Основные тригонометрические формулы

Некоторые приближенные формулы. Если a[c.242]

Основные тригонометрические формулы [c.963]

ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ [c.119]

Формулы основные 74—76 Котангенсы — Выражение через другую тригонометрическую функцию 74 [c.985]

Основные формулы, связывающие тригонометрические функции [c.88]

Составляющие поверхностной нагрузки ц и пц также разложены в тригонометрические ряды, в уравнения (1.4) вошли их амплитудные значения. Как видно из формулы (4.1.9), qi и ш, записаны через основные функции и, и, м, й, е, с. [c.154]

Наиболее рациональным нужно считать метод изменения основных параметров без изменения внешних элементов системы этот метод является естественным продолжением изложенного в гл. 111 метода расчета. Для определения численных значений необходимых изменений делается предположение, что при небольших изменениях основных параметров (как, впрочем, н всяких других) влияние аберраций высших порядков и толщин остается практически неизменным и что изменяются главным образом аберрации третьего порядка. Сначала определяем разность Д (6g ) между желаемым значением аберрации и тем значением, которое получено из тригонометрического расчета далее применяем одну из формул (VI.1), (VI.2) или (VI.3), имеющих общий вид [c.376]

В самом деле, если разрегпить систему (6.3), линейную относительно со8((р — 8(ргп) И зт (р — зсргп) и затем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, то получится первое из уравнений (6.4), что и надлежало установить. Следствие. Если Т ф1/ /2, то в условиях леммы 6.2 Т/ ср = = 0 при (р = (ро, т. е. значение = (ро является стационарной точкой функции Т (р). Действительно, подстановка выражений (6.4) в первую из формул (6.2) дает значение [c.101]

Разностные формулы Кербера—Рабиновича целесообразно применять при расчете очень длиннофокусных объективов, например объективов астрономических труб, когда основной тригонометрический расчет хода лучей необходимо выполнять при помощи семизначных таблиц логарифмов. Дифференциальные формулы позволяют получить ту же точность в величине аберраций прн использовании пятизначных таблиц логарифмов как при расчете хода луча, так и прн вычислении самих аберраций по формулам (1.67), (1.71) нли (1.72). Особого выигрыша во времени эти фо[гмулы, однако, не дают, так как необходимо сначала рассчитать ход луча с пятизначными таблицами, а затем произвести все вычисления по формулам (1.69). (1.71) и (1.72). Ценность дифференциальных ( рмул заключается в том, что они дают возможность определить отдельно влияние каждой поверхности на аберрации. [c.42]

Вследствие всех указанных причии, расчеты изменения положения плоскости установки и масштаба изображения носят лишь приближенный характер и нет смысла применять излишне сложные формулы, получающиеся нрн строгом учете влияния толщин линз, тем более что исследование термооптических свойств оптических систем оправдано лишь для длиннофокусных объективов, в которых отношение у, всегда мало. Поэтому при выводе основных формул, характеризующих влияние температуры на положение и величину изображения, можно всегда считать лиизы бесконечно тонкими в большинстве случаев можно считать и объектив в целом бесконечно тонким, за исключением систем, в которых расстояния между компонентами сравнимы с фокусным расстоянием, что имеет место в телеоб ьективах. Естественно, что выполненные при таких предположениях расчеты лишь приближенны. Для получения точных величин смещения и масштаба нужно произвести расчет хода лучей с помош,ью точных тригонометрических формул, после чего можио ввести необходимые поправки в конструктивные элементы согласно обычно принятым приемам (см. гл. И). [c.275]

Здесь рассматриваются трансцендентные функции — гиперболические, Бесселя, Ломмеля и т. д., используемые при решении конкретных краевых задач для трехслойных элементов конструкций. Даются определения, основные свойства, описываются операции дифференцирования и интегрирования. Некоторые формулы интегрирования произведений бесселевых функций на тригонометрические функции и полиномы являются оригинальными, не встречавшиеся авторам ранее. В заключение рассмотрены обобш енные функции Хевисайда и Дирака. [c.509]

Пока все наши заключения относятся к случаю действия силы, изменяющейся по закону синуса [формула (g)], но линейность основного уравнения (h) позволяет сразу наши заключения обобщить на случай действия любой силы. В самом деле, закон изменения любой силы на протяжении одного периода всегда можно представить тригонометрическим рядом, и колебания, вызываемые этой силой, ползгчатся путем сложения колебаний, вызываемых каждым членом ряда в отдельности, т. е. таких колебаний, которые были изучены выше. При этом, конечно, если среди членов ряда, представляющего раскачивающую силу, будет такой, период которого близок к периоду собственных колебаний системы, то мы будем иметь явление резонанса. Этот член будет играть преобладающую роль, амплитуда соответствующего ему колебания может достигнуть большой величины. [c.315]

Теорию крыла конечного размаха позволило создать использование основополагающей теоремы Н. Е. Жуковского о связи подъемной силы с циркуляцией и модели течения с присоединенным вихрем, так что эта теория является логическим продолжением и развитием идей, составляющих фундамент теории крыла бесконечного размаха, В 1910 г. С. А. Чаплыгин в докладе на тему Результаты теоретических исследований о, движении аэропланов сформулировал общие представления о вихревой системе крыла конечного размаха. В 1913 и 1914 гг. им были получены первые формулы для подъемной силы и индуктивного сопротивления. Они были доложены на третьем воздухоплавательном съезде в Петербурге. В дальнейшем основное распространение получила теория несущей линии, предложенная в Германии Л. Прандтлем для крыльев большого относительного удлинения. В рамках этой схемь было получено интегро-дифференциальное уравнение, связывающее изменение циркуляции и индуктивный скос потока. Задача свелась к отысканию различных приближенных методов его решения. В работе Б. Н. Юрьева (1926) был применен геометрический прием, в котором использовалось предположение о том, что распределение циркуляции близко к эллиптическому и что отклонения от этого распределения повторяют форму крыла в плане. Аналитические методы, применявшиеся на начальном этапе развития теории для получения приближенных решений, состояли в требовании удовлетворения основному уравнению в ограниченном числе точек по размаху. Так, в методе тригонометрических разложений В. В. Голубев (1931) заменил бесконечный тригонометрический ряд тригонометрическим многочленом, сведя бесконечную систему уравнений к конечной системе, в которой число неизвестных соответствует числу членов разложения циркуляции и числу точек на крыле. С целью более точного учета формы крыла в плане при ограниченном числе решаемых алгебраических уравнений Я. М. Серебрийский (1937) предложил для решения интегро-дифференциального уравнения использовать способ наименьших квадратов. [c.92]

В работе В. И. Моссаковского [91] при решении основной смешанной задачи теории упругости для полупространства с круговой линией раздела граничных условий пространственные гармонические функции были представлены в форме тригонометрических полиномов по углу 0, и для функций, являющихся коэффициентами полиномов, при помощи формул типа (2.23) и (3.9) были найдены соответствуюпще им плоские гармонические функции. Граничные условия также преобразовывались, [c.47]

Формулы (П.42) совместно с формулами (11.43) являются основными для расчета оптических систем. Оии относятся к общему случаю любых центрированных систем, составленных нз сферических поверхностей. В том виде, в котором они приведены, они позволяют вычислить лишь приближенные значения аберраций систем с небольшими апертурными углами н при небольших углах поля. В сущности, онн заменяют тригонометрический расчет хода лучей, требуя гораздо меньшей затраты труда (вычисления требуют трех-четырех знаков и во многих случаях могут быть выполнены с помощью логарифмической линейки, в то время как тригонометрический расчет требует применения шестизначных таблиц). [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...