В и пытался воспроизвести основные свойства слабой операторной топологии при помощи топологии т, удовлетворяющей следующим аксиомам [c.153]

Введение. В начале п. 1 мы дадим определение С -алгебры всех квазилокальных наблюдаемых физической системы. Далее мы изложим аксиомы изотонности, ковариантности и локальной коммутативности, общие для всех теорий локальных наблюдаемых, а затем остановимся на понятии локально нормальных состояний и на вопросе о их роли в статистической механике. [c.353]

Пусть (трехмерное евклидово пространство) или ЗИ4 [(1 + 3)-мерное пространство Шянкоъското] —конфигурационное пространство, в котором мы собираемся действовать. И в первом, и во втором случае мы наделяем конфигурационное пространство топологией, индуцированной евклидовым расстоянием. Следуя принятым нами аксиомам (гл. 1, 2), мы ставим в соответствие всякой ограниченной открытой области О нашего конфигурационного пространства С -алгебру 91 (О) и интерпретируем ее самосопряженные элементы как локальные наблюдаемые, [c.354]

Был сфорхмулирован [41, 82, 281] ряд алгебраических условий, эквивалентных условию существования ковариантного представления упорядоченной пары (Я, К ), удовлетворяющего спектральному условию, и было доказано [89], что эти условия не зависят от остальных аксиом (т. е. аксиом изотонности, локальной коммутативности и К -ковариантности) теории, даже если теорию ограничить, потребовав дополнительно, чтобы алгебра К была простой и удовлетворяла аксиоме сечения времени (т. е. если А — область пространства Минковского Ш, заключенная между двумя гиперплоскостями ( , и ( 2, К ), то чтобы семейство 01 (О) 1 й е й, й с= А) уже порождало алгебру Ш эту аксиому иногда называют аксиомой слабой примитивной причинности [163]). [c.370]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...