Каратеодори теорема

Каратеодори теорема 129 Кардинальные точки 77 Картезианский овал 52 Каустика 99 Квант света 698 Керра постоянная 553 [c.746]

Доказательство, данное Лагранжем, довольно сложно. Его можно упростить, приняв с самого начала, как это делает Лаплас, что условие 1) выполнено. Каратеодори показал , однако, что и без этого допущения возможно элементарное доказательство теоремы Лагранжа. Его отправной точкой является наше векторное уравнение (29.4), переписанное в прямоугольных компонентах. Мы воспроизводим здесь с некоторыми изменениями доказательство Каратеодори. [c.233]

Дальше говорится о том, что из принятого положения следует, что существуют такие состояния термически однородной системы, которых нельзя достичь, исходя из данного состояния, путем адиабатического процесса . В сноске к этому положению записано Формулировка этого положения была дана К. Каратеодори (1909) . После этого рассматривается теорема об интегрирующем множителе линейных форм в полных дифференциалах, а затем обосновывается основное уравнение термодинамики обратимых процессов. [c.363]

Каратеодори доказал [56], что справедлива и обратная теорема если в окрестности данного состояния, определяемого параметрами х,, существуют состояния с параметрами х, ко- [c.22]

Каратеодори доказал [73], что справедлива и обратная теорема если в окрестности данного состояния, характеризуемого пара- [c.24]

Справедливость этой теоремы может быть установлена с помощью следующих соображений. Формулы (7) показывают, что функции Фь. .., составляют часть симплектических координат в окрестности подмногообразия Мс. Точнее, в малой окрестности любой точки из Мс, можно ввести симплектические координаты хь. .., дг , У, ..., Уп так, что дГ(=Ф2(-1, у<=Фги если <7 и 1/<=Ф<, если 1>2<7. Это утверждение — следствие известной леммы о пополнении , принадлежащей Каратеодори (см. [c.106]

Теория простых концов Каратеодори является основным средством для установления взаимосвязей открытого множества на комплексной плоскости и его замкнутого дополнения. Пусть Е/ — односвязное подмножество С, имеющее бесконечное дополнение С [/. Теорема Римана об отображении утверждает, что существует конформный изоморфизм [c.204]

Теорема Каратеодори. Конформный изоморфизм ф В —и С С продолжается до непрерывного отображения замкнутого диска Л на и тогда и только тогда, когда граница ди локально связна, или тогда и только тогда, когда дополнение С 11 локально связно. [c.215]

Приведем еще один результат, который немедленно следует из теоремы Каратеодори 17.14. [c.224]

Среди многочисленных попыток аксиоматического построения термодинамики наиболее известной и наиболее успешной, по-видимому, является теория Каратеодори [2]. Он заменил традиционное выражение для второго закона очень простым утверждением, которое приводилось в 3. Это утверждение основывается на следующей математической теореме пфаффова форма [c.90]

Как указывает подзаголовок этой книги, основным методом изложения избран генетический подход. Авторы стремятся объяснить генезис основных идей и понятий теории динамических систем с ударными взаимодействиями, а также продемонстрировать их естественность и эффективность. Ключевым моментом являются найденные недавно теоремы о предельном переходе, обосновывающие различные математические модели теории удара. Их суть заключается в следующем. Односторонняя связь, наложенная на систему, заменяется полем упругих и диссипативных сил. Затем коэффициенты упругости и вязкости некоторым согласованным способом устремляются к бесконечности. Доказывается, что движение такой свободной системы с фиксированными начальными данными стремится на каждом конечном промежутке времени к движению с ударами. При отсутствии диссипации энергии получаем упругий удар, а при надлежащем выборе диссипативной функции Рэлея (задающей структуру сил трения) можно получить в пределе модель Ньютона и более общий удар с вязким трением. Идея реализации связей с помощью предельного перехода в полных уравнениях динамики восходит к работам Клейна, Пранд-тля, Каратеодори и Куранта. Эти результаты позволяют, в частности, решить ряд новых задач об-устойчивости периодических движений с ударами, а также исследовать эволюцию биллиардных систем при неупругих столкновениях, когда имеется слабая диссипация энергии. [c.4]

Как доказано в пре 1ыдущем параграфе, изображения бесконечно малых объектов, даваемые абсолютным оптическим инструментом, всегда конформны. При этом оптическая длина любой линии равна оптической длине ее изображения. Отсюда следует, что в абсолютном оптическом инструменте оптическая длина луча между двумя сопряженными точками одинакова для всех пар сопряженных точек. Это положение называется теоремой Каратеодори. [c.129]

Остается исследовать только отражение. По теореме Каратеодори оптическая длина луча между сопряженными точками не зависит от положения.объекта. Поместим точечный объект на границе раздела сред. Его изображение получится в той же точке. Поэтому оптическая длина луча между объектом и его изображением должна равняться нулю, независимо от положения объекта. При. преломлении, когда оптические длины лучей на всех участках сохраняют знаки, это было бы возможно только тогда, когда изображение совпадает с самим объектом. Но в этом случае, как мы видели, никакого преломления нет, и об изображении можно говорить лишь условно. Однако при отражении, если изображение получается мнимым, оптические длины лучей на разных участках могут иметь йротивоположные знаки. Тогда возможен и нетривиальный-случай, когда объект и его изображенное находятся в разных местах, хотя оптические длины лучей [c.129]

В построении курса отразились вышеотмеченные задачи, которые ставил перед собой автор. Главное внимание было обращено на те положения термодинамики, которые касаются свойств термодинамического равновесия. При этом, на мой взгляд, уже в феноменологической термодинамике естественно было ввести то разделение параметров, определяющих состояние системы, на внешние и внутренние, которое обычно делается в статистике. При выводе основного уравнения термодинамики обратимых процессов я остановился в конце концов на выводе, при котором, с одной стороны, выпячивается наиболее важное — существование интегрирующего множителя для элементарного количества тепла, полученного системой, и, с другой стороны, обходится применение теоремы Каратеодори о пфаффовых формах с п не- [c.11]

Это сведение задачи к трем переменным вовсе не является необходимым, оно только позволяет обойти применение упомянутой в конце 15 теоремы об интегралах уравнений типа 2, доказательство которой редко приводится в математических курсах. Применение этой теоремы, как было указано в основной работе Каратеодори К.— Math. Ann., 1909, V. 67, p. 355, сразу приводит к выводу о существовании интегрирующего 1шожителя. [c.56]

Указанной способ принадлежит Каратеодори [7, 8] ), а Борн [И, 12] дал очень четкое его физическое толкование. Вывод Каратеодопи основан на теоремах о дифференциальных формах, поэтому мобно сначала сформулировать его основную теорему, а затем уже обсуждать ее термодинамический смысл. [c.17]

Теорема. Компактификация Каратеодори ]П) открытого диска канонически гомеоморфна замкнутому ску В. Более того, любой конформный изоморфизм ф-.Л и С С однозначно продолжается до гомеоморфизма из В или В на 11. [c.214]

Предположим сначала, что 7 M/Z —> J определено и непрерывно. Тогда образ 7(M/Z), очевидно, является непустым компактным подмножеством в J. Начиная с произвольной точки 7(0) в этом образе, с помощью леммы 18.1 по индукции можно убедиться в том, что все ее итерированные прообразы также лежат в 7(M/Z). Поэтому из 4.10 следует, что образ 7(M/Z) совпадает со всем множеством Жюлиа J, и, согласно лемме 17.15, J локально связно. Оставщиеся утверждения теоремы 18.3 немедленно следуют из теоремы Каратеодори 17.14, примененной к конформному изоморфизму с в —С К. [c.224]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...