Граничные циклы без контакта

Отсюда следует, в частности, что при отих условиях в С существует по крайней мере один устойчивый (неустойчивый) предельный цикл. Если н е траектории, пересекающие один из граничных циклов без контакта, входят в С, а пересекающие другой — выходят из О, то число устойчивых предельных циклов в области С равно числу неустойчивых, в частности, тех и других мои ет не быть совсем. [c.231]

Свободный граничный цикл без контакта будем называть ы- или -циклом в зависимости от того, является ли он ш- или а-граничным. [c.459]

Циклы без контакта (С) и (а), а также граничные циклы без контакта, не являющиеся свободными, будем называть несвободными циклами без контакта. Несвободный цикл имеет общие точки с особыми полутраекториями, а в случае, когда он является граничным,— с особыми полутраекториями или угловыми дугами. [c.459]

Очевидно, траектории, пересекающие сопряженные со- и а-дуги в точках, отличных от их концов, или сопряженные со- и а-циклы, принадлежат одной и той же ячейке. Таким образом, все элементарные дуги и все свободные циклы распадаются на пары сопряженных дуг и сопряженных свободных циклов. Заметим, что циклическая элементарная и нециклическая элементарная дуги могут быть сопряженными. Простой пример представлен на рис. 279. Из двух сопряженных свободных циклов без контакта один или даже оба могут быть граничными циклами без контакта. [c.463]

Г")). Если один из сопряженных циклов С является граничной кривой Г, а другой С не является граничной кривой, то мы будем говорить, что континуум которому принадлежит цикл С, сопряжен с граничным циклом С. При этом граничный цикл С мы будем называть внешним или внутренним в зависимости от того, содержатся ли точки области С впе или внутри него. Очевидно, всякий внешний со (а)-предельный континуум сопряжен либо с внутренним а (со)-предельным континуумом, либо с внутренним граничным циклом без контакта. Всякий внутренний со (а)-предельный континуум лпбо [c.465]

V. Указаны все пары сопряженных свободных со-, а- и Q-предельных континуумов и граничных циклов без контакта и для каждой такой пары указано, какой из ее элементов является внешним и какой внутренни.ч. [c.482]

Таблица вида V ранее не была определена. Для ее записи введем следующие обозначения если Ю — внешний континуум или граничный цикл без контакта Г, а К или Г — сопряженный внутренний, то мы будем пользоваться следующим обозначением [c.482]

Следствие 2. Если область Г внутри цикла без контакта С не содержит граничных точек области С, то она содержит по крайней мере одно состояние равновесия (это утверждение устанавливается рассуждением, аналогичным проведенному в следствии 1). [c.118]

Лемма 13. а) Вокруг каждой точки неособой целой дуги траектории А, отличной от концов этой дуги., существует окрестность, через все точки которой проходят неособые целые дуги траекторий, пересекающие те же граничные дуги без контакта, что и дуга Л. б) Вокруг каждой точки неособой полутраектории Ь+, конец которой лежит на граничной дуге или цикле) без контакта, существует окрестность, через которую проходят неособые положительные полутраектории, концы которых лежат на той же дуге или цикле) без контакта, что и конец полутраектории (Такое же утверждение справедливо и для отрицательной полутраектории.) [c.296]

Определение XXX. Мы скажем, что задана схема (или полная схема) граничной кривой Гу, если 1) указано, является ли она внешней или внутренней граничной кривой области С т. е. наверху у нее помечен знак -г или —) 2) указано, является ли кривая Г - циклом без контакта, замкнутой траекторией или состоит из дуг траекторий и дуг без контакта 3) если кривая Г - — цикл без контакта, то указано, [c.449]

Элементарные дуги и свободные циклы без контакта. Предположим, что выбрана некоторая правильная система канонических окрестностей. Всюду в дальнейшем будем обозначать канонические окрестности через (у) и g), канонические кривые зтой правильной системы канонических окрестностей — через (С), (а) и через (I) — параболические дуги канонических кривых (а). Кроме того, в согласии с введенным выше обозначением будем через (Г) обозначать граничные простые замкнутые кривые и через (к) — граничные дуги без контакта, и через (Хс) — седловые дуги, т. е. дуги без контакта, входящие в границы гиперболических секторов (см. 18, п. 3). При этом, как и выше, (см. 19, п. 2) седловую дугу будем называть со-седловой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории входят внутрь седловой области, и а-седловой дугой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории выходят из этой области. Очевидно, каждая седловая область g имеет одну граничную со-седловую дугу и одну а-седловую дугу без контакта. Так как выбранная система канонических окрестностей правильная, то только один конец всякой седловой дуги принадлежит особой полутраектории. Конец а-седловой дуги, граничной для седловой области g , одновременно является и концом а-сепаратрисы, входящей в границу области g , а конец ы-седловой дуги — концом ы-сепаратрисы, входящей в границу этой области. [c.458]

Рассмотрим циклы без контакта С) и (а), т. е. циклы без контакта, входящие в границы канонических окрестностей предельных континуумов как не являющихся состоянием равновесия, так и являющихся состоянием равновесия (узлом). Те из этих циклов без контакта, которые не имеют ни одной общей точки с особыми полутраекториями, будем называть свободными циклами без контакта (С) и (а). Очевидно, каждый свободный цикл без контакта (С) и (о) входит в границу канонической окрестности (уг) или gi) свободного континуума, не являющегося состоянием равновесия или свободного узла. Свободный цикл без контакта С) или (а) будем называть со- или а-циклом в зависимости от того, входит ли он в границу канонической окрестности со- или а-предельного континуума (и, в частности, устойчивого или неустойчивого узла). Если граничная кривая (Г) является циклом без контакта и при этом ни одна ее точка [c.458]

Пусть рассматриваемый несвободный цикл без контакта имеет только одну общую точку с особыми полутраекториями, а в случае, когда он граничный,— с особой полутраекторией или угловой дугой. Тогда весь цикл без контакта мы будем называть элементарной циклической дугой, а точку зтого цикла, принадлежащую особой полутраектории или угловой дуге,— концом циклической элементарной дуги. [c.459]

Лемма 2. Если внешний из двух сопряженных циклов без контакта не является граничной кривой Г, то со [а)-предельный континуум, которому он принадлежит, лежит вне его, если внутренний, то [c.464]

После этих предварительных общих замечаний перейдем к подробному доказательству основной теоремы. Отметим прежде всего, что топологическая тождественность разбиения на траектории соответствующих друг другу по схеме канонических окрестностей доказана в теореме 72, а топологическая тождественность областей типа Наш и Sa , оо и после элементарного проведения вспомогательных дуг (в случае областей Еаю этими дугами являются дуги траекторий, соединяющие циклы без контакта, а в случае Zoo эти дуги являются дугами без контакта, соединяющими граничные замкнутые кривые, существующие в силу леммы 7 19) сводится к лемме 8 18 (о топологической тождественности разбиений элементарных четырехугольников). [c.490]

Рассмотрим дугу без контакта Я. Все траектории, проходящие через внутренние точки дуги Я при возрастании I либо выходят из области С, либо все они входят в область С. В первом случае мы будем назшзать А положительной граничной дугой без контакта, во втором — отрицательной граничной дугой без контакта. Аналогично онределяется поло-жителъный граничный и оуприцателъный граничный цикл без контакта. [c.448]

Лемма 3. а) Всякие два сопряженных со- и а-предельных континуума являются граничными континуумами одной и той же двусвязной ячейки, заполненной целыми траекториями, б) со а)-пределъный континуум и сопряженный с ним граничный цикл без контакта являются граничными континуумами одной и той же двусвязной ячейки, заполненной полутраекториями. в) Два сопряженных граничных цикла без контакта являются граничными континуумами одной и той же двусвязной ячейки, заполненной дугами траекторий. [c.465]

Докажем еще одну лемму, касающуюся соиряжешшх свободных Ы-, а-предельных континуумов и граничных циклов без контакта, а также О-предельных континуумов. Пусть — внешний со-, а- пли 0-нредель-пьп континуум и.чи же внешний граничный цикл без контакта. Очевпдно, может быть простой замкнутой кривой, например, в с.чучао, когда [c.466]

К" — граничный цикл без контакта или предельный цикл. Мы будем тогда обозначать эту простую замкнутую кривую (совпадающую с через Если же К не является простой замкнутой кривой, то п силу предыдущего он представляет из себя предельный континуум, одна из кривых "о которого содержит внутри себя все остальные. В этом случае через 5о мы будем обозначать эту внешнюю кривую иредельного континуума К - [c.467]

Доказательство. Утверждение для граничной кривой Г очевидно. В самом деле, если Г есть граничная кривая, лежащая внутри "о и содержащая внутри себя, то точки области С существуют как внутри, так и вне кривой Г, что противоречит определению граничной кривой. Предположим теперь, что существует простая кривая входящая в состав какого-нибудь предельного континуума лежащая внутри кривой "ц и содержащая внутри себя. Предположим для определенности, что есть со- или а-предельный континуум, состоящий из кривой 8 и расположенных внутри нее и вне друг друга простых замкнутых кривых "а,. . . , 8р, а соответственно а- или со-предельный континуум, состоящий из расположенных вне друг друга простых замкнутых кривых "1, 5 2, -, "д. Пусть С и у и соответственно С ш у — каноническая кривая и окрестность континуума К - и Кривая 5 не может лежать внутри какой-нибудь из кривых 8, . . ., 8 р или 8г,. . . , 8д, так как тогда и континуум лежал бы внутри тако11 кривой, что, очевидно, невозможно. Кривая не может также иметь общих точек с окрестностями у и у, так как внутри этих окрестностей нет точек особых траекторий. Следовательно, кривая 5 должна быть целиком расположена в области i , ограниченной кривыми С и С. Но это невозможно (см. лемму 16 3). Аналогично доказывается утверждение леммы в случае, когда и являются соиряженными 0-нредель-ными континуумами и когда один из них или оба являются граничными циклами без контакта. Лемма доказана. [c.467]

V. Таблицы, указывающей все пары сопряженных свободных си-, а-и О-предельных контину тиов, граничных циклов без контакта и свободных узлов, описывающей взаимное расположение каждой пары. [c.482]

Ог) = 01, 0 (Li) = И Т. Д. Из самого определения тождествениостп схем динамических систем В и В следует, что соответствие между особыми элементами этих систем порождает взаимно однозначное соответствие 1) между со-, а- и О-предельными континуумами этих систем, составленными из соответствующих друг другу по схеме особых элементов, а также между простыми замкнутыми кривыми 81, из которых оти континуумы составлены 2) между граничными кривыми, составленными из соответствующих друг другу по схеме граничных дуг траекторий и дуг без контакта, а также являющихся соотвегствующими друг другу по схеме граничными циклами без контакта. [c.485]

В силу этих условий в грубой системе возможны осооые траектории лишь следующих типов простые (грубые) состояния равновесия, простые (грубые) предельные циклы и сепаоатоисы седел, в одну сторону стремящиеся к узлу, фокусу или к предельному циклу или, наконец, при некотором значении t достигающие граничного цикла без контакта. [c.453]

Траектории, дуги без контакта, дуги траекторий и циклы без контакта, входящие в границу, будем называть граничными траекториями, граничными дугами траектори , граничными дугами без 1 0нтакта и граш1Ч-пыми циклами без контакта. [c.286]

Приведем еще одну лемму, касающуюся неособых пелых дуг, т. е. дуг траекторий, концы которых лежат на граничных дугах без контакта, причем не являются угловыми точками границы, а все отличные от концов точки принадлежат области С (см. 16, п. 1), и неособых полутраекторий, концы которых лежат на граничной дуге (или цикле) без контакта. Справедливость этой леммы непосредственно следует из леммы 5 3. [c.296]

Теорема 46. Если внутри какой-нибудь ячейки существует неособый элемент, являющийся целой траекторией (или полутраекторией, пересекающей граничную дугу без контакта, или дугой траектории, коицы которой лежат на граничных дугах или циклах без контакта), то все пеособые элементы этой ячейки также являются целыми траекториями или соответственно полутраекториями, пересекающими граничную дугу [c.299]

Рассмотрим а) все простые замкнутые кривые (С), (о), (Г), являющиеся несвободными циклами без контакта в) все параболические дуги без контакта (/), входящие в канонические кривые (а) состояган равновесия, не являющихся узлами в) все граничные дуги без контакта (X). [c.459]

Пусть рассматриваемый несвободный цикл без контакта пмеет более одной общей точки с особыми полутраехчториями или гке в случае, когда он граничный, с особыми полутраекториями и угловыми дугами. Всеми такими общими с особыми элементами точками этот цикл без контакта разделяется на конечное число простых дуг без контакта, каждая из которых кроме концов не имеет больше ни одной общей точки с особыми полутраекториями или угловыми дугами. Мы будем называть всякую такую дугу без контакта элементарной дугой. [c.459]

Доказательство. Пусть С и С — два сопряженных цикла без контакта, и пусть внешний цикл С не является граничной криво Г. Для доказательства предположим противное, т. е. что континуум К - которому принадлежит цикл С, лежит внутри этого цикла. Но цикл С тоже лежит внутри цикла С. В кольцевой области между циклами С и С не может лежать ни одпой особой траектории (см. замечание к лемме 1). Отсюда очевидно, что К , которому принадлежит цикл С, лежит и внутри цикла С. Но это означает, что цикл С лежит в канонической окрестности у континуума Ю , ограниченной кривой С. В случае, когда цикл С является граничной кривой Г, это невозможно, так как но самому определению канонической окрестности предельного континуума в ней но может лежать граничная кривая Г. Но это невозможно также и в случае, когда цикл С не является граничной кривой Г в силу того, что выбранная система канонических окрестиостси правильная. Полученное противоречие доказывает утверждение леммы, касающееся внешнего из двух соиряжепных циклов. Совершенно аналогично проводится доказательство и при рассмотрении внутреннего сопряженного цикла. Лемма доказана. [c.464]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...