Теорема об усреднении

Рассмотрим случай, когда отношение lji/uj2 иррационально. Если < 4/ , то Ф( 4/ , то, как при доказательстве теоремы 2, введем функцию [c.162]

По теореме об усреднении [4] предел всегда существует. Между временными g I, ср°) и пространственными Х 1) средними известны соотношения [4, 20] [c.167]

Обозначим начальные значения переменных х, у соответственно через Хо, Уо- Из теоремы об усреднении следует, что [c.192]

Так как числа 1 и Л2/А1 несоизмеримы, то по теореме об усреднении [c.192]

Теорема об усреднении. Временное среднее всюду существует и совпадает с пространственным, если функция / непрерывна, а частоты независимы. Если функции f на торе и [c.251]

В. Доказательство теоремы об усреднении. [c.252]

Г. Доказательство теоремы об усреднении. Вместо переменных I введем новые переменные Р [c.259]

Поскольку 0)7 0, применима теорема об усреднении (стр. 259), Усредненная система имеет вид [c.264]

Многие результаты об усреднении в системах с постоянными частотами (в том числе теорема 5 и теоремы о рождении условно-периодических движений из равновесий и периодических движений усредненной системы) могут быть обобщены иа системы в стандартной форме [8]. [c.169]

Здесь, как и в формуле (5.167), обычное усреднение по статистическому ансамблю скомбинировано с усреднением по кумулянтам. В сущности, в этом и состоит содержание основной теоремы об 5-матрице для квантовомеханического гамильтониана соответствующие статистические аналоги [см. формулы (5.166) и (6.138)] можно получить отсюда с помощью метода температурных функций Грина. [c.481]

Теорема об интегральной непрерывности позволяет применить метод усреднения к задачам, описывающим медленно изменяющиеся процессы. Сейчас мы познакомимся с этим методом. [c.344]

Возводя обе его части в квадрат, проводя усреднение и учитывая, что согласно теореме Вика — фф) = Фр (см. (8)), получаем, заменяя вблизи границы Ферми — р ) 2т v p — py), где v = р /т — скорость на этой границе [c.183]

Теорема об усреднении неявно встречается уже в работах Лапласа, Лагранжа и Гаусса по небесной механике она является одной из первых эргодических теорем . Строгое доказательство дали лишь в 1909 г. П. Боль, В. Серпинский и Г. Вейль в связи с задачей Лагранжа о среднем движении перигелия Земли. Ниже воспроизведено доказательство Г. Вейля. [c.252]

Предполагается, что читатель знаком с обычным курсом аналитической механики (в частности, с основными фактами динамики твердого тела). Достаточно, например, знакомства с учебником В. И. Арнольда Математические методы классической механики (М., Паука , 1974). При изложении материала часто используется известная теорема Лиувил-ля-Арнольда об интегрируемых гамильтоновых системах, а также связанные с ней идеи и понятия, такие, как инвариантные торы, квазипериодические движения на торах, усреднение и т. д. [c.13]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Эта теорема легко доказывается, подобно обычной лемме Морса, гомотопическим методом. Единственным новым ингредиентом является построение эквивариантного решения гомотопического уравнения усреднением по компактной группе. Детали доказательств теорем 1 и 2 изложены в [1]. Обе теоремы верны в голоморфном, аналитическом и гладком случаях. [c.77]

Различные вершины соединяются друг с другом линиями взаимодействия, но так, чтобы оба конца линии характеризовались либо корневыми векторами типа либо типа г], как следует из структуры характеризуюпдейся (7.50), (7.51) и (7.46). Этим, собственно, и определяются правила диаграммного изображения на первом этапе использования теоремы Вика, когда вычисление средних от Г-произведений свелось к усреднению диагональных операторов. Вычисление последних составляет второй этап теоремы Вика, соответствующий в технике для спиновых операторов усреднению произведений от -операторов. [c.86]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...