Уравнения элемента тела при малых удлинениях

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЭЛЕМЕНТА ТЕЛА ПРИ МАЛЫХ УДЛИНЕНИЯХ И СДВИГАХ (Е <р1у 1) [c.31]

Дифференциальная система (13.3) описывает движение бесконечно малого объемного элемента, выделенного из сплошного тела. Эта система выведена без каких-либо пренебрежений и является точной математической формулировкой указанной выше задачи. Из нее, путем дополнительных упрощений, могут быть получены приближенные уравнения, относящиеся к случаю, когда малы удлинение и сдвиги или когда, кроме того, малы также и углы поворота. Соответствующие рассуждения уже были приведены в 10, 11, 12, и здесь их нет необходимости повторять. [c.97]

В заключение отметим, что система уравнений, вытекающая из (3.11), формулирует условие равенства нулю главного вектора всех сил, действующих на бесконечно малый объемный элемент тела, в проекциях на направления осей локального триэдра Й2> з-В некоторых случаях (в частности, в задачах теории оболочек) удобными будут уравнения, получающиеся при проектировании сил на направления к, й (т. е. на оси локального триэдра деформированного тела). Данные оси, вообще говоря, не ортогональны, но когда удлинения и сдвиги настолько малы, что ими можно пренебречь, по сравнению с единицей, то и неортогональностью осей также можно пренебречь (учитывая, однако, поворот триэдра к , к , к , обусловленный деформацией). В этом последнем случае условие, что проекция на й всех действующих на объемный элемент деформированного тела сил равна нулю, выражается уравнением [c.173]

Геометрические уравнения. Рассмотрим перемещения и деформации бесконечно малого элемента abed (рис. 18.3). Перемещение и произвольной точки тела в направлении радиуса называется радиальным перемещением, а перемещение v в направлении, перпендикулярном к радиусу — окружным перемещением. Относительное удлинение е, стороны аЬ элемента называется радиальной деформацией, а относительное удлинение Se дуги ad—окружной деформацией. Относительная угловая деформация Угв представляет собой искажение прямого угла bad. [c.377]

Рассмотрим бесконечно малый эле мент базовой поверхностн, показанный на рис. 1.11. В процессе нагружения этот элемент может смещаться и поворачиваться как твердое тело, искривляться и претерпевать деформации, вызывающие удлинение или укорочение его сторон и изменение прямых углов между ними. Поскольку Б конструкционных материалах и, в частности, композитах, использующихся для изготовления несущих конструкций, большие деформации не допускаются в силу накладываемых требований по жесткости или в силу свойств самих материалов (предельная деформация волокон в композитах не превышает 2,5%), исключим из рассмотрения нелинейные эффекты, связанные с деформациями материала. Кроме того, будем считать малым угол поворота элемента вокруг нормальной оси 7 (см. рис. 1.11). Тогда система уравнений, обобщающая уравнения [c.324]

Должна лежать в соприкасающейся плоскости той кривой, по которой располагается изогнутая ось, и когДа Бине (В1пе1) ввел уравнение моментов относительно касательной, то Пуассон на основании этого уравнения пришел к заключению,-что крутящий момент постоянен. Лишь постепенно возникло представление о двух изгибающих пара в двух главных плоскостях, и был найден способ определения меры закручивания. Когда эти элементы теории были получены, стало ясно, что, зная соотношения, связывающие, изгибающие и крутящие моменты с кривизной и степенью кручения и пользуясь обычными условиями равновесия, можно определить форму изогнутой оси, степень кручения стержня вокруг этой оси, а также растягивающую и Перерезы вающую силу в любом данном сечении. Изгибающие и крутящие. пары, а также растягивающая и перерезывающая силы, происходят от усилий, приложенных к, элементам поперечных сечений, и правильные выражения для этих пар и сил следует искать при помощи общей теории. Но здесь возникает затруднение, состоящее в том, Что общие уравнения применимы лишь тогда, когда смещения малы между тем для таких тел, как спиральные пружины, смещения ни в коем случае нельзя считать малыми. КирхГоф (КтеЬЬоК) первый преодолел Это затруднение. Он показал, что общие уравнения применимы со всей строгостью к малой части тонкого стержня, все линейные размеры которой того же порядка малости, что и диаметры, поперечного сечения. Он считал, что уравнения равновесия или движения такой части можно в первом приближении упростить, пренебрегая силами -инерции и массовыми силами. Исследования, содержащиеся в теории Кирхгофа, носят в значительной своей части кинематический, характер. Когда тонкий стержень подвергается изгибу и скручиванию, то каждый его элемент испытывает деформацию, аналогичную тем деформациям,. которые имеют место в призмах Сен-Венана но соседние элементы должны непрерывным образом переходить один в Другой. Для того чтобы выразить непрерывность этого рода, необходимы некоторые условия. Эти условия принимают форму диференциальных уравнений, которые связывают относительные смещения точек малой части стержня с относительными координатами этих точек и с величинами, которые определяют положение данной части относительно всего стержня в целом. Из этих диференциальных уравнений Кирхгоф получил картину деформации в элементе стерл я и нашел выражение для потенциальной энергии, отнесенной к единице -длины, через относительное удлинение, компоненты кривизны и степень кручения. Он получил уравнения равновесия и колебаний, варьируя функцию, Выражающую энергию. В случае, когда тонкий стержень подвергается действию внешних сил, приложенных лишь иа его концах, уравнения, которыми определяется форма изогнутой оси, идентичны, как показал Кирхгоф, с уравнениями движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Эта теорема носит название кинетической аналогии Кирхгофа . [c.36]

В предельном случае плоской пластинки виды колебаний распадаются на два главных класса один из них соответствует деформациям без удлинений со смещениями, нормальными к плоскости пластинки, второй — деформациям, сопровождаемым удлинениями, когда смещения параллельны плоскости пластиики [см. 314, d), е) и 333]. Случай неограниченной пластинки конечной толщины рассматривал Релей ), исходя из общих уравнений колебания упругого тела и прилагая метод, родственный описанному в 214, Здесь могут быть продольные колебания, когда смещения параллельны плоскости пластиики колебания этого класса распадаются на два подкласса к первому относятся такие, в которых средняя плоскость не испытывает деформации, ко второму относятся колебания, в которых смещения аналогичны касательным смещениям в замкнутой тонкой сферической оболочке. Возможны также колебания второго класса, при которых смещение имеет как нормальный к плоскости пластинки компонент, так и компонент, лежащий в этой плоскости если пластинка тонка, то первый компонент будет мал по сравнению со вторым. Нормальный компонент смещения исчезает на средней плоскости, а нормальный компонент вращения исчезает всюду, так что эти колебания аналогичны колебаниям второго класса в замкнутой тонкой сферической оболочке. Имеется далее ёще класс колебаний изгиба, когда смещение имеет и норушльный и касательный компоненты, причем последний мал по сравнению с нормальным в случае, если пластинка тонка. Касательный компонент исчезает на средней плос сости, так что деформацию приближенно можно считать не имеющей удлинения. При этих колебаниях линейные элементы, которыг вначале были нормальны к средней плоскости, в течение всего движения остаются прямолинейными и нормальными к той же плоскости. Частота колебания приблизительно пропорциональна толщине пластинки. Подобные колебания без удлинений в замкнутой тонкой сферической оболочке невозможны. [c.577]

При этом было установлено, что возможность линеаризации первых двух групп формул (соотношений между деформациями и перемещениями и уравнений равновесия объемного элемента) определяется чисто геометрическими факторами величиной удлинений, сдвигов и углов поворота по сравнению с единицей и по сравнению друг с другом. Что касается третьей группы формул, то возможность ее линеаризации определяется физическими свойствами материала тела, т. е. тем, следует ли он линейному закону Гука, или нет, в пределах тех значений деформаций,, которые представляют интерес для рассматриваемой задачи. Хотя область, в которой закон Гука справедлив, ограничивается, как и в предыдущем случае, степенью малости деформаций, однако сравнивать их надо не с единицей, а с некоторыми характерными для каждого конкретного материала физическими константами, именуемыми пределами пропорциональности, которые, как правило, сами весьма малы по сравлению с единицей. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...